Lycée français de Vienne Mathématiques - F. Gaunard http://frederic.gaunard.com
Devoir Surveillé n°2
Lundi 12 Novembre 2018 Durée : 4 heures
Exercice 1
Dans tout l’exercice, on notera M3(R)l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 et I la matrice identité d’ordre 3. On considère la matrice A définie par :
A=
0 1 2
−1 2 2
−3 3 1
.
L’objectif de cet exercice est de déterminer l’ensemble des matricesM deM3(R)telles que M2 =A.
Partie A : Étude de la matrice A
(1) Calculer les matrices (A−I)2 et (A−I)3. (2) La matrice A est-elle inversible ?
Partie B : Recherche d’une solution particulière On note pour toutx∈]−1,1[, ϕ(x) =√
1 +x.
(4) Justifier que la fonctionϕest de classeC2 sur]−1,1[, et déterminer les valeurs deϕ0(0)etϕ00(0).
(5) En utilisant la formule de Taylor-Young pour ϕ en 0 à l’ordre 2, déterminer un réel α non nul tel que :
√1 +x= 1 + 1
2x+αx2+x2ε(x) avec lim
x→0ε(x) = 0.
(6) On note P(x) = 1 + 1
2x+αx2 la fonction polynomiale de degré 2 ainsi obtenue. Développer (P(x))2.
(7) Soit C =A−I. En utilisant les résultats de la Question 1, vérifier que (P(C))2 =A.
Expliciter alors une matrice M telle que M2 =A.
Partie C : Résolution complète de l’équation
On munit l’espace vectoriel R3 de sa base canoniqueB = (e1, e2, e3).
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice représentative dans la base B est la matrice A.
Dans cette partie, on pose: T =
1 1 0 0 1 1 0 0 1
.
(8) Soient u, v et w les vecteurs définis par:
w= (1,0,1), v =f(w)−w, u=f(v)−v.
(a) Calculer les vecteurs v et u.
(b) Démontrer que la famille B0 = (u, v, w) est une base de R3. (c) Déterminer la matrice représentative de f dans la base B0.
(d) En déduire qu’il existe une matrice P ∈ M3(R)inversible telle que T =P−1AP. (9) Soit M ∈ M3(R).
(a) Montrer que si N2 =T, alors N T =T N. En déduire alors que N est de la forme :
a b c 0 a b 0 0 a
où a, betc sont trois réels.
(b) Démontrer alors que l’équation matricielle N2 = T admet exactement deux solutions : N1 et N2.
(10) Montrer que l’équation matricielle M2 = A d’inconnue M ∈ M3(R) admet exactement deux solutions que l’on écrira en fonction de P, P−1, N1 et N2.
(11) L’ensembleEdes matricesM appartenant àM3(R)telles queM2 =Aest-il un espace vectoriel?
Exercice 2
On effectue une succession infinie de lancers indépendants d’une pièce donnant pile avec probabilité p.
On note q= 1−p.
On dit que la première série est de longueurn ≥1si les n premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le (n+ 1)-ième l’autre côté. De même la deuxième série commence au lancer suivant la fin de la première série et se termine au lancer précédant un changement de côté.
Par exemple si les lancers donnent les résultats F F P P P P P P F F F P P . . . alors la première série est de longueur2 et la deuxième est de longueur6.
Soient X1 et X2 les variables aléatoires égales aux longueurs de la première et deuxième série.
La question 1 est indépendante de la suite de l’exercice.
(1) (Simulation Informatique)
(a) Recopier et compléter la fonction suivante, prenant en argument la probabilité p d’obtenir pile et permettant de simuler la variable aléatoire X1.
On rappelle que l’instruction grand(1,1, ’bin’, n, p) permet de simuler une variable suivant la loi B(n, p).
function X=DS3(p) X=1;
told=grand(1,1,'bin', ..., ...) tnew=grand(1,1,'bin', ..., ...) while ...
X=...
told=tnew;
tnew=...
endfunctionend
(b) Écrire une fonction d’entêtefunction U=SampleX1(N,p)permettant d’obtenir unN−échantillon deX1, c’est à dire un vecteur ligneU de tailleN dont chaque composante est une réalisation de la variable X1.
(c) L’exécution du script suivant permet d’afficher le graphique ci-dessous. Interpréter.
U=SampleX1(1000,0.5) T=tabul(U, 'i');
x=1:length(T);
G=(0.5)^x;
bar(x+.5, G, 0.3, 'red') //On décale de 0.5 pour afficher les bâtons en parallèle
bar(T(:,1), T(:, 2)/1000, 0.3, 'green')
(2) Déterminer la loi de X1.
(3) Montrer que X1 admet une espérance et queE(X1) = p q +q
p. (4) Déterminer la loi du couple (X1, X2).
(5) En déduire la loi de X2.
(6) Montrer que X2 admet une espérance et queE(X2) = 2.
(7) Montrer que E(X1X2)existe et que E(X1X2) = 1 q +1
p.
(8) On suppose que p= 1/2. Montrer que X1 et X2 sont indépendantes.
(9) On suppose que p6= 1/2.
(a) En considérant P([X1 = 1]∩[X2 = 1]) montrer queX1 etX2 ne sont pas indépendantes.
(b) Vérifier que cov(X1, X2) = 4− 1
pq puis en déduire une nouvelle preuve queX1 etX2 ne sont pas indépendantes.
