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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Senghi, K. (1983). A propos de l'équilibre de Condorcet pour une installation polluante [Thèse annexe] (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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U N I V E R S I T E jLïBRE DE B R U X E L L E S F a c u l t é des S c i e n c e s A p p l i q u é e s

S E R V I C E D E G E N I E j E l ^ E C T R I Q U E

A PROPOS

DE L'EQUILIBRE DE CONDORCET P O U R UNE INSTALLATION POLLUANTE

K I T O K O S E N G H I

T H E S E A N N E X E

présentée en vue de l 'abtentîM du grade de Docteffr en Sciences Appliquées

I 9 « 3

U N I V E R S I T E L I B R E DE B R U X E L L E S F a c u l t é des S c i e n c e s A p p l i q u é e s S E R V I C E DE G E N I E E L E C T R I Q U E

BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉ/MTIQUES £T DE PHYSIQUE

A PROPOS

DE L'EQUILIBRE DE CONDORCET POUR UNE INSTALLATION POLLUANTE

K I T O K O S E N G H I

Se. 5h

T H E S E A N N E X E

présentée en vue de l'obtention du grade

de Docteur en Sciences Appliquées

E N O N C E

§ 1 . G E N E R A L I T E S •• 1

1.1 Introduction .... .... .... . . 1

1.2 Modèle de réseau et définitions .... .. 2

§ 2 . L O C A L I S A T I O N D / U N E I N S T A L L A T I O N

N O N - P O L L U A N T E ^

2.1 Différents critères .... ....

2.2 Equilibre de Condorcet - Propriétés .... .. 5

§3, L O C A L I S A T I O N D ' U N E I N S T A L L A T I O N

P O L L U A N T E P A R LA P R O C E D U R E D E V O T E •• •• 1

3 . 1 Notion de goulot .... .... .... .. 8 3.2 Equilibre de Condorcet dans un

réseau à nombre impair d'usagers .... .. 9 3.21 Principaux résultats existants .... .. 9 3.22 Propriétés entre les équilibres

efficaces de Condorcet c et c .. .. 9

s p

3.3 Quelques remarques .. .... .... .. Il 3.4 Algorithmes pouf la localisation de

l'équilibre de Condorcet c^ .. .... .. 12 3.5 Résultats de quelques réseaux .. .... .. 12

§ 4 . C O N C L U S I O N S 18

ANNEXE ! P R O G R A M M E D E L O C A L I S A T I O N - C O N D O R 19 A.l Constitution du programme .... .... .. 19 A.2 Texte du programme .... .... .. 20

R E F E R E N C E S 29

E N O N C E :

"DANS UN G R A N D NOMBRE DE RESEAUX DE COMMUNICATION , LA DETERMINATION DE L'EQUILIBRE DE CONDORCET POUR U N E

INSTALLATION POLLUANTE PEUT SE

REALISER EN RECHERCHANT LE POINT

LE PLUS ELOIGNE DE L'EQUILIBRE DE

CONDORCET POUR UNE INSTALLATION

NON-POLLUANTE ."

G E N E R A L I T E S

1 , 1 I N T R O D U C T I O N

Dans la théorie de la localisation , la littérature propose actuellement un certain nombre de solutions au problème d'une

installation non-polluante. Par contre, peu de travaux se rapportant au problème de la localisation des installations polluantes ont été publies jusqu'à présent. Ce fait peut s'expliquer par les besoins pratiques où il s'est ave'rê jusqu'à présent que l'on rencontre

beaucoup plus de problèmes dans lesquels on cherche à localiser des installations le plus proche possible des usagers; nous citerons le cas des services d'utilité publique : maisons communales, hôpitaux, quartiers commerciaux, e t c . .

Il se pose aujourd'hui le problème de savoir de quelle manière doit-on localiser une installation polluante telle qu'un dépôt d'immondices, un cimetière, un aéroport, etc... .C'est dans le but d'apporter une réponse à cette question que ce travail a été fait.

Il propose une solution pour la localisation d'une installation polluante par le critère de vote .

Dans les pages qui suivent, nous commençons par définir le modèle de réseau ainsi que certains concepts qui s'y rattachent.

Nous abordons ensuite, très rapidement, le problème de la localisa- tion d'une unité non-polluante en donnant les trois critères que l'on rencontre fréquemment dans la littérature au sujet de ce

problème. Parmi eux, on trouve le critère de vote qui conduit à la définition de 1'EQUILIBRE DE CONDORCET. Nous nous limitons aux

énoncés des propositions qui permettent de déterminer de tels points, et de quelques propriétés de ces derniers.

Nous terminons cet exposé par le problème de la localisation d'une unité polluante dans un réseau. Nous présentons certains résultats partiels existants et, émettons ensuite quelques propositions qui nous permettent de définir la manière de l'obtention d'un équilibre

de Condorcet, s'il existe .

2

1 , 2 M O D E L E D E R E S E A U E T D E F I N I T I O N S

Le modèle utilisé dans cette étude est celui d'un réseau de transport N (ou réseau de communication qui est un graphe

non-orienté, simple et connexe) constitué de n sommets et m arêtes . On suppose que chaque usager u est localisé en un sommet que l'on note par v

u

Nous définissons ci-dessous certains termes fréquemment utilisés en théorie de la localisation .

RESEAU :

On appelle réseau tout sous-ensemble N de E.^ tel que : . N - S h.([0,1]) où h.: [0,llv>.si^ii|4Si^!U^R2 1 » •> / ^ i > j continue

1= 1

, h. (6 ) # hj (9' ) V ^{i .j [1,2 ,n]}

et V 9 =^9' avec 9 , 9' £ ] G, 1[

, N est connexe . SOMMET :

L'ensemble des sommets associés â N est donné par

V=» l v € N ; 3 i £ { l , 2 , . . ,n} / v»h^(0) ou v=h^(l) } ARETE :

Chaque image h^[0,l] dans N est appelée arête . L'ensemble A des arêtes sera :

A = I a =• h^[ 0, 1] ; i « I ,2, . . . , n (

Une arête a peut être définie par ses deux sommets v^ et v. de la manière suivante : a = [v.,v.]

1 J itONGUEUR_DlUNE_ARETE :

A chaque arête a est associée une grandeur positive l(a) que l'on appelera longueur de l'arête a .

SgyS^ARETE :

On appelle sous-arête, tout sous-ensemble connexe d'une arête .

La longueur d'une sous-arête est obtenue en multipliant par un

coefficient X (0<X<1) la longueur de l'arête correspondante .

ROUTE :

Une route entre deux points x et y est une séquence connexe d'arêtes et de sous-arêtes entre ces deux points . On notera par

R( x , y )

, la route entre x et

^{y .}

DISTANCE :

Dans un réseau, la distance entre deux points x et y, que l'on note d ( x , y ) , est égale

^à

la longueur de la plus courte route entre

X

et

^{y .}

SOMMET_VOISIN :

Dans un réseau, deux sommets reliés par une arête sont dits voisins .

