Mathématiques en Première S
David ROBERT 2012–2013
Sommaire
1 Second degré 1
1.1 Activités . . . . 1
1.2 Trinôme . . . . 2
1.2.1 Définition, forme développée. . . . 2
1.2.2 Forme canonique . . . . 2
1.2.3 Racines et discriminant . . . . 2
1.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme . . . . 2
1.3 Fonction trinôme . . . . 3
1.3.1 Définition . . . . 3
1.3.2 Sens de variation . . . . 3
1.4 Bilan . . . . 3
1.5 Exercices et problèmes . . . . 3
1.5.1 Démonstration(s). . . . 3
1.5.2 Technique . . . . 5
1.5.3 Algorithmique. . . . 6
1.5.4 Technologie . . . . 6
1.5.5 Problèmes . . . . 7
Devoir maison n°1 : Intersection droite – parabole 9 Devoir surveillé n°1 : Second degré 11 2 Vecteurs dans le plan 13 2.1 Rappels de Seconde . . . . 13
2.1.1 Translations et vecteurs . . . . 13
2.1.2 Somme de deux vecteurs . . . . 14
2.1.3 Produit d’un vecteur par un réel . . . . 14
2.1.4 Colinéarité . . . . 14
2.2 Exercices . . . . 15
Devoir maison n°2 : Trinôme – Centre de gravité 17 3 Généralités sur les fonctions 19 3.1 Activités . . . . 19
3.2 Notion de fonction (rappels) . . . . 21
3.2.1 Définition . . . . 21
3.2.2 Ensemble de définition . . . . 22
3.2.3 Variations . . . . 22
3.2.4 Courbe . . . . 22
3.3 Opérations sur les fonctions. . . . 22
3.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions . . . . 22
3.3.2 Variations def +g . . . . 22
3.3.3 Fonctions associées . . . . 22
3.3.4 Fonctions composées . . . . 23
3.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes. . . . 23
3.4 Exercices . . . . 24
Devoir surveillé n°2 : Vecteurs – Fonctions 27
SOMMAIRE Première S
4 Suites arithmétiques, suites géométriques 29
4.1 Activités . . . . 29
4.2 Généralités sur les suites. . . . 30
4.2.1 Petit historique sur les suites . . . . 30
4.2.2 Définition et notations. . . . 31
4.2.3 Modes de génération d’une suite. . . . 31
4.2.4 Représentation graphique d’une suite. . . . 32
4.2.5 Monotonie d’une suite. . . . 32
4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques . . . . 33
4.3.1 Suites arithmétiques . . . . 33
4.3.2 Suites géométriques . . . . 33
4.4 Exercices et problèmes . . . . 34
4.4.1 Exercices . . . . 34
4.4.2 Problèmes . . . . 35
Devoir maison n°3 : Suites arithmétiques et géométriques 38 Devoir surveillé n°3 : Suites arithmétiques et géométriques 39 5 Équations cartésiennes 41 5.1 Rappels de Seconde . . . . 41
5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs . . . . 42
5.3 Équations cartésiennes d’une droite . . . . 42
5.4 Équation cartésienne d’un cercle. . . . 43
5.5 Exercices . . . . 43
5.5.1 Vecteurs – Colinéarité . . . . 43
5.5.2 Équations de droites . . . . 43
5.5.3 Équations de cercle. . . . 44
5.5.4 Divers. . . . 44
Devoir maison n°4 : Intersection droite – cercle 45 Devoir surveillé n°4 : Équations cartésiennes 47 6 Nombre dérivé 49 6.1 Activités . . . . 49
6.2 Bilan et compléments . . . . 50
6.3 Interprétation graphique du nombre dérivé . . . . 51
6.4 Exercices . . . . 51
6.4.1 Coefficients directeurs (rappels) . . . . 51
6.4.2 Lectures graphiques de nombres dérivés . . . . 53
6.4.3 Tracés. . . . 54
6.4.4 Calculs de nombres dérivés . . . . 55
7 Statistiques 57 7.1 Rappels de Seconde . . . . 58
7.1.1 Vocabulaire . . . . 58
7.1.2 Mesures centrales. . . . 58
7.1.3 Mesures de dispersion . . . . 59
7.2 Un problème. . . . 59
7.2.1 Le problème . . . . 59
7.2.2 Résolution du problème . . . . 60
7.3 Bilan et compléments . . . . 61
7.3.1 Médiane et quartiles . . . . 61
7.3.2 Moyenne arithmétique, variance et écart-type. . . . 61
7.3.3 Représentations graphiques . . . . 63
7.4 Exercices . . . . 64
Devoir maison n°5 : Statistiques 67
Devoir surveillé n°5 : Nombre dérivé – Statistiques 69
Première S SOMMAIRE
8 Dérivation 71
8.1 Fonction dérivée . . . . 71
8.1.1 Activités . . . . 71
8.1.2 Bilan et compléments . . . . 71
8.2 Opérations sur les fonctions. . . . 72
8.2.1 Activités . . . . 72
8.2.2 Bilan et compléments . . . . 72
