4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques
4.3.2 Suites géométriques
Définition et premières propriétés
Définition 4.8(par récurrence). On appellesuite géométriquetoute suite (un) telle que Pour tout entier natureln,un+1=q×unoùq∈R qest appeléla raisonde la suite géométrique.
David ROBERT 33
4.4 Exercices et problèmes Première S
Remarques. 1. Siq=0, tous les termes de la suite, hormis peut-êtreu0sont nuls.
Siu0=0, tous les termes de la suite sont nuls.
En dehors de ces deux cas triviaux, inintéressants, tous les termes de la suite sont différents de zéro.
2. Pour démontrer qu’une suite est géométrique (en dehors des deux cas triviaux), il suffit de montrer que, pour tout n, le quotientuun+1n est constant. Cette constante sera alors la raison de la suite.
EXERCICE.• La suite définie par : pour toutn,un=n2est-elle géométrique ?
• Parmi les suites rencontrées dans les activités d’introduction, lesquelles sont géométriques ?
Propriété 4.4(Formule explicite). Soit(un)une suite géométrique de premier terme u0et raison q. Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que06p6n, on a :
un=qn−pup
Et en particulier, avec p=0: un=qnu0
Nous l’admettrons.
Variations d’une suite géométrique
On ne s’intéresse, en première, qu’aux variations de suites géométriques de raison positive.
Propriété 4.5. Soit(un)une suite géométrique de raison q>0. Alors, si u0>0:
• si q=0,(un)est . . . .pour n>1
• si0<q<1,(un)est . . . ;
• si q=1,(un)est . . . ;
• si q>1,(un)est . . . . Preuve. Hormis le premier cas, trivial : pour toutn>0 on auun+1n =q, ce qui donne le résultat. ♦ Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
Propriété 4.6. Soit(un)une suite géométrique de raison q6=1et n et p deux entiers naturels tels que06p6n.
Alors :
Xn i=p
ui=up1−qn−p+1 1−q
En particulier, en posant p=0, on obtient : Xn
i=0
ui=u0+u1+...+un=u01−qn+1 1−q
La preuve sera faite en classe.
Cette formule peut se retenir de la façon suivante :
La somme S de termesconsécutifsd’une suite géométrique est : S=1erterme1−qnb de termes
1−q
4.4 Exercices et problèmes
4.4.1 Exercices
EXERCICE4.1.
Pour chacune des suites données ci-dessous :
• u0=0 etun+1=un+12pour toutn∈N
• vn=5−2npour toutn∈N
• wn=(n+1)2−n2pour toutn∈N
• xn=n+13n pour toutn∈N
• yn=¡1
2
¢n
pour toutn∈N 1. Calculer les trois premiers termes.
2. La suite est-elle géométrique ? arithmétique ? 3. Si elle est arithmétique ou géométrique :
(a) calculer le terme de rang 100 ;
(b) calculer la somme des termes jusqu’au rang 100.
Première S 4.4 Exercices et problèmes
EXERCICE4.2. 1. La suite (un) est artihmétique de rai-sonr=8. On sait queu100=650.
Que vautu0?
2. La suite (un) est arithmétique de raisonr. On sait queu50=406 etu100=806.
(a) Déterminerretu0.
(b) CalculerS=u50+u51+...+u100.
EXERCICE4.3.
On considère une suite géométrique (un) de premier termeu1=1 et de raisonq= −2.
1. Calculeru2,u3etu4. 2. Calculeru20.
3. Calculer la sommeS=u1+u2+...+u20. EXERCICE4.4. 1. La suite (un) est géométrique de raisonq=12. On sait queu8= −1.
Que vautu0?
2. La suite (un) est géométrique de raisonq. On sait queu4=10 etu6=20.
(a) Déterminerqetu0.
(b) CalculerS=u50+u51+...+u100. EXERCICE4.5.