L'ensemble des sommets voisins d'un sommet v sera noté par r(v) .

Exemple

rCC) - {A,B}

Figure 1.1 SOMMET_PENDANT :

Un sommet est dit "pendant", si l'ensemble de ses sommets voisins est un singleton .

Exemple : Sur la figure 1.1 , D est un sommet pendant puisque tr(D)1 = K A }| = 1 .

ARBRE :

Un réseau est un arbre si et seulement si toute paire de points de ce résaeu est reliée par une et une seule route

Exemple : le réseau de la ^ figure 1.2 est un arbre .

Figure 1.2

ESPAÇE_DE_TRANSPgRT :

On appelle espace de transport (N,d) , tout ensemble N tel que

précédemment défini et, muni de la distance d .

2

LOCALISATION

D'UNE INSTALLATION NON-POLLUANTE

2 . 1 D I F F E R E N T S C R I T E R E S

Dans les problêmes de localisation d'une installation

non-polluante, on recherche à situer une unité en un point du réseau, suivant un critère donné, de manière â satisfaire le désir des

usagers . Les décisions prises à cet effet peuvent provenir essentiellement de deux procédures :

- la planification , et - le vote .

Dans la procédure de planification, le pouvoir qui décide de l'endroit de 1'implentation peut - soit minimiser la distance moyenne que doit parcourir un usager pour satisfaire son besoin , -soit minimiser la plus grande distance que doit parcourir un usager pour ce fait .

La seconde procédure, celle de vote, consiste â déterminer un point du réseau tel qu'il n'en existe pas un autre qui soit strictement plus proche d'une majorité des usagers .

De ces" trois types de décisions (critères) découlent tout naturel- lement trois définitions :

Z2îNT_DE_WEBER :

Un point w du réseau est un point de Weber si et seulement si F (w) » min ( F (x) = ^2 p(u) d(v ,x) )

x e N u e U "

où p(u) î poids affecté à l'usager u

U : ensemble des usagers du réseau .

Ce point w existe toujours et, si le nombre d'usagers est impair,

le point de Weber est un sommet [ 12]

POINTS_DE_RAWLS :

Un point r est un point de Rawls, si et seulement si F2(r) = min (F^Cx) = max d(v^,x) )

V £ V u lQyiti55E_DE_ÇgNDgRÇET :

Un point c est un équilibre de Condorcet, si et seulement si V x £ N , |{ u £ U ; d(v^,x) < d(v^,c)}I <

Certains résultats ont montré les équivalences locales qui existent entre ces différents types de critères dans les réseaux en général

( [ 1 1 ] , [21] ) et , des équivalences globales pour un type particu- lier de réseaux : les arbres .

Nous donnons dans la suite certains principaux résultats que l'on trouve actuellement dans la littérature,! propos du problême de la localisation d'une unité non-polluante par la procédure de vote .

2 . 2 E Q U I L I B R E D E C O N D O R C E T - P R O P R I E T E S

s'il existe un équilibre de Condorcet et si le nombre d'usagers est impair, alors tout équilibre de Condorcet est un sommet du réseau .

PROPRIETE :

L'équilibre de Condorcet peut, ne pas exister dans un réseau donné .

Exemple 1 : Dans le réseau de la figure 2.1 , si l'on place un usager en chacun des points B,D et F , on s'aperçoit qu'il n'existe pas d'équilibre de Condorcet .

Exemple 2 : Dans le réseau de la figure 2.2 , si l'on place deux usagers en B , un usager en chacun des points A , C, D et E ; le point F est à la fois équilibre de

Condorcet et point de Weber .

6

Figure 2 . 1

Figure 2.2

LOCALISATION

D'UNE INSTALLATION POLLUANTE PAR LA PROCEDURE DE VOTE

Lorsque, dans un réseau, on cherche à localiser une unité le plus loin possible d'une majorité des usagers, le gain dont jouit chacun d'eux est une fonction qui croît avec la distance qui le sépare de cette unité .

Dans le cas d'un réseau â nombre impair d'usagers, une étude faite à ce sujet [15] montre qu'il est possible de localiser un équilibre de Condorcet, s'il existe . Par contre, lorsque le nombre d'usager est pair, aucun travail, à notre connaissance, n'a été effectué pour ce type de problême . Nous l'examinons d'une façon générale et, les les résultats auxquels nous aboutissons sont valables aussi bien pour les réseaux a nombre pair d'usagers que pour ceux à nombre impair .

EQyiLIBRE_DE_ÇONDgRÇET_-_DEFINITION :

Un point c est un équilibre de Condorcet pour une installation polluante, si et seulement si

V x e N , |{ u £ U ; d(v^,x) > d(v^,c) }| < - — ^

29îîiT_BATTU_3_DEFINITION :

Soient x et y deux points d'un réseau, on dit que x est battu par y (pour la localisation d'une installation polluante), si et seulement si

|{ u € U ; d(v^,y) > d(v^,x)}| >

Dans les propositions que nous énonçons plus loin (3.22), nous

considérons les équilibres non-battus de Condorcet (équilibre

e f f i c a c e ) .

Aussi nous noterons par

c , l'équilibre efficace de Condorcet pour une installation

S

non-polluante , et par

Cp , l'équilibre efficace de Condorcet pour une installation polluante .

3 . 1 N O T I O N D E G O U L O T [ 5 ] ,

GOULOT-ARETE .:

Un point

^x

situé sur une arête

[ v ^ . V j ]

est un goulot-arête par rapport â un usager u (on note x C B ^ ( u ) ) , si

d ( x , v ^ ) + d ( v ^ , v ^ ) » d ( x , V j ) + d ( V j , v ^ )

Figure 3.1

GOULOT-SOMMET :

Un sommet Vj est appelé goulot-sommet par rapport à un usager u (on note v. C B„(u) ) localisé en un sommet v différent de v., si J V u J

d(v.,v ) + d(v ,v ) » d(v.,v.) + d(v, ,v )

j j ^ K u j i X u

J

V

u

Figure 3.2

NOTATIONS :

= U B^(u) , ensemble des goulots-arêtes .

sommets .

goulots du réseau.

3 . 2 E Q U I L I B R E D E C O N D O R C E T D A N S UN R E S E A U A N O M B R E I M P A I R D ' U S A G E R S .

3.21 P5iNÇÎPèîiX_RESULTATS_EXISTANTS .

Les principaux résultats obtenus pour ce cas se résument en deux théorèmes [15] que nous énonçons sans leurs démonstrations .

- THEOREME 1 .

Si le nombre d'usagers est impair et s'il existe un équilibre de Condorcet, alors tout équilibre de Condorcet appartient à la réunion de l'ensemble des sommets pendants et l'ensemble de tous les goulots.