8.3 Applications de la fonction dérivée. . . . 73
8.3.1 Activités . . . . 73
8.3.2 Bilan et compléments . . . . 73
8.4 Exercices . . . . 74
8.4.1 Technique . . . . 74
8.4.2 Lectures graphiques . . . . 74
8.4.3 Études de fonctions . . . . 77
8.4.4 Problèmes . . . . 79
Devoir surveillé n°6 : Dérivation 83 9 Variables aléatoires 85 9.1 Activités . . . . 85
9.2 Rappels . . . . 87
9.2.1 Vocabulaire des ensembles . . . . 87
9.2.2 Expériences aléatoires . . . . 88
9.3 Probabilités . . . . 88
9.3.1 Loi de probabilité sur un universΩ . . . . 88
9.3.2 Une situation fondamentale : l’équiprobabilité . . . . 89
9.3.3 Loi des grands nombres . . . . 89
9.4 Variables aléatoires . . . . 90
9.4.1 Les situations . . . . 90
9.4.2 Définition . . . . 90
9.4.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . 90
9.4.4 Espérance, variance, écart type . . . . 91
9.5 Exercices . . . . 91
Devoir maison n°6 : Probabilités 94 Devoir surveillé n°7 : Dérivation – Variables aléatoires 95 10 Angles orientés 97 10.1 Activité . . . . 97
10.2 Angles orientés . . . . 98
10.2.1 Orientation du plan . . . . 98
10.2.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls . . . . 98
10.2.3 Propriétés des mesures des angles orientés. . . . 99
10.2.4 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . . 99
10.3 Trigonométrie . . . 100
10.3.1 Rappels. . . 100
10.3.2 Lignes trigonométriques. . . 100
10.3.3 Résolutions d’équations trigonométriques . . . 100
10.4 Exercices . . . 101
11 Produit scalaire : définitions, propriétés Formules de la médiane 105 11.1 Activités . . . 105
11.2 Bilan et compléments . . . 107
11.2.1 Définitions. . . 107
11.2.2 Propriétés . . . 107
11.3 Formules de la médiane . . . 108
11.4 Exercices . . . 109
Devoir maison n°7 : Puissance d’un point par rapport à un cercle 112
David ROBERT v
SOMMAIRE Première S
12 Loi binomiale 113
12.1 Activité . . . 113
12.2 Bilan et compléments . . . 116
12.2.1 Premières définitions. . . 116
12.2.2 Cœfficients binomiaux. . . 116
12.2.3 Loi binomiale . . . 118
12.2.4 Utilisation de la calculatrice. . . 118
12.2.5 Échantillonage et prise de décision . . . 118
12.3 Exercices . . . 119
Devoir surveillé n°8 : Produit scalaire – Loi binomiale 123 13 Compléments sur les suites 125 13.1 Activités . . . 125
13.2 Monotonie d’une suite : méthodes . . . 126
13.2.1 Signe de la différenceun+1−un . . . 126
13.2.2 Comparaison deuun+1n à 1 . . . 126
13.2.3 Variations de la fonction associée . . . 127
13.3 Convergence d’une suite. . . 127
13.4 Exercices . . . 128
13.4.1 Monotonie. . . 128
13.4.2 Convergence. . . 128
14 Applications du produit scalaire 131 14.1 Équations cartésiennes de droites et de cercles . . . 131
14.1.1 Équations cartésiennes de droites . . . 131
14.1.2 Équations cartésiennes de cercle. . . 132
14.2 Relations métriques dans le triangle . . . 132
14.2.1 Formule d’AL-KASHI . . . 132
14.2.2 Formule de l’aire . . . 132
14.2.3 Formule des sinus . . . 133
14.2.4 Formule de HÉRON . . . 133
14.3 Trigonométrie . . . 133
14.3.1 Rappels. . . 133
14.3.2 Formules d’addition . . . 134
14.3.3 Formules de duplication. . . 134
14.3.4 Formules de linéarisation . . . 134
14.3.5 Démonstrations des formules . . . 134
14.4 Exercices . . . 135
14.4.1 Équations cartésiennes . . . 135
14.4.2 Relations métriques . . . 136
14.4.3 Trigonométrie . . . 136
Chapitre 1
Second degré
Sommaire
1.1 Activités . . . . 1
1.2 Trinôme . . . . 2
1.2.1 Définition, forme développée. . . . 2
1.2.2 Forme canonique. . . . 2
1.2.3 Racines et discriminant . . . . 2
1.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme . . . . 2
1.3 Fonction trinôme . . . . 3
1.3.1 Définition . . . . 3
1.3.2 Sens de variation . . . . 3
1.4 Bilan . . . . 3
1.5 Exercices et problèmes. . . . 3
1.5.1 Démonstration(s). . . . 3
1.5.2 Technique . . . . 5
1.5.3 Algorithmique. . . . 6
1.5.4 Technologie . . . . 6
1.5.5 Problèmes . . . . 7
1.1 Activités
ACTIVITÉ1.1.
