• SoitA,BetCtels que~u=−→ABet~v=−→BC. On a alors~u+~v=−→AC.
~uet~vorthogonaux⇔ABCrectangle enB⇔AB2+AC2=BC2⇔ k~uk2+k~vk2= k~u+~uk2⇔0= k~u+~uk2−k~uk2−k~vk2⇔
~u.~v=0
• ~u.~u=12¡
k~u+~uk2− k~uk2− k~uk2¢
=12¡
k2~uk2−2k~uk2¢
=12¡
4k~uk2−2k~uk2¢
= k~uk2
♦ Remarques. • La dernière ligne de la démonstration explique la présence du 12. Il est là pour qu’on puisse avoir une similitude entre le produit des réels (x×x=x2) et le produit scalaire (~u.~u= k~uk2). Sans lui on aurait~u.~u=2k~uk2, ce qui serait moins intuitif à manipuler dans les calculs.
• Les deux derniers points de la propriété sont extrêmement importants. Le deuxième permet de démontrer bien des cas d’orthogonalité avec la souplesse des vecteurs. Le dernier permet de passer aisément des longueurs aux vecteurs et réciproquement, permettant ainsi de faire appel aux vecteurs, et à leur souplesse, dans bien des démonstrations concernant les longueurs.
Propriété 11.4(Règles de calcul). Soit~u,~v etw des vecteurs et k un réel.~
• ~u.~v=~v.~u
• ~u.(~v+w)~ =~u.~v+~u.~w et(~u+~v).w~=~u.~w+~v.~w
• (k~u).~v=k(~u.~v)et~u.(k~v)=k(~u.~v)
Preuve. Voir activité11.3. ♦
Propriété 11.5(Identités remarquables). Soit~u et~v deux vecteurs.
• (~u+~v)2=~u2+2~u.~v+~v2 • (~u−~v)2=~u2−2~u.~v+~v2 • (~u+~v)(~u−~v)=~u2−~v2
Preuve. En appliquant le deuxième point de la propriété précédente on obtient facilement ces résultats. ♦ Propriété 11.6(Produit scalaire et coordonnées). Le plan est muni d’un repère¡
O;~ı,~¢
(orthonormal). Soit~u(x;y)un vecteur.
x=~u.~ı et y=~u.~
Preuve. ~u.~ı=x×1+y×0=xet~u.~=x×0+y×1=y ♦
11.3 Formules de la médiane
Théorème 11.7(Formules de la médiane). Soit A et B deux points quelconques du plan et I le milieu du segment[AB].
Alors, pour tout point M du plan on a :
• M A2+MB2=2M I2+12AB2; • M A2−MB2=2−−→M I.−→B A ; • −−→M A.−−→MB=M I2−14AB2.
Remarques. • La droite (M I) étant, pour le triangleM AB, la médiane issue deA, ces formules sont appeléesformules de la médiane.
• Ces formules ne sont pas à apprendre, par contre on doit savoir les retrouver en utilisant les carrés scalaires (voir la preuve ci-dessous).
• Ces formules sont particulièrement utiles quand on cherche tous les pointsMvérifiant, par exemple,M A2+MB2=4 puisqu’elles permettent de passer d’une expression à deux inconnues (M AetMB) à une expression à une inconnue (M I).
Preuve. Montrons queM A2+MB2=2M I2+12AB2.
M A2+MB2=−−→M A2+−−→MB2=³−−→M I+−→I A´2
+³−−→M I+−→IB´2
=2−−→M I2+2−−→M I.³−→I A+−→IB´
+−→I A2+−→IB2
=2M I2+2−−→M I.→−0+2 µAB
2
¶2
=2M I2+1 2AB2
Les autres démonstrations sont du même type et seront traitées en exercice. ♦
Première S 11.4 Exercices
11.4 Exercices
EXERCICE11.1.
SoitABCDun carré de sens direct. On construit un rect-angleAPQRde sens direct tel que :
• P∈[AB] etR∈[AD] ;
• AP=DR.
1. Justifier que−−→CQ.−→PR=−−→CQ.³−→AR−−→AP´
2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpen-diculaires.
Démontrer les deuxième et troisième formules de la médiane.
EXERCICE11.3.
ABCest un triangle etIest le milieu de [BC]. On sait que
³−→I A,−→IB´
ABCest un triangle équilatéral de côté 5 cm.Iest le milieu de [BC].
Calculer les produits scalaires suivants :
1. −→B A.−→BC; 2. C A.−−→−→C I; 3. ³−→AB−−→AC´
Calculer les produits scalaires suivants :
1. −−→M N.QP−−→; 2. −−→M N.−−→P N; 3. −→I N.−→IP; 4. QI−→.−→N I.