- THEOREME 2 .

Si le réseau est un arbre, alors l'ensemble des sommets pendants contient au moins un équilibre de Condorcet .

3.22 PROPRIETES ENTRE LES EQUILIBRES EFFICACES DE CONDORCET c ET c

â

Nous énonçons ci-dessous des propositions que nous avons établies et qui nous ont permis d'apporter une réponse au problème de la localisation d'une installation polluante lorsque le nombre d'usagers est pair .

B„ = U B (u) , ensemble des goulots- u £ U

B * B 11 B

A ^ V , ensemble de tous les

1 0

- PROPOSITION 1 .

Dans un réseau donné, l'équilibre de Condorcet d'une installation polluante est différent de l'équilibre de Condorcet d'une

installation rion-polluante .

: Cette proposition est vraie par définition des points et . En effet, si les deux points étaient confondus, ceci

signifierait qu'il existe, pour une installation non-polluante, une majorité des usagers qui préfèrent strictement ce point à tout autre, et qu'en même temps, il existe une autre majorité qui, pour une installation polluante, préfère le même point . Ceci n'est pas possible parc^'^ue la seconde majorité n'existe pas . D'où , si les deux équilibres existent dans un réseau, ils sont néceV^irement différents .

- PROPOSITION 2 .

Soient - U , l'ensemble des usagers les plus rapprochés de c que S s de tout autre sommet différent d'un sommet qui appartient à l'arête qui contient c

U » { u Ê U ; d(v ,c ) < d(v ,v) } s u s u s ,

V v e V et v ^ a ( c )

où a(c ) est l'arête qui contient c

5 S

- u , l'ensemble des usagers les plus rapprochés de c^ que de tout autre sommet différent d'un sommet qui appartient à l'arête qui contient le point c^

Up = { u C U ; d(v^,Cp) < d(v^,v) }

V ^{v £ V et V à aie )}

P les ensembles U et U sont disjoints .

P s

: Etant donné que les points c^et c^ sont distincts, et étant données les définitions de U et U , il s'en suit que

P s '

l'intersection de ces.deux ensembles est vide . Un usager ne

peut pas être strictement proche de deux points distincts .

- PROPOSITION 3 .

Dans un réseau, le point le plus éloigné de l'équilibre de Condor- cet d'une installation non-polluante est l'équilibre de Condor- cet d'une installation polluante .

: Remarque . Cette proposition n'a pas pu.être démontrée , sauf dans le cas trivial ou le point intermédiaire appartient à la plus courte route entre les points c^ et c

Afin de la.vérifier, ou de lui trouver un contre-exemple, nous avons écrit un programme pour la détermination des candidats aux équilibres de Condorcet . Les résultats obtenus confirment, dans l'ensemble de cas envisagés, l'énoncé de la proposition.

- PROPOSITION 4 .

Dans un réseau, si l'on ajoute un ou plusieurs usagers â l'équilibre de Condorcet c d'une installation non-polluante, l'équilibre de

S

Condotcet c^ d'une installation polluante ne change pas . : Cette proposition découle de la proposition 3 et de la

définition de l'équilibre de Condorcet c

3 . 3 Q U E L Q U E S R E M A R Q U E S

- L'analyse des résultats obtenus, pour différents réseaux simulés sur ordinateur, montre également que l'équilibre de Condorcet c^

est le point le plus éloigné du point de Weber .

Ce résultat est très important si l'on se rappelle d'une part , du manque de garantie de l'existence de l'équilibre de Condorcet pour une installation non-polluante et, d'autre part, de l'existence du point de Weber pour tout réseau .

- Etant données la ' remarque ci-^dessus et la-proposition A , le théorème 1 énoxik par M.LÂBBE [ 15] peut être généralisé aux cas où le nombre d'usagers dans un réseau serait quelconque :

" Tout équilibre de Condorcet pour une installation polluante

s'il existe, appartient à la réunion de l'ensemble des sommets

pendants et l'ensemble de tous les goulots . "

12

- Un goulot-arête candidat à l'équilibre de Condorcet pour une installation polluante est situé sur une arête qui n'appartient à aucune des plus courtes routes de chacun de ses deux sommets avec les autres sommets du réseau (la longueur de cette arête est

supérieure à la distance entre ses deux sommets) . 3 . 4 A L G O R I T H M E P O U R LA L O C A L I S A T I O N

D E L ' é Q U I L I B R E D E C O N D O R C E T .

Nous proposons a la lumière des résultats précédents, un algorithme pour la localisation d'un point candidat à l'équilibre de Condorcet c^ pour une installation polluante . Les différentes étapes sont les suivantes :

1. Construire la matrice de distances entre les différents sommets 2. Déterminer le sommet de Condorcet c ou le sommet de Weber w .

Soit V ce sommet : o s

3. Déterminer le cardinal de l'ensemble U défini par : e

U^ = { u e u ; d(v^,v) < d(v^,v*) } V v £ V V* est sommet tel que

d(v ,v*))= max (d(v ,v))

V e

V

4. Si l u I > • ^ Y• , alors v* est un sommet candidat : autrement il ' e ' 2

n'existe pas de sommets candidats â l'équilibre de Condorcet pour une installation polluante .

5. Etudier ensuite la localisation de l'équilibre de Condorcet pour une installation polluante en examinant également, sur chaque arête candidate, la position du point susceptible de battre les autres candidats .

3 . 5 R E S U L T A T S D E Q U E L Q U E S R E S E A U X .

Plusieurs tests ont été faits sur plusieurs réseaux diffé- rents en variant les paramètres tels que les longueurs des arêtes et/ou les poids des noeuds .

Nous donnons les résultats obtenus pour quelques uns des réseaux,

et ce, pour une répartition donnée de poids et, des longueurs

d'arêtes données .

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14

R E S E A U - 2

D O N N E E S D E S N O E U D S ( S O M M E T S )

2 1 3 4 â 3 7 8 9

Nori(i)

B c D E F G H I

P Q I D S d ) 1. O 1. 0 1. 0 1. 0 i. O 1. 0 1. 0 1. 0 1. 0

XCOR(I ) 0. o 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. o 0. 0 0. 0 0. 0 D O N N E E S D E S B R A N C H E S (ARETES)

N O M K I ) N a M 2 ( I ) (Nl/NS)

YCOR(I ) 0. O O. O O. 0 0. O O. 0

L O N G U E U R ( I ) 2 1

3 4 6 3 7 3 10 9 11 12

A A 0 0 D 0 B C C E H I

B 0 G E C B C E F F E F

( 1/ 2) ( 1/ 4) ( 4/ 7) ( 4/ 3) ( 4/ 3) ( 4/ 2) ( 2/ 3 ) ( 3/ 3) ( 3 / 6 ) ( 3 / 6 ) ( S/ 3) ( 9/ 6)

13. 7.