Soientf etgdeux fonctions définies surRpar, respectivement f(x)=2x2−x−1 etg(x)=2¡ x−14¢2
−98. 1. Montrer que, pour tout réelx,f(x)=g(x).
2. En déduire l’extremum def.
3. En déduire les éventuelles solutions de l’équationf(x)=0.
4. En déduire le signe def selon les valeurs dex
On vient de voir, sur un exemple, que lorsqu’une fonction trinômef(x)=ax2+bx+cest écrite sous la formef(x)= α(x+β)2+γ, appelée forme canonique (on admettra qu’une telle forme existe toujours), alors il est plus facile d’en étudier les caractéristiques. En Seconde, cette seconde forme était toujours donnée, en Première nous allons apprendre à la trouver, c’est-à-dire à trouverα,βetγà partir dea,betc.
ACTIVITÉ1.2(Cas général).
Soitf la fonction définie surRparf(x)=ax2+bx+coùa,betcsont des réels, aveca6=0 etα,βetγtrois réels tels qu’on a aussif(x)=α(x+β)2+γ.
1. Développerα(x+β)2+γ.
2. On admet que deux fonctions trinômesf :x7→ax2+ bx+cetg:x7→a′x2+b′x+c′sont égales pour tout x∈Rsi et seulement sia=a′,b=b′etc=c′. En déduirea,betcen fonction deα,βetγ.
3. En déduireα,βetγen fonction dea,betc.
4. Application : on donnef(x)= −3x2+6x−4 pour tout x∈R.
(a) Déterminer la forme canonique def (b) En déduire l’extremum def.
(c) En déduire les éventuelles solutions de l’équa- tionf(x)=0.
(d) En déduire le signe def selon les valeurs dex 1
1.2 Trinôme Première S
1.2 Trinôme
1.2.1 Définition, forme développée
Définition 1.1. On appelletrinômetoute expression qui peut s’écrire sous la formeax2+bx+coùa,betcsont des réels eta6=0. Cette forme s’appelle laforme développéedu trinôme.
1.2.2 Forme canonique
Théorème 1.1. Tout trinôme ax2+bx+c peut s’écrire sous la formeα(x+β)2+γoùα,βetγsont des réels. Cette forme s’appelle laforme canoniquedu trinôme.
Preuve. L’activité1.2a montré queα=a,β=2ab etγ= −b2−4ac4a . ♦ Remarque. Pour alléger les écritures, et parce que cette quantité aura un rôle important plus tard, on notera :
∆=b2−4ac.
La forme canonique devient alors : Propriété 1.2.
Si a6=0alors ax2+bx+c=a µ
x+ b 2a
¶2
− ∆
4a où∆=b2−4ac
1.2.3 Racines et discriminant
Définitions 1.2. Soit un trinômeax2+bx+c. On appelle :
• racinedu trinôme tout réel solution de l’équationax2+bx+c=0 ;
• discriminantdu trinôme, noté∆, le nombre∆=b2−4ac.
Propriété 1.3. Soit ax2+bx+c un trinôme et∆=b2−4ac son discrimant.
• Si∆<0, alors le trinômen’a pas de racine.
• Si∆=0, alors le trinôme aune unique racine: x0= −b 2a.
• Si∆>0, alors le trinôme adeux racines: x1=−b+
p∆
2a et x2=−b−
p∆ 2a
Preuve. La preuve sera faite en classe. ♦
Remarques. • Le signe de∆permet dediscriminer1les équations de typeax2+bx+c=0 qui ont zéro, une ou deux solutions, c’est la raison pour laquelle on l’appelle lediscriminant.