Après avoir mis en évidence la suite dont il s’agit et prouver qu’elle est, le cas échéant, arithmétique ou géométrique, calculer les sommes suivantes :
• S1=1+2+3+...+998+999
• S2=2006+2007+...+9999
• S3=1−2+4−8+16−32+...+4096
• S4=1+3+9+27+...+59049
• S5=1+3+5+7+...+999
• A=1+12+212+...+2128
• B=3+6+9+...+99
4.4.2 Problèmes
PROBLÈME4.1.
Un étudiant loue un chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail :
• Premier contrat: un loyer de 200(pour le premier mois, puis une augmentation de 5(par mois jusqu’à la fin du bail ;
• Second contrat: un loyer de 200(pour le premier mois, puis une augmentation de 2 % par mois jusqu’à la fin du bail.
Question : Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ?
1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
2. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c’est-à-dire celui du 36èmois.
3. Répondre à la question.
PROBLÈME4.2.
Le nombre d’adhérents d’un club sportif augmente de 5 % chaque année. En 1990, il y avait 500 adhérents.
Question : le nombre d’adhérents peut-il doubler et, si oui, en quelle année ?
Pour chaque année à partir de 1990 on noteunle nombre d’adhérents l’année 1990+n.
1. Quelle est la valeur deu0? deu1?
2. Préciser la nature de la suite (un) puis exprimerunen fonction den.
3. Répondre à la question.
PROBLÈME4.3.
Un étudiant souhaite s’acheter une super collection de CD d’une valeur de 1 000(. Pour économiser une telle somme, il ouvre un compte épargne à la banque qui rapporte 0,25 % mensuellement. À l’ouverture, il dépose 100(le premier d’un mois et ensuite 50(le 1er de chaque mois.
Question : Quel sera le nombre de mois nécessaires pour l’achat de la collection ?
On posec0=100 et on notecnle capital le premier de chaque mois après le versement initial.
1. Calculer les capitauxc1,c2etc3du premier, deuxième et troisième mois.
2. Montrer que (cn) vérifie une relation de récurrence de la formecn+1=acn+b, oùaetbsont des réels à déterminer.
3. On poseun=cn+20000.
(a) Montrer que cette suite est géométrique. (b) En déduireunpuiscnen fonction den.
4. À l’aide de la calculatrice, répondre à la question.
David ROBERT 35
4.4 Exercices et problèmes Première S
PROBLÈME4.4.
Monsieur X désire financer un voyage dont le coût est de 6 000(.
Pour ce faire, il a placé 2 000(le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire, à intérêts composés au taux annuel de 3,5 % (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). À partir de l’année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700(supplémentaires sur ce livret.
Question : En quelle année aura-t-il assez d’argent pour financer son voyage ?
On désigne parCnle capital, exprimé en euros, disponible le 1erjanvier de l’année (2003+n) , oùnest un entier naturel.
Ainsi, on aC0=2000.
1. (a) Calculer le capital disponible le lerjanvier 2004.
(b) Établir, pour tout entier natureln, une relation entreCn+1etCn. 2. Pour tout entier natureln, on pose :un=Cn+20000.
(a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
(b) Exprimerunen fonction den.
(c) En déduire que, pour tout entier natureln, on a :Cn=22000×(1,035)n−20000.
3. À l’aide de la calculatrice, répondre à la question.
PROBLÈME4.5.
Jean est en train de lire un livre. En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il a déjà lues, il obtient 351. en additionnant les numéros de toutes les pages qu’il lui reste à lire, il obtient 469.
1. À quelle page en est Jean ?
2. Combien de pages comporte ce livre ? On supposera que le livre commence à la page n°1.
PROBLÈME4.6.
Lequel des deux nombres suivants est le plus grand ?
• A=2005(1+2+3+...+2006) • B=2006(1+2+3+...+2005) PROBLÈME4.7.
Un fournisseur fait une étude sur la fidélité de sa clientèle depuis l’annéen=0, où il y a eu 200 clients. Chaque année, sa clientèle est composée de 50% des clients de l’année précédente auxquels s’ajoutent 400 nouveaux clients.
1. Soitunle nombre de clients l’annéen.
Justifier queun+1=0,5un+400, puis calculeru1,u2,u3etu4. 2. On considère la suite (vn) définie parvn=un−800.