4. 8.

17. 6. 0 9. 0 6. 0 3. 0 4. 0 5. 0 3. 0 M A T R I C E D E D I S T A N C E S

*««*«*'»«'» «-»««*««*-»««

A B C D E F

1 A 0. 0

2 B 13. 0 0. 0

3 C 21. 0 9. 0 0. 0

4 D 7. 0 6. 0 14. 0 0. 0

3 E 13. 0 14. 0 6. 0 3. 0 0. 0

à F 19. 0 14. 0 3. 0 12. 0 4. 0 0. 0

7 G II. 0 10. 0 13. 0 4. 0 12. 0 16. 0

3 H 20. 0 19, 0 U . 0 13.

0

^{5. 0 9. 0}

9 I 22. 0 17. 0 S. 0 13. 0 7. 0 3. 0

T O T A L 128. 0 102. 0 92. 0 79. 0 71. 0 82. 0

O. o 17. 0

19. 0 O. O

12. 0 0. 0

107. 0 106. 0 103. 0

IL Y A 1 S O M M E T ( S ) CANDIDAT(S> AU POINT DE WEBER E ( 3)

IL Y A 0 S O M M E T ( S ) C A N D I D A T ( S ) A L ' E Q U I L I B R E DE C O N D O R C E T (UNITE N O N - P O L L U A N T E )

IL Y A 1 S O M M E T ( S ) C A N D I D A T ( S ) A L ' E Q U I L I B R E DE C O N D O R C E T (UNITE P O L L U A N T E )

1 A ( 1) » • * 3. 0/ 9. 0 = . 336 P. U. DU P O I D S T O T A L

IL Y A 2 3 R A N C H E ( 3 ) C A N D I D A T E C S ) A L ' E Q U I L I B R E DE C O N D O R C E T (UNITE P O L L U A N T E )

N O M ! ( I ) N 0 n 2 ( I ) (N1/N2) L O N G U E U R ( I ) ( 1/ 3)

( 4 / 3) 13. O

17. O

DONNEES DES N O E U D S (SOMMETS)

•«««««««««IH» « « « « « « « « * « « « * * « «

NOM<I> P O I D S d ) XCOR(I) Y C O R ( I ) 2 1

3 4 3 6 7 S 9

A B C D E F G H I

3. 0 1. O 2. 0 4. 0 3. O 4. O 4. 0 1. 0 0. 0

0. 0 0. 0 0. 0 O. 0 O. O 0. 0 0. 0 O. 0 o. 0

0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 o. 0 0. 0 DONNEES DES B R A N C H E S (ARETES)

I N o n i ( I ) N0I12 ( I ) (NI/N2)

1 E O ( 3/ 7)

2 E D ( 3/ 4)

3 D B ( 4/- 2)

4 F B ( &/ 2)

3 ^{B E ( 2/ 3)}

6 ^{C H ( 3/ 8)}

7 D H ( 4/ 8 )

8 D 0 ( 4/ 7)

9 G H ( 7/ 8)

10 A B ( 1/ 2)

11 B C ^{( 2/ 3)}

12 F I ^{( 6/ 7)}

13 I e ^{{ 9/ 7)}

14 F E ( 6/ 3)

15 C D ( 3/ 4)

L O N G U E U R ( I ) 3. O 2. 0 4. 0 7. 0 3. O 3. 0 10. O 4. O 3. O 3. 0 2. O 3. 3 . 3 1. 0 6. 0 MATRICE DE D I S T A N C E S

A B C D E F

G

^{H I}

1 A 0. 0

2 e 3. 0 0. 0

3 c 3. 0 2. 0 0. 0

4 D 7. 0 4. 0 6. 0 0. 0

3 E

6.

0 3. 0 3. 0 2. 0 0. 0

6 F 7. 0 4. 0 6. 0 3. 0 1. 0 0. 0

7 G 9. 0 à. 0 3. 0 4. 0 3. 0 4. 0 0. 0

8 H a. 0 3. 0 3. 0 9. 0 3. 0 9. 0 3. 0 0. 0

9 I 7. 3 4. 5 6. 3 3. 3 1. 3 3 3. 3 8. 3 0.

TOTAL 131. 0 30. 0 110. 0 73. 0 37. 0 70. 0 Sâ. 0 143. 0 73.

IL Y A 1 SOMMET(S> C A N D I D A T ( S ) AU POINT DE WEBER : E ( 3)

IL Y A 1 S O M M E T ( S ) C A N D I D A T ( S ) A L ' E Q U I L I B R E DE C O N D O R C E T (UNITE N O N - P O L L U A N T E )

1 E ( 3 ) » * • 11.0/ 21.0 = .324 P. U. DU P O I D S T O T A L

IL Y A 1 S Q M M E T ( S ) C A N D I D A T ( S ) A L'E(3UILIDRE DE C O N D O R C E T (UNITE P O L L U A N T E )

1 H ( 8 ) inHt 11.0/ 21.0 = .324 P U. DU POIDS TOTAL

IL Y A 2 B R A N C H E ( S ) C A N O I D A T E ( S ) A L ' E Q U I L I B R E DE C O N D O R C E T (UNITE P O L L U A N T E )

I N O M l ( I ) N 0 M 3 ( I ) (N1/N2) L O N G U E U R ( I ) 1 F B ( 0/ 2) 7. 0

2 D H ( 4 / 8 ) 10. 0

(OU

r r r r -OfflNlIhuiJXJIU'-' < -< < O < • •-<lOTimooia> > > > -i > r Li c c C ZD ZU1 zen •-•a i-iQ • IM H» H3 Ni cj(jiru4*-^-p-fr-tkO> mz

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m3 3 ' n\ m m o U100000000 •or Z-l H •m O" ^ —' —• r-^ ro) zu) Ul ru) r-1 ^ rj

c

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r

, "0 o cjlOOOOO r m m o o o m c c Z a i-t H c r 00 (D r v| u(ji|U4>o m »-» O r ta OO a m o UlOOOO 3) a m Il II m £ m ni o ni m OIU m m ufuulO 11 o oo 31 m n oo n o uooo o D o z -OTD z o o o a z • ce o PJ o ;-uo n • o n 31 m m o uoo O H oo -A PI ce U

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• H • > «Z

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Z • 3 Z •

«O

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• O «O «z • 2 ju) «O

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l « «z «• «m «c «t3 «Ul « «Ul «o «3 «3 «m «H «Ul

• - m

o

D O N N E E S DES N O E U D S ( S O M M E T S )

•»-»*«•»«»•»«»•»••«•»*«•»**»«»«•»•

Nan(I> P O I D S { I ) XCOR(I) YCOR(I)

A B C D E F

0. 0 1. 0 0. 0 1. 0 0. 0 1. 0

0. 0 0. 0

o. o

0. 0 0. 0 0. 0

0. 0 0. 0

o. o.