• Si∆=0 les formules permettant d’obtenirx1etx2donnentx1=x0etx2=x0; pour cette raison, on appelle parfois x0laracine doubledu trinôme.
1.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme
Propriété 1.4. Soit ax2+bx+c un trinôme.
• Si le trinôme a deux racines x1et x2alors ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
• Si le trinôme a une racine x0alors ax2+bx+c=a(x−x0)(x−x0)=a(x−x0)2.
• Si le trinôme n’a pas de racine, une telle factorisation est impossible.
Cette écriture, lorsqu’elle existe, est appeléeforme factoriséedu trinôme.
Preuve. On a obtenu les formes factorisées dans la démonstration précédente. ♦ Propriété. Soit ax2+bx+c un trinôme.
• Si le trinôme n’a pas de racine, ax2+bx+c est strictement du signe de a pour tout x.
• Si le trinôme a une racine, ax2+bx+c est strictement du signe de a pour tout x6= −2ab et s’annule quand x= −2ab .
• Si le trinôme a deux racines x1et x2, ax2+bx+c est :
· strictement du signe de a quand x∈]− ∞;x1[∪]x2;+∞[;
· strictement du signe opposé de a quand x∈]x1;x2[;
· s’annule en x1et en x2.
1. Discriminer.v. tr.Faire la discrimination, c’est-à-dire l’action de distinguer l’un de l’autre deux objets, ici des équations
Première S 1.3 Fonction trinôme
On peut aussi énoncer cette propriété de la façon synthétique suivante :
Propriété 1.5. Un trinôme ax2+bx+c est du signe de a sauf entre les racines, si elles existent.
Preuve. La preuve sera faite en classe. ♦
1.3 Fonction trinôme
1.3.1 Définition
Définition 1.3. On appellefonction trinômeune fonctionf, définie surR, qui àxassocief(x)=ax2+bx+coùa6=0.
1.3.2 Sens de variation
Propriété 1.6. Soit f(x)=ax2+bx+c une fonction trinôme. Alors f a les variations résumées dans les tableaux ci- dessous :
• Si a>0:
x −∞ −b
2a +∞
f +∞ +∞
• Si a<0:
x −∞ −b
2a +∞
f
−∞ −∞
Preuve. Voir l’exercice1.1de la présente page. ♦
1.4 Bilan
Le tableau1.1page suivante résume les choses à retenir sur le chapitre.
1.5 Exercices et problèmes
1.5.1 Démonstration(s)
EXERCICE1.1.
Soitf une fonction définie surRtelle quef(x)=ax2+bx+c=a³ x+2ab´2
−4a∆ oùa6=0. Dans chacun des cas suivants, compléter :
1. a>0 etx1<x26−2ab
... ... ... ... x1 < x2 ... ... ... ...
... ... ... ... x1+2ab ... ... x2+2ab ... ... ... ...
... ... ... ... ³
x1+2ab ´2
... ... ³
x2+2ab´2
... ... ... ...
... ... ... ... a³
x1+2ab ´2
... ... a³
x2+2ab´2
... ... ... ...
... ... ... ... a³
x1+2ab´2
−4a∆ ... ... a³
x2+2ab´2
−4a∆ ... ... ... ...
... ... ... ... f(x1) ... ... f(x2) ... ... ... ...
Doncf est . . . sur . . . . 2. a>0 et−2ab 6x1<x2
... ... ... ... x1 < x2 ... ... ... ...
... ... ... ... x1+2ab ... ... x2+2ab ... ... ... ...
... ... ... ... ³
x1+2ab ´2
... ... ³
x2+2ab´2
... ... ... ...
... ... ... ... a³
x1+2ab ´2
... ... a³
x2+2ab´2
... ... ... ...
... ... ... ... a³
x1+2ab´2
−4a∆ ... ... a³
x2+2ab´2
−4a∆ ... ... ... ...
... ... ... ... f(x1) ... ... f(x2) ... ... ... ...
Doncf est . . . sur . . . .
