9.4 Variables aléatoires
9.4.4 Espérance, variance, écart type
Définition 9.13. L’espérance mathématique, la variance et l’écart type de la variable aléatoireX, dont les notations respectives sontE(X),V(X) etσ(X) sont respectivement les nombres :
E(X)=
Toujours avec les exemples de la situation de départ : 1. (Xest le gain à la roue de la fête foraine)
• E(X)=48×(−1)+38×1+18×4=38
(le gain qu’on peut espérer à chaque partie est en moyenne de 0,375()
Propriété 9.4. SoitΩun univers associé à une expérience aléatoire sur lequel a été définie une variable aléatoire X d’espérance E(X)et de variance V(x).
Soit Y une nouvelle variable aléatoire telle que Y =aX+b où a et b sont des réels quelconque.
Alors E(Y)=aE(X)+b et V(Y)=a2V(X).
La preuve sera faite en classe.
Avec les exemples de la situation de départ :
1. Si, par exemple, la partie coûte quatre euros au lieu d’un, on obtient une variable aléatoireY =1X−3.
E(Y)=1E(X)−3= −2,625 etV(Y)=12V(X)=V(X).
2. Si, par exemple, on définit la variable aléatoireY = 2X,E(Y)=2E(X)=1 etV(Y)=22V(X)=4V(X)=1.
9.5 Exercices
EXERCICE9.1.
Deux lignes téléphoniquesAetBarrivent à un standard.
On note :
• E1: « la ligneAest occupé » ; • E2: « la ligneBest occupée ».
Après étude statistique, on admet les probabilités :
• p(E1)=0,5 ; • p(E2)=0,6 ; • p(E1∩E2)=0,3.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
• F: « la ligneAest libre » ;
• G: « une ligne au moins est occupée » ;
• H: « une ligne au moins est libre ».
EXERCICE9.2.
On jette trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on appelle « tirage »le résultat obtenu. Ainsi (Face ; Face ; Pile) est un tirage (qu’on noteraF F P).
1. Faire un arbre décrivant l’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire et donner le cardinal deΩ, l’univers des possibles.
2. On appelleXla variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de « Pile »obtenues.
(a) DécrireΩ′, l’univers des possibles pourX.
(b) Déterminer la loi de probabilité associée àX(on la présentera sous forme de tableau).
(c) DéterminerE(X),V(X) etσ(X) respectivement l’espérance, la variance et l’écart type deX. EXERCICE9.3.
Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent de manière indépendante, que l’automobiliste s’arrête s’il voit le feu orange ou rouge et qu’il passe si le feu est vert. On suppose de