0. 0 0. 0 D O N N E E S DES B R A N C H E S ( A R E T E S )

»-»«*'»«**««»««««»«««««'»«**«««'»

N O M l ( I ) N O M a ( I ) (Nl/NS) L O N G U E U R ( I ) 3 1

3 4 â 3 S 7 9

A A A B B C C D E

B D

F

C

E D F E F

( 1/ 2) ( 1/ 4) { 1/ 6) ( 2/ 3) t 2/ 3) ( 3 / 4 ) ( 3/ 6) ( 4/ 3) ( 3 / 6 )

11. O 12. 0 10. 0 12. 0 10. 0 10. 0 U . 0 11. O 12. 0 M A T R I C E DE D I S T A N C E S

»««•«•«-»«»••••»•»•»•»*«•

A B C D E F

1 A 0. 0

2 3 11. 0 0. 0

3 C 21. 0 12. 0 0. 0

4 D 12. 0 21. 0 10. 0 0. 0

3 E 21. 0 10. 0 21. 0 11. 0 0. 0

â F lO. O 21. 0 11. 0 21. 0 12. 0 0, 0

TOTAL 33. 0 42. 0 33. 0 42. 0 33. 0 42. 0

IL Y A 3 S O M M E T ( S ) C A N O I D A T ( S ) AU P O I N T DE WEBER : A ( 1) C ( 3) E ( 3 )

IL Y A 0 S O M M E T ( S ) C A N D I D A T ( S ) A L ' E Q U I L I B R E DE C O N D O R C E T (UNITE N O N - P O L L U A N T E )

IL Y A 0 S O M M E T ( S ) C A N D I D A T { S ) A L ' E Q U I L I B R E DE C O N D O R C E T (UNITE P O L L U A N T E )

IL Y A 0 B R A N C H E ( 3 ) C A N D I D A T E ( S ) A L ' E Q U I L I B R E DE C O N D O R C E T (UNITE P O L L U A N T E )

C O N C L U S I O N S

En

g u L 3 e

de conclusions, nous pouvons dire que les propriétés

établies, entre l'équilibre de Condorcet c^. pour une installation polluante d'une part et, le point de Weber et l'équilibre de

Condorcet c pour une installation non-polluante d'autre part,

S

améliorent d'une manière certaine la procédure de localisation d'une installation polluante . On diminue.sensiblement le temps de calcul pour la détermination du point c , parce qu'il n'est plus nécessaire de comparer deux â deux tous les sommets du réseau, comme le propo- sent les algorithmes actuels .

Le point de Weber qui peut intervenir dans la recherche de l'équilibre de Condorcet pour une installation polluante sera préfé- ré à l'équilibre de Condorcet c pour deux raisons : l'assurance

S

de son existence et la facilité de sa détermination . Cette dernière peut s'opérer déjà dès l'étape du calcul de la matrice de distances:

le sommet de Weber est celui auquel la fonction Fj(x), définie à la

page 4, est minimum . Sur les exemples des réseaux que nous avons

donnés (pp. 13-17) , les différentes valeurs de cette fonction se

trouvent sur la dernière ligne ("TOTAL") de la matrice de distances.

= A N N E X E =

PROGRAMME DE LOCALISATION - CONDOR

A .l CONSTITUTION DU PROGRAMME .

Ce programme, écrit en FORTRAN IV, comporte trois sous-routines et uile fonction :

- SOyS-ROUTINE READING :

Cette sous-routine effectue la lecture de données du réseau : - le nom et le poids pour chaque sommet ,

- les noms de deux sommets et la longueur de chaque arête .

" §2U§Z52yîiîîE MATDIST :

A partir de données précédentes, cette sous-routine calcule la matrice de distances entre tous les différents sommets .

- SOUS3ROUTINE ÇANDIÇO :

Cette sous-routine détermine les sommets candidats â

l'équilibre de Condorcet pour une installation non-polluante, les sommets candidats au point de Weber et, les arêtes et le sommet candidats â l'équilibre de Condorcet pour une instal- lation polluante .

- FONCTION IJFO :

Cette fonction détermine la position qu'occupe, dans la

matrice de distances, celle entre les sommets I et J ( I et J

étant les deux seuls paramètres d'entrée de la fonction) .

Seuls les éléments non-nuls, du triangle inférieur, de cette

matrice symétrique dont tous les éléments diagonaux sont nuls,

sont conservés ligne par ligne dans un vecteur .

20

L'ordre d'appel des différentes sous-routines et fonction est le suivant :

PROGRAMME SOUS-ROUTINES ET FONCTIONS

DEBUT

\

APPEL

\

APPEL

APPEL FIN I

READING

MATDIST

CANDICO

IJFO

A.2 TEXTE DU PROGRAMME CONDOR .

Les principales variables qui apparaissent dans ce program- me CONDOR sont les suivantes :

NOM(I) : nom du sommet I POIDS(I) : poids du sommet I

*|. noms du premier et du second sommet de l'arête I ALONG(I) : longueur de l'arête I

NBRA : nombre d'arêtes NBNEU : nombre de sommets

NBVOI(I) : nombre de sommets voisins au sommet I NOMI(I)

N0M2(I)

NDEB(I) : vecteur donnant la position, dans le vecteur NBR(.)» de la première arête connectée au sommet I .

NBR(.) : dans ce vecteur, de la position NDEB(I) à la position

(NDEB(1+1)-1), se trouvent les numéros des arêtes connec tées au sommet I .

DIS(.) : matrice de distances entre les différents sommets.

DIS(IJFO(I,J)) est la distance entre les sommets I et J (I

^{5^}

J) .

Nous donnons ci-dessous, les instructions en FORTRAN IV du programme de localisation que nous avons écrit .

PROGRAM CONDOR(INPUT, OUTPUT)

COMMON /NEUl/ NOM(50), POIDS(50), XCOR(50). YCOR(50) COMMON /BRAl/ NQMl<150). N0M2(150),NUMl(150), NUM2<150) COMMON /BRA2/ ALONG(150), NBRA, NBNEU

COMMON /TABl/ NDEB(50).NBVOI(50).NBR(300), DIS(1250), IMD C C; APPELS DES DIFFERENTES SOUS-ROUTINES

C C LECTURE DES DONNEES C CALL READING

C C CALCUL DE LA MATRICE DE DISTANCES C CALL MATDIST

C C DETERMINATION DES SOMMETS CANDIDATS AUX EQUILIBRES C CALL CANDICO

C C FIN DE L'EXECUTION DU PROGRAMME . C STOP

END

22

SUBROUTINE READING

CDMMON /NEUl/ NOM(50>,POIDS(50), XCOR(50) / Y C O R O O ) COMMON /BRAl/ NOMl<150)iNDM2(150). NUMl(150), NUM2(150) COMMON /BRA2/ ALONG(150). NBRA, NBNEU