Exercice 3
Dans tout l’exercice, on considère
• La fonction f définie sur R\ {−1} par
f(x) = x (x+ 1)2;
• La fonction F définie sur ]−1; +∞[ par F(x) =
Z x 0
f(t)dt;
• La fonction g définie sur [−1; +∞[par g(x) =
x
ln(x+1), si x6∈ {0;−1}
1, si x= 0, 0, si x=−1
• La suite (un) définie par u0 = 1 et, pour n∈N, un+1 =f(un).
Partie I - Étude de la fonction f
(1) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
(2) Déterminer les variations de f, présentées sous forme d’un tableau.
Partie II - Étude de la fonction F
(3) Justifier que F(x) est bien définie pour tout x >−1 et que F est de classe C1 sur son ensemble de définition.
(4) À l’aide du changement de variable u=t+ 1, montrer que, pour toutx >−1, F(x) = ln(x+ 1)− x
x+ 1.
(5) Déterminer les limites de F aux bornes de son ensemble de définition.
(6) (a) Étudier la concavité de F. On montrera notamment queF admet un point d’inflexion dont on précisera les coordonnées.
(b) Montrer que, pour tout x >−1 non nul,F(x)>0.
(7) Rappeler les développements limités d’ordre 2 en 0 deln(1 +x) et de 1/(1 +x). En déduire le développement limité de F(x) à l’ordre 2 en0.
(8) Préciser l’équation de la tangente à la courbe de F en 0et leurs positions relatives.
(9) Représenter l’allure de la courbe représentative deF ainsi que, sur le même graphique, la tangente en 0.
Partie III - Étude de la suite (u
n)
(10) Calculer u1 etu2.
(11) Montrer, par récurrence, que, pour toutn ∈N, on a 0< un≤ 1 n. (12) En déduire la convergence de(un)vers une limite à préciser.
(13) Pour toutn ∈N, on pose vn= 1
un+1 − 1 un. (a) Montrer que, pour tout n ∈N, on a
2≤vn≤2 + 1 n. (b) En déduire que, pour tout n ∈N,
2(n+ 1) ≤ 1
un ≤2(n+ 1) +
n−1
X
k=1
1 k.
(14) (a) Comparer, pourk entier k ≥2, 1 k et
Z k k−1
dt t . (b) En déduire que
n
X
k=1
1
k ≤1 + ln(n).
(15) Montrer que
un ∼
n→+∞
1 2n. (16) En déduire la nature de la sérieP
un.
Partie IV - Étude de la fonction g
(17) Montrer queg est continue sur son ensemble de définition.
(18) Justifier queg est de classe C1 sur]−1; 0[ et sur]0; +∞[, puis, pourx∈]−1; 0[∪]0; +∞[, vérifier que
g0(x) = F(x) (ln(1 +x))2.
(19) Montrer que g est dérivable en 0 et préciser la valeur de g0(0). Montrer ensuite que g est de classe C1 sur]−1; +∞[.
(20) Montrer que, pour toutx >−1,g0(x)>0. En déduire les variations deg que l’on fera apparaître dans un tableau contenant aussi la limite, que l’on justifiera, de g(x) en+∞.
(21) La fonction g est-elle dérivable en−1? Interpréter graphiquement.
(22) Représenter l’allure de la courbe de g.
Exercice 2 ? ? ?
Les étudiant.e.s souhaitant essayer un exercice (vraiment beaucoup) plus ambitieux peuvent choisir de remplacer l’Exercice 2 précédent par celui-ci.
On considère des variables aléatoires X1, X2, . . . , Xn suivant chacune la même loi de Bernoulli de paramètre pavec 0< p <1, c’est à dire : ∀k ∈J1;nK, P([Xk = 1]) =pet P([Xk= 0]) = 1−p.
On suppose que pour tout couple (k, `)∈ J1;nK
2 avec k 6=`, le coefficient de corrélation linéaire des variables Xk etX` est le même; on note r ce coefficient. On a donc :
∀(k, `)∈J1;nK
2, Cov(Xk, X`) pV(Xk)V(X`) =
(1 si k=` r si k6=`
(1) (a) Dans les cas (i)et(ii)suivants, calculer la valeur deret exprimer la variance de la variable aléatoire
n
X
k=1
Xk en fonction de n et p.
(i) Les variables aléatoires X1, X2, . . . , Xn sont mutuellement indépendantes.
(ii) Les variables aléatoires X1, X2, . . . , Xn sont toutes égales.
De plus, préciser la loi de
n
X
k=1
Xk dans chacun des deux cas précédents.
(b) Montrer que pour tout k ∈J1;nK, la variance de la variable aléatoire
n
X
i=1
Xi est donnée par la formule :
V
n
X
i=1
Xi
!
=kp(1−p)(1 + (k−1)r) (c) En déduire que le coefficient r est au moins égal à − 1
n−1. (2) On suppose dans cette question que n est au moins égal à 2.
(a) Montrer que r est égal à −1 si et seulement si on a : P ([X1 = 1]∩[X2 = 1]) =p(2p−1).
(b) Que vaut alors P([X1 = 0]∩[X2 = 0]) ?
(c) En déduire que le coefficient r ne peut-être égal à −1 que lorsque p= 1
2 et P ([X1+X2 = 1]) = 1.
(3) On suppose dans cette question que n est supérieur ou égal à 3et que P
" n X
k=1
Xk = 1
#!
= 1.
(a) Exprimer les valeurs de p etr en fonction de n.
(b) Déterminer les n-uplets (x1, x2, . . . , xn)∈ {0,1}n pour lesquels la probabilité P
n
\
k=1
[Xk =xk]
!
est strictement positive et la calculer.