(a) Vérifier quevn+1=0,5vn.
(b) Quelle est la nature de la suite (vn) ?
(c) En déduire l’expression devn, puis celle deun, en fonction den. (d) Calculeru100,u1000etu10000.
Que peut-on alors conjecturer concernant le nombre de clients du fournisseur ? PROBLÈME4.8.
Le 1erjanvier 2005, une grande entreprise compte 1500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année. Pour tout entiernon appelleunle nombre d’employés le 1erjanvier de l’année (2005+n) .
1. Détermineru0,u1,u2etu3
2. (a) Montrer queun+1=0,9un+100.
(b) Cette suite est-elle arithmétique ? Cette suite est-elle géométrique ? 3. On posevn=un−1000.
(a) Déterminerv0,v1,v2etv3. (b) Montrer que (vn) est géométrique.
(c) En déduirevnen fonction den.
(d) En déduireunen fonction den.
(e) En déduire quel sera l’effectif de l’entreprise le 1erjanvier de l’année 2027
Première S 4.4 Exercices et problèmes
PROBLÈME4.9.
Une ville comprenait 300 000 habitants au premier janvier 1950. On estime que la ville accueille tous les ans 2% de nouveaux arrivants et a un taux annuel de natalité de 3%. On constate curieusement un nombre fixe de décès et de départ de 800 personnes par an. On veut déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au double de la population en 1950.
1. Quelle était la population estimée de la ville le premier janvier 1951 ? 2. On notepnla population de la ville à l’année 1950+n.
Exprimerpn+1en fonction depn. 3. On poseqn=pn−16000.
(a) Montrer que cette suite est une suite géométrique.
(b) Exprimerqnpuispnen fonction den.
4. Montrer que¡ pn¢
est croissante.
5. Déterminer, à l’aide de votre calcultrice, à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au double de la population en 1950.
David ROBERT 37
Devoir maison n°3
Suites arithmétiques et géométriques
À rendre pour le vendredi 20 novembre PROBLÈME3.1.
On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour toutn∈N, par : un=3×2n−4n+3
2 etvn=3×2n+4n−3 2
1. Soit (wn) la suite définie parwn=un+vn. Démontrer que (wn) est une suite géométrique.
2. Soit (tn) la suite définie partn=un−vn. Démontrer que (tn) est une suite arithmétique.
3. Exprimer la somme suivante en fonction den:Sn=u0+u1+...+un
PROBLÈME3.2.
On considère la suite (un) définie par : (un) :
½ u0= −7
un+1=7u−unn+−365 pour toutn∈N
1. Calculeru1etu2. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? 2. On posevn=un1+6pour toutn∈N.
(a) Calculerv0,v1etv2. Que peut-on conjecturer sur la nature de (vn) ? (b) Démontrer votre conjecture.
(c) En déduire l’expression devnen fonction denpuis celle deun. (d) Étudier la monotonie de (un).
(e) Calculeru20.
Devoir maison n°3
Suites arithmétiques et géométriques
À rendre pour le vendredi 20 novembre PROBLÈME3.1.
On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour toutn∈N, par : un=3×2n−4n+3
2 etvn=3×2n+4n−3 2
1. Soit (wn) la suite définie parwn=un+vn. Démontrer que (wn) est une suite géométrique.
2. Soit (tn) la suite définie partn=un−vn. Démontrer que (tn) est une suite arithmétique.
3. Exprimer la somme suivante en fonction den:Sn=u0+u1+...+un
PROBLÈME3.2.
On considère la suite (un) définie par : (un) :
½ u0= −7
un+1=7u−unn+36−5 pour toutn∈N
1. Calculeru1etu2. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? 2. On posevn=un1+6pour toutn∈N.
(a) Calculerv0,v1etv2. Que peut-on conjecturer sur la nature de (vn) ? (b) Démontrer votre conjecture.
(c) En déduire l’expression devnen fonction denpuis celle deun. (d) Étudier la monotonie de (un).