COMMON /TABl/ NDEB(50),NBVOI<50),NBR(300), DIS(1250), IMD DIMENSION TITRE{8)

C C LECTURE DE DONNEES (lOR DEFINIT LE TYPE DE DONNEES) C IER=0

READ 101, (TITRE( I ), 1 = 1, 8) PRINT 104, (TITRE(I), 1 = 1, 8) READ 100, IDN, IDB, ITV, IMD 1 READ 102, lOR

I F d O R . LT. 0. OR. IDR. GT. 3)G0 TO 23 GO TO (1, 2, 5, 11 ), lOR + l

23 PRINT*," L INDICE D ORIENTATION ", lOR, "FIGURANT SUR CETTE CARTE N lEST PAS PREVU. "

STOP

C C LECTURE DE DONNEES DES NOEUDS C 2 1=0

3 1=1+1

READ 102, ITY,NOM(I),POIDS(I),XCOR(I),YCOR(I) I F d T Y . EQ. O. OR. ITY. EQ. lOR) GO TO 4

PRINT»," DIVERGENCE ENTRE L INDICE D ORIENTATION ET LE TYPE DE CAR ITE, ", lOR, " ET ", ITY

IER=1 GO TO 3

4 I F d T Y . EQ.O) GO TO 22 IF( I. EQ. 1 ) GO TO 3 J1=I-1

DO 21 J=l,Jl

I F ( N O M d ). NE. NOM( J) ) GO TO 21

PRINT*," LE NOM ",NOM(I)," EST ATTRIBUE AUX NOEUDS ",J, " ET ", I 1=1-1 '

PRINT»," LE DERNIER CITE EST ELIMINE "

GO TO 3 21 CONTINUE

GO TO 3 22 NBNEU=I-1

C C CONTROLE DE DONNEES DES NOEUDS C I F d D N . LE. 0) GO TO 1

PRINT 105

DO 15 1=1,NBNEU

15 PRINT 106, I. N O M d ). P O I D S d ), X C O R d ), Y C O R d ) GO TO 1

C C LECTURE DE DONNEES DES BRANCHES C 5 1=0

6 I = I-»-l

READ 103, ITY, NOMl d ), N0M2 d ), ALONG d ) I F d T Y . EQ. O. OR. ITY. EQ. lOR) GO TO 7

PRINT»," DIVERGENCE ENTRE L INDICE D ORIENTATION ET LE TYPE DE CAR ITE, ", lOR, " ET ", ITY

IER=1

7 I F d T Y . EQ. O) GO TO 1 DO S J=l,NBNEU

IF(NOM( J). NE. NOMl (I ) ) GO TO 8 NUM1(I)=J

GO TO 9 8 CONTINUE

PRINT*," LE NOMl ",N0M1(I)," DE LA BRANCHE ",I." N EST PAS REPERTO IRIE PARMI LES NOEUDS. "

IER=1

7 DO 10 J=l, NBNEU

IF(NOM( J). NE. N0M2(I ) ) GO TO 10 NUM2 d ) = J

GO TO 6 10 CONTINUE

PRINT*, " LE N0M2 " , N 0 M 2 d ) , " DE LA BRANCHE ", I, " N EST PAS REPERTO IRIE PARMI LES NOEUDS. "

IER=1

GO TO 6

11 NBRA=I-1

C CONTROLE DE DONNEES DES BRANCHES C IFtlDB. LE. 0) GO TO 17

PRINT 107

DO 16 1=1,NBRA

16 PRINT 108, I, NOMl (I),N0M2(I ), NUMl (I),NUM2(I), ALONG(I) 17 CONTINUE

C C DETERMINATION DES BRANCHES CONNECTEES A CHAQUE NOEUD G NDE=0

DO 14 I=1,NBNEU NDEB(I>=NDE+1 NV=0

DO 13 J=l. NBRA

IF(NOM( I ). NE. NOMl ( J). AND. NOM( I ). NE. N0M2( J) ) GO TO 13 NV=NV+1

NDE=NDE+1 NBR(NDE)=J 13 CONTINUE 14 NBVOI(I)=NV

C C CONTROLE DE NOEUDS VOISINS AUX DIFFERENTS NOEUDS C I F d T V . LE. 0) GO TO 20

PRINT 109

DO 19 I=1,NBNEU

PRINT 110, I, NOM( I ), POIDS( I ), NBVOI ( I ) K=0 J1=NDEB(I>

J2=NDEB(I)+NBVOI(I)-l DO 19 J=J1, J2

KL=NBR(J) ALO=ALONG<KL) K=K+1 »

IF(NUM1<KL). EQ. I) GO TO 18 IP0=1

NOMA=NOM1(KL) NUM=NUM1(KL) GO TO 19 18 IP0=2

N0MA=N0M2CKL) NUM=NUM2CKL)

19 PRINT 111, K, IFO, NOMA, NUM, KL, ALO 20 CONTINUE

I F d E R . EQ. 0) GO TO 12

PRINT*," INDICE D ERREUR NON NUL, EXECUTION DU PROGRAMME ARRETEE lEN FIN DE LECTURE. "

STOP 12 CONTINUE

I F d E R . NE. 0>STOP 100 FORMAT(4012)

101 F0RMAT(8A10)

102 F 0 R M A T d 2 , IX, AlO, 3F5. 1) 103 F 0 R M A T d 2 , IX, 2A10, F5. 1 ) 104 FORMAT(IH ,8A10)

105 FORMAT(1H1//2X, 2SHD0NNEES DES NOEUDS (SOMMETS) /2X,28(1H*) 1///3X, IHI, 3X, 6HN0M(I), 7X, SHPOIDSd), 4X, 7HXC0R(I), 4X, 27HYC0R(I)//)

106 F O R M A T d X , 13, 3X, AlO, F9. 1, 2F11. 1 )

107 FORMAT(1H1//2X, 29HD0NNEES DES BRANCHES (ARETES) /2X,29(1H*) 1///3X, IHI, 4X, 7HN0M1 d ), 6X, 7HN0M2( I ), 6X, 7H(N1/N2), 5X, 211HL0NGUEUR(I) //)

108 F O R M A T d X , 13, 1X, 2 ( 3X, AlO ) , 3X, 1H(, 12, IH/, 12, IH), Fil. 1 ) 109 FORMAT(IHl//2X, 27HTABLEAUX DES NOEUDS VOISINS /2X,27(IH*)/>

110 F0RMAT(///2X, 12, 2X, 8HN0EUD : , 2X, AlO, 2X, 8H- POIDS: , F7. 1, 3X, 119H NOMBRE DE VOISINS: ,14)

111 FORMAT(23X, 12, 8H. NOEUD- ,I1,2H : , AlO, 2H (,I2, 1H),3X, 18HBRANCHE-, 13, 3X, 9HL0NGUEUR: , F7. 1 )

RETURN

ENO

24

SUBROUTINE MATDIST

CDMMON /NEUl/ NQM(50),POIDS(50)/XCOR(30), YCOR(50)