David ROBERT 3
1.5 Exercices et problèmes Première S
TABLE1.1: Bilan du second degré
∆=b2−4ac
∆<0 ∆=0 ∆>0
ax2+bx+c=0 n’a pas de solution dansR
ax2+bx+c=0 a une solution :x0= −2ab
ax2+bx+c=0 a deux solutionsx1=−b−
p∆ 2a et x2=−b+
p∆ 2a
ax2+bx+cn’a pas de racine ax2+bx+ca une racine
double ax2+bx+ca deux racines Aucune factorisation ax2+bx+c=a(x−x0)2 ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
Sia>0
x −∞ −b
2a +∞
ax2+bx+c
O x
y
−b
2a O x
y
× x0= −b
2a
O x
y
−b
2a ×
×x1 x2
ax2+bx+c>0 surR ax2+bx+c>0 surR
ax2+bx+c>0 sur ]− ∞;x1]∪[x2;+∞[ etax2+bx+c60 sur [x1;x2]
Sia<0
x −∞ −b
2a +∞
ax2+bx+c
O x
y
−b
2a O x
y
× x0= −b
2a
O x
y
−b 2a
×
x1× x2
ax2+bx+c<0 surR ax2+bx+c60 surR
ax2+bx+c60 sur ]− ∞;x1]∪[x2;+∞[ etax2+bx+c>0 sur [x1;x2]
Première S 1.5 Exercices et problèmes
3. a<0 etx1<x26−2ab
... ... ... ... x1 < x2 ... ... ... ...
... ... ... ... x1+2ab ... ... x2+2ab ... ... ... ...
... ... ... ... ³
x1+2ab ´2
... ... ³
x2+2ab´2
... ... ... ...
... ... ... ... a³
x1+2ab ´2
... ... a³
x2+2ab´2
... ... ... ...
... ... ... ... a³
x1+2ab´2
−4a∆ ... ... a³
x2+2ab´2
−4a∆ ... ... ... ...
... ... ... ... f(x1) ... ... f(x2) ... ... ... ...
Doncf est . . . sur . . . . 4. a<0 et−2ab 6x1<x2
... ... ... ... x1 < x2 ... ... ... ...
... ... ... ... x1+2ab ... ... x2+2ab ... ... ... ...
... ... ... ... ³
x1+2ab ´2
... ... ³
x2+2ab´2
... ... ... ...
... ... ... ... a³
x1+2ab ´2
... ... a³
x2+2ab´2
... ... ... ...
... ... ... ... a³
x1+2ab´2
−4a∆ ... ... a³
x2+2ab´2
−4a∆ ... ... ... ...
... ... ... ... f(x1) ... ... f(x2) ... ... ... ...
Doncf est . . . sur . . . . EXERCICE1.2.
Soitf une fonction définie surRparf(x)=ax2+bx+coùa6=0.
1. Montrer que siaetcsont de signes opposés alors l’équationf(x)=0 admet deux solutions.
2. Peut-on affirmer que si l’équationf(x)=0 admet deux solutions alorsaetcsont de signes opposés ?
1.5.2 Technique
EXERCICE1.3.
Résoudre dansR, sans utiliser les propriétés des trinômes, les équations suivantes :
• x2=9 ;
• x2= −3 ;
• (x−5)2=3 ;
• (5x−4)2−(3x+7)2=0 ;
• (3x+5)2=(x+1)2;
• (2x−1)2+x(1−2x)=4x2−1.
EXERCICE1.4.
Résoudre dansRles équations suivantes :
• 4x2−x−3=0 ;
• (t+1)2+3=0 ;
• x2+1050x+25×1098=0 ;
• x2+3x=0 ;
• 4x2−9=0 ;
• x2+9=0 ;
• x3+2x2−4x+1=0 ;
• x3+2x2−4x=0
• 2(2x+1)2−(2x+1)−6=0.
EXERCICE1.5.
On noteP(x)= −2x2−x+1.
1. RésoudreP(x)=0. 2. FactoriserP(x). 3. RésoudreP(x)60.
EXERCICE1.6.
Pour les fonctions données ci-après et définies surR:
• Déterminer les éventuelles valeurs dexpour lesquelles la fonction s’annule.
• Donner le signe de la fonction selon les valeurs dex.
1. f(x)=x2+x+1 2. g(x)= −x2−x+1
3. h(x)=x2−x−2 4. i(x)= −x2+2x−1
5. j(x)= −x2+2x−2
EXERCICE1.7.
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
• 2x−5 x−1 =x−1
x+1
• x2−x+1
x+2 =2x+3
• −2x2+7x−560 ;
• −x2+9x+22>0 ;
• 3x2+x+1 x2−3x−10>0.
• x2−3x+2
−x2+2x+3>0
David ROBERT 5
1.5 Exercices et problèmes Première S
1.5.3 Algorithmique
EXERCICE1.8.