(e) Calculeru20.
Nom : Vendredi 20 novembre 2012 – 1h00
Devoir surveillé n°3
Suites arithmétiques et géométriques
EXERCICE3.1(3 points).
Après avoir mis en évidence la suite dont il s’agit et prouver qu’elle est, le cas échéant, arithmétique ou géométrique, calculer la somme suivante :
S=1−3+9−27+...+59049 EXERCICE3.2(7 points).
Un bail est un contrat de location entre un locataire et un propriétaire.Traditionnellement sa durée est de trois ans.
On propose à un locataire deux types de bail :
• ContratA: Le premier loyer est de 2 000 euros et il augmente chaque mois de 23 euros pendant la durée des trois ans.
• ContratB: Le premier loyer est de 2 000 euros et il augmente chaque mois de 1 % pendant la durée des trois ans.
1. Pour le contratA:
(a) Calculer le loyer du deuxième mois et du troisième mois.
(b) Calculer le loyer du dernier mois, c’est-à-dire celui du 36èmois.
2. Mêmes questions pour le contratB.
3. Déterminer, en justifiant, quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire.
EXERCICE3.3(10 points).
Le 1erjanvier 2005, une grande entreprise compte 1 500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année. Pour tout entiernon appelleunle nombre d’employés le 1erjanvier de l’année (2005+n) .
1. Détermineru1etu2.
2. (a) Montrer queun+1=0,9un+100.
(b) Cette suite est-elle arithmétique ? Cette suite est-elle géométrique ? On justifiera ses deux réponses.
3. On posevn=un−1000.
(a) Déterminerv0,v1etv2.
(b) Montrer que pour tout entier naturaln,vn+1=0,9vn. Que peut-on en déduire pour (vn) ?
(c) En déduirevnen fonction den.
(d) En déduireunen fonction den.
4. À l’aide des questions précédentes :
(a) Déterminer quel sera l’effectif de l’entreprise le 1erjanvier de l’année 2027 (b) i. Montrer que la suite (un) est décroissante.
ii. En déduire, à l’aide de la calculatrice, l’année où le nombre d’employés sera inférieur à 1 010.
Chapitre 5
Équations cartésiennes
Sommaire
5.1 Rappels de Seconde. . . 41 5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs . . . 42 5.3 Équations cartésiennes d’une droite. . . 42 5.4 Équation cartésienne d’un cercle. . . 43 5.5 Exercices . . . 43 5.5.1 Vecteurs – Colinéarité . . . 43 5.5.2 Équations de droites . . . 43 5.5.3 Équations de cercle. . . 44 5.5.4 Divers. . . 44
5.1 Rappels de Seconde
Ce paragraphe étant constitué de rappels, les exemples seront limités et les démonstrations des proprités ne seront pas refaites, sauf pour quelques-unes, en classe.
Définition 5.1. SoientOun point du plan et~ıet~deux vecteurs de ce plan de directions différentes (non colinéaires), alors¡
O ;~ı,~¢
est appelérepèredu plan.Oest appeléoriginedu repère et le couple¡
~ı,~¢
est appelébasedu repère.
Définition 5.2. Soit un repère¡ O;~ı,~¢
du plan.
• Si les directions de~ıet de~sont orthogonales, le repère est ditorthogonal.
• Si les normes de~ıet de~sont égales à 1, le repère est ditnormé.
• Si les directions de~ı et de~sont orthogonales et que les normes de~ı et de~sont égales à 1, le repère est dit orthonormé.
• Sinon, le repère est ditquelconque.
Repère orthogonal Repère normé Repère orthonormé
O ~ı
~
O ~ı
~
O ~ı
~
Propriété 5.1. Le plan est muni d’une base³
~i,~j´ .
Pour tout vecteur~u du plan, il existe un unique couple(x;y), appelécoordonnées de~u, tel que~u=x~i+y~j .
On notera indifférement~u(x;y), ou~u=(x;y), ou~u µ x
y
¶ , ou~u=
µ x y
¶ .
41