CDMMON /BRAl/ NOMl(150).N0M2(150). NUMl(150). NUM2(150) COMMON /BRA2/ ALONG(150),NBRA, NBNEU

COMMON /TABl/ NDEB(50),NBVOI(50), NBR(300) , DIS(1250), IMD DIMENSION IVA(30). NEUP(30),DIST(30)iNEQ(10)

C C CALCUL DE LA MATRICE DE DISTANCES DANS UN RESEAU PAR LA

C METHODE DE DANTZIG (GRAPHES ET HYPERGRAPHES CC. BERGE3 , 1970.P. 56) C G: RECHERCHE DE LA PLUS COURTE DISTANCE ENTRE LES NOEUDS I ET J

C NB=NBNEU-1 DO 25 I==l. NB DIST(1)=0.

IVA(1)=I

DO 20 J=l. NBNEU 20 NEUP(J)=0

C C RECHERCHE DE LA DISTANCE MINIMALE SUR L'ENSEMBLE DE NOEUDS C SE TROUVANT SUR UN DES CHEMINS POSSIBLES - VECTEUR IVA(.) C 11=1+1

DO 25 J=II,NBNEU

IF(NEUP<J). GT. 0) GO TO 25 ISTOP=0

21 K=K+1 K=0

IF(K. GT. NBNEU)STOP DIMIN=1. E50

IEQ=1 NEQ(1)=0 DO 24 L=l. K NN=IVA(L) KL=NDEB(NN)-1 KLIM=KL+NBVai(NN)

C C PASSAGE EN REVUE DE TOUS LES NOEUDS VOISINS AU NOEUD NN. ET C CONTROLE SI CHACUNE DES BRANCHES CANDIDATES N'A PAS SES C DEUX EXTREMITES SUR LE CHEMIN - DANS IVA(.)

C 22 KL=KL+1

IF(KL. GT. KLIM) GO TO 24 NK=NBR(KL)

IEL=0 IPIVO=0 DO 23 N=1,K NKL=IVA(N)

IFCNUMl (NK). NE. NKL) GO TO 26 IEL=IEL+1

IF<NKL. EQ. NN)IPIV0=1

26 IF(NUM2(NK).NE. NKL) GO TO 23 IEL=IEL+1

IFCNKL. EQ. NN)IPIV0=2 23 CONTINUE

IF<IEL. EQ. 2) GO TO 22 DISA=DIST(L)+ALONG(NK) IF(DISA. GT. DIMIN) GO TO 22 MIN=NUM2(NK)

IF(IPIVO. EQ. 2)MIN=NUM1(NK) DO 27 M=l, lEQ

IF(MIN. NE. NEQ(M) ) GO TO 27 IF(DISA. EQ. DIMIN) GO TO 22 GO TO 32

27 CONTINUE 32 IEQ=IEQ+1

IF(DISA. LT. DIMIN) IEQ=1 DIMIN=DISA

NEQ(IEQ)=MIN

GO TO 22

24 CONTINUE

DO 29 M=l, lEQ NM=NEQ<M) KP=KP+1

IVA(KP)=NM DIST(KP)=DIMIN

IF(NEUP(NM). NE. O. OR. NM. LT. I ) GO TO 29 IJ=IJFO<I,NM>

NEUP(NM)=1 DIS(IJ)=DIMIN

IF(NM. EQ. J) IST0P=1 29 CONTINUE

K=K-1+IEQ

IFdSTOP. EQ. 0)G0 TO 21 25 CONTINUE

C C CONTROLE DE LA MATRICE DES DISTANCES C I F d M D . LE. 0) GO TO 33

KLIM=15 12=0 PRINT 13 28 11=12+1

I2=I2+KLIM

IF( 12. GT. NBNEU) I2=NBNEU PRINT 11, (NOM(I)j 1 = 11, 12) K=0 DO 31 1 = 11, NBNEU

K1=K K=K+1 JR=I1-1 DIST(K)=0.

IF<K. GT. KLIM)K=KLIM IF(K. EQ. 1 ) GO TO 31 DO 30 J=l,Kl

JR=JR+1

IJ=IJFO(I,JR) 30 DIST(J)=DIS(IJ)

31 PRINT 12, I, NOM(I), (DIST(J), J=l, K) K=0 DO 35 1 = 11, 12

saM=o.

K=K+1

DO 34 J=l,NBNEU IJ=IJFO<I,J)

S0M1=DIS(IJ)*P0IDS(J) IF(I. EQ. J)S0M1=0.

34 S0M=S0M+S0M1 35 DIST<K)=SOM

PRINT 14. (DIST(J), J=l, K) IF( 12. LT. NBNEU) GO TO 28 33 CONTINUE

10 FORMAT(///)

11 F O R M A T d O X , 15(4X, A3) )

12 F0RMAT(2X, 12, IX, A3, 2X, 1 5F7. 1)

13 FORMAT(1H1//2X, 20HMATRICE DE DISTANCES /2X, 20(1H«)//) 14 FORMAT(/5X, 5HT0TAL , 15F7. 1)

RETURN END

FUNCTION IJFO<I,J)

c: C IJFO EST LA POSITION QU'OCCUPE LA VALEUR DE LA DISTANCE C ENTRE LES NOEUDS I ET J DANS LE VECTEUR DIS QUI CONTIENT C TOUS LES ELEMENTS DU TRIANGLE INFERIEUR CONSERVES LIGNE C. PAR LIGNE SANS CEUX DE LA DIAGONALE PRINCIPALE (NULS).

C 11 = 1 J1=J

IF( I. LT. J) GO TO 1 I1=J

J1 = I

1 IJF0=J1»(J1-1)/2+Il-<Jl-1) RETURN

END

26

SUBROUTINE CANDICO

COMMON /NEUl/ NOM(50),POIDS(50), XCOR(50), YCOR(30) COMMON /BRAl/ NOMl<150),N0M2<150), NUMl(150), NUM2(150) COMMON /BRA2/ ALONG<150),NBRA, NBNEU

COMMON /TABl/ NDEB(50),NBVOI<50), NBR(300), DIS(1250), IMD COMMON /CANl/ ICOP<10), ICOS(10), MAXAB, MINAB, MAX.MIN COMMON /CAN2/ IWEB(10),NWEB,NBCAP(50), NBP

DIMENSION TMAX<30),TMIN(30)

DETERMINATION DES SOMMETS CANDIDATS A L'EQUILIBRE DE CONDORCET (ICOP: POLLUANT , ICOS: NON-POLLUANT) ET DU SOMMET DE WEBER (IWEB) WEMIN=1. E50

I M E B d >=0 NWEB=0 POITO=0.