Les algorithmes à écrire suivants prennent tous comme arguments trois réelsa,betcaveca6=0.
1. Écrire un algorithme renvoyant la valeur du discriminant du trinômeax2+bx+c.
2. Écrire un algorithme renvoyant le signe du discriminant du trinômeax2+bx+c.
3. Écrire un algorithme renvoyant le nombre de racines du trinômeax2+bx+c.
4. Écrire un algorithme renvoyant le nombre de racines du trinômeax2+bx+cet la valeur de ces racines, le cas échéant.
5. Écrire un algorithme renvoyant le signe du trinômeax2+bx+csuivant les valeurs dex.
1.5.4 Technologie
EXERCICE1.9.
Soitf la fonction polynôme définie surRparf(x)= −x3−3x2+13x+15.
1. Montrer quex= −1 est racine de ce polynôme.
2. Déterminer trois réelsa,betctels quef(x)=(x+1)(ax2+bx+c).
3. (a) Terminer la factorisation def(x).
(b) Résolvez l’inéquationf(x)>0.
EXERCICE1.10.
Soitf la fonction définie surRparf(x)= −3x2+2x+1. On noteCla courbe représentative def dans un repère¡ O;~ı,~¢
. 1. Précisez la nature de la courbeCet les coordonnées de son sommetS.
2. Montrer que la courbeC coupe l’axe des ordonnées en un point dont on précisera les coordonnées.
3. Montrer que la courbeC coupe l’axe des abscisses en deux pointsAetBdont on précisera les coordonnées.
4. Pour quelles valeurs dexla courbeC est-elle situé au dessus de l’axe des abscisses ? EXERCICE1.11.
Voici quatre équations :
• A:y=x2−6x+8 • B:y=2(x−2)(x−4) • C:y=x2+1 • D:y=1−x2 La figure1.1de la présente page propose quatre paraboles.
Retrouver l’équation de chacune de ces paraboles en justifiant.
FIGURE1.1: Paraboles de l’exercice1.11
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
1 2 3 4 5
−1
x y P1
1 2 3 4 5 6 7 8
−1 1 2 3
−1
−2
−3
−4
x y
P2
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
1 2 3
−1
−2
−3
−4
x y
P3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1 1 2 3 4 5 6
−1
x y
P4
EXERCICE1.12.
Chacune des trois paraboles de la figure1.12de la présente page est la représentation graphique d’une fonction trinôme.
Déterminer l’expression de chacune de ces fonctions.
EXERCICE1.13.
On donne, définies surR, les fonctionsf(x)=x2+x−1 etg(x)=x+3.
1. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection des courbes def et deg.
2. Déterminer les positions relatives des courbes def et degc’est-à-dire les valeurs dexpour lesquelles la courbe def et au-dessus de celle deget réciproquement.
EXERCICE1.14.
Mêmes questions que l’exercice précedent avecf(x)=x2etg(x)=x.
Première S 1.5 Exercices et problèmes
FIGURE1.2: Paraboles de l’exercice1.12
1 2 3 4 5 6
−1
−1 1
−2
−3
x y
P1
1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
x y
P2
1 2 3
−1
−2
−1
−2
−3
−4
x y
P3
1.5.5 Problèmes
PROBLÈME1.1.
Une entreprise produit de la farine de blé.
On noteqle nombre de tonnes de farine fabriquée avec 0<q<80.
La tonne est vendue 120(et le coût de fabrication deqtonnes de farine est donné, en(, parC(q)=2q2+10q+900.
1. Déterminer la quantité de farine à produire pour que la production soit rentable.
2. Déterminer la production correspondant au bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice.
PROBLÈME1.2.
Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540.
PROBLÈME1.3.
Une zone de baignade rectangulaire est délimitée par une corde (agrémentée de bouées) de longueur 50 m. Quelles doivent être les dimensions de la zone pour que la surface soit maximale ?
plage zone de baignade
PROBLÈME1.4.
Quelle largeur doit-on donner à la croix pour que son aire soit égale à l’aire restante du drapeau ?
4 cm
3cm x
x
PROBLÈME1.5.
AetBsont deux points du plan tels queAB=1.Mest un point du segment [AB]. On construit dans le même demi- plan les pointsP etQtels queAMPetMBQsont des tri- angles équilatéraux.
1. Déterminer la position de M qui rend maximale l’aire du triangleMPQ.
2. Expliquer pourquoi cette position rend minimale l’aire du quadrilatèreABQP.
bA b Bb
M
b
P
b
Q
David ROBERT 7