1. Calculer les longueursACetDE.
2. En exprimant chacun des vecteurs −→AC et −−→DE en fonction des vecteurs−→ABet−−→AD, calculer le produit scalaire−→AC.−−→DE.
11.4 Exercices Première S
EXERCICE11.10.
Le but de cet exercice est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
SoitABC un triangle. On noteA′,B′etC′les projetés orthogonaux respectifs deA,BetCsur (BC), (AC) et (AB). On
ABCD est un rectangle de longueur L et de largeur l. SoientHetK les projetés orthogonaux des sommetsBet Dsur la diagonale (AC).
1. CalculerHK en fonction des longueurs des côtésL etl.
On pourra évaluer de deux manières le produit scalaire−−→C A.−−→BD.
2. Comment choisirLetlpour avoirAC=2HK? Exprimer alors l’aire du parallélogrammeB HDKen fonction de l’aire du rectangleABCD.
EXERCICE11.12.
2. On notePle projeté orthogonal deDsur la droite (AB). CalculerAP.
EXERCICE11.14.
Best un point appartenant à [AE]. ABCDetBEFGsont des carrés situés dans le même demi-plan par rapport à (AE), comme sur la figure ci-contre.
Montrer que (EC) est la hauteur issue deEdans le triangle AEG.
ABCest un triangle rectangle et isocèle enAavecAB=4.
R,SetT sont les milieux respectifs de [AC], [AB] et [CS].
La figure ci-contre représente la situation à une échelle don-née.
1. (a) Montrer que (RT)∥(AB).
(b) Montrer queRT=1.
2. Montrer que (AT) est une hauteur du triangleARB. b b
b b
Première S 11.4 Exercices
EXERCICE11.16.
ABCest un triangle tel que l’angle enAest aigu.
B AEetC AFsont des triangles rectangles et isocèles enA à l’extérieur du triangleABC(voir la figure ci-contre).
On noteθ=B AC, b=ACetc=AB.
1. Exprimer−→AB.−→AFet−→AC.−→AEen fonction deb,cetθ.
2. SoitIle milieu de [BC].
Montrer que−→AI=12³−→AB+−→AC´ .
3. Montrer que (AI) est la hauteur issue deAdans le
triangleAEF. b
2. Existe-t-il une valeur deh telle que les diagonales (AC) et (BD) soient perpendiculaires ?
b b
3. En déduire les mesures des angles du parallélogramme à 1◦près.
4. En déduire l’aire deABCD.
EXERCICE11.19.
ABCDest un carré de côtéa,IetJsont les milieux respec-tifs des segments [AB] et [BC].Hest le projeté orthogonal deDsur la droite (AJ) etKle point d’intersection des seg-ments [AJ] et [C I].
1. En exprimant de deux façons le produit scalaire
−→AJ.−−→AD:
(a) Calculer la longueurAHen fonction dea; (b) En déduire la distance du pointD à la droite
(AJ) en fonction dea.
2. En exprimant de deux façons le produit scalaire
−→AJ.−−→AD, déterminer le cosinus de l’angle JK Id puis donner la valeur approchée à 0,1◦près par défaut de la mesure deJK I.d
Devoir maison n°7
Puissance d’un point par rapport à un cercle
À rendre pour le vendredi 19 avril 2013 C est un cercle de centreO, de rayonretAest un point fixé du plan.dest une droite passant parAet coupantC en deux pointsPetQ.
Le but du problème est d’établir la propriété suivante :
Quelle que soit la droitedpassant parA, coupant le cercleC en deux points PetQ, le produit scalaire−→AP.−−→AQest constant.
1. Soit P′ le point diamétralement opposé à P. Montrer que −→AP.−−→AQ =
−→AP.−−→
AP′.
2. Montrer que−→AP.−−→
AP′=AO2−r2 3. Conclure.
Remarque. On appelle cette quantité la puissance d’un point par rapport à un cercle.
× × ×
×
A P Q
O
d
C
Devoir maison n°7
Puissance d’un point par rapport à un cercle
À rendre pour le vendredi 19 avril 2013 Cest un cercle de centreO, de rayonretAest un point fixé du plan.dest une droite passant parAet coupantC en deux pointsPetQ.
Le but du problème est d’établir la propriété suivante :
Quelle que soit la droitedpassant parA, coupant le cercleC en deux points PetQ, le produit scalaire−→AP.−−→AQest constant.
1. Soit P′ le point diamétralement opposé à P. Montrer que −→AP.−−→AQ =
−→AP.−−→
AP′.
2. Montrer que−→AP.−−→
AP′=AO2−r2 3. Conclure.
Remarque. On appelle cette quantité la puissance d’un point par rapport à un cercle.
× × ×
×
A P Q
O
d
C