DO 1 K=liNBNEU TMAX(K>=0.

TMIN(K)=POIDS(K) POITO=POITO+POIDS<K) DO 6 I=1.NBNEU

SOM=0.

NMAX=0 NMIN=0 DMIN=1. E50 DMAX=-1.E50

DETERMINATION DU NOEUD LE PLUS PROCHE ET DU NOEUD LE PLUS ELOIGNE DU NOEUD I .

DO 5 J=l,NBNEU IF( I. EQ. J)GO TO 5 IJ=IJFO(I. J)

DD=DIS(IJ)

SaM=SOM+POIDS < J)»DD IF(DD. GT. DMIN) GO TO 4 MIN=U

NMIN=NMIN+1

IF(DD. EQ. DMIN) GO TO 4 NMIN=1

DMIN=DD

IF(DD. LT. DMAX) GO TO 5 MAX=J

NMAX=NMAX+1

IF(DD. EQ. DMAX) GO TO 5 NMAX=1

DMAX=DD CONTINUE

PREF=POIDS<I)

RAP=POIDS(I)/POITO IF<RAP. GE. . 5)PREF=0.

IF(NMIN. EQ. 1)TMIN<MIN)=TMIN(MIN)+PREF IF(NMAX. EQ. 1)TMAX(MAX)=TMAX(MAX)+POIDS(I)

CONTROLE SI LE NOEUD I PEUT ETRE CANDIDAT AU POINT DE WEBER

IF<SOM. GT. WEMIN) GO TO 6 NWEB=NWEB+1

IFCSdM. LT. WEMIN)NWEB=1 IWEB(NWEB)=I

WEMIN=SOM

CONTINUE

MIN=0 MAX=0

DO 3 1=1,NBNEU

IF(TMAX(I>. EQ. O. ) GO TD 2 RAP=POITO/TMAX<I)

IF(RAP. GT. 2. ) GO TO 2 MAX=MAX+1

ICOP(MAX)=I

RAP=POITO/TMIN<I)

IF(RAP. GT. 2. ) GO TO 3 MIN=MIN+1

ICOS(MIN)=I CONTINUE

RECHERCHE DES POINTS D'EQUILIBRE CP ET CS AYANT LES PLUS GRANDES MAJORITES . ATTENTION AUX VALEURS DE MAX ET MIN MAXAB=IC0P(1>

MINAB=IC0S<1) AMAX=TMAX(MAXAB) AMIN=TMIN<MINAB)

IF (MAX. LE. 1 ) GO TO 8 DO 7 I=liMAX

II=ICaP<I)

IF{TMAX(II). LE. AMAX) GO TO 7 AMAX=TMAX(II)

MAXAB=ICOP(I) CONTINUE

IF(MIN. LE. 1 ) GO TO 10 DO 9 I = li MIN

II=ICOS(I)

IF(TMIN(II). LE. AMIN) GO TO 7 AMIN=TMIN(II)

MINAB=ICOS(I) CONTINUE

CONTINUE

DETERMINATION DE CHAQUE BRANCHE QUI RELIE DEUX NOEUDS ET QUI N'APPARTIENT PAS AU CHEMIN ENTRE CES NOEUDS .

( BRANCHES CANDIDATES A L'EQUILIBRE POUR UNE UNITE POLLUANTE ) NBP=0

NB1=NBNEU-1 DO 16 1=1,NBl K=NDEB(I)

KLIM=K-1+NBV0I(I) DO 16 KL=K,KLIM NK=NBR(KL) NN=NUM2(NK)

IF(NUM1(NK). NE. I)NN=NUM1(NK) IF(NN. LT. I ) GO TO 16

INN=IJFO(I, NN)

IF(ALONG(NK). LE. DIS(INN)) GO TO 16 NBP=NBP+1

NBCAP(NBP)=NK

CONTINUE

28

C SORTIE DES RESULTATS PRELIMINAIRES DES EQUILIBRES C DE CONDORCET .

C PRINT lOO,NWEB

IF(NWEB. GT. 0)PRINT 104. <(NOM(IWEB(I)). IWEB(I)), 1 = 1,NWEB) PRINT 101,MIN

IF(MIN. LE. 0) GO TO 13 RAPPO=TMIN(MINAB)/POITO DO 11 1=1,MIN

N=ICOS<I)

RAP=TMIN(N)/POITO IST=3H

IF(RAP. LT. RAPPO) GO TO 11 IST=3H»**

11 PRINT 103, I, NQM(N), N, IST, TMIN(N), POITD. RAP 13 PRINT 102. MAX

IF(MAX. LE. 0) GO TO 14 RAPPO=TMAX(MAXAB)/POITO DO 12 1 = 1. MAX

N=ICaP(I)

RAP=TMAX(N)/POITO IST=3H

IFCRAP. LT. RAPPO) GO TO 12 IST=3H*»»

12 PRINT 103, I, NaM(N), N. IST, TMAX (N), POITO, RAP 14 PRINT 105, NBP

IF(NBP. LE. O) GO TO 17 PRINT 106

DO 15 K=l,NBP I=NBCAP(K)

15 PRINT 107,K,N0M1(I),N0M2(I),NUM1(I),NUM2<I), ALONGCI) ' 17 CONTINUE

100 FORMAT(1H1////2X, 7HIL Y A , 12, 31H SOMMET<S) CANDIDAT(S) AU POINT 1,IIH DE WEBER : )

101 F0RMAT(///2X,7HIL Y A ,12,36H SOMMET<S) CANDIDAT(S) A L'EQUILIBRE 1,13H DE CONDORCET /lOX,21H(UNITE NON-POLLUANTE)/)

102 F0RMAT(///2X, 7HIL Y A . 12,36H SOMMETCS) CANDIDAT(S) A L'EQUILIBRE 1,13H DE CONDORCET /lOX,17H(UNITE POLLUANTE)/)

103 F0RMAT(2X, 12. IX, AlO. 1H(. 12, IH), IX, AS. F8. 1, IH/. F8. 1. 2H =. F5. 3, 15H P. U. , 16H DU POIDS TOTAL )

104 F0RMAT(/5X, 5(A10, 1H(, 12, IH), 4X) )

105 F0RMAT(///9H IL Y A ,12,3BH BRANCHE(S) CANDIDATE(S) A L'EQUILIBRE 1,13H DE CONDORCET /lOX,17H(UNITE POLLUANTE)/)

106 F0RMAT(/3X, IHI, 4X,7HN0M1(I), 6X, 7HN0M2(I), 6X, 7H<N1/N2), 5X 1,IIHLONGUEUR(I) //)

107 FORMAT< IX, 13, IX, 2(3X, AlO), 3X, 1H<. 12, IH/, 12, IH), Fil. 1 ) RETURN

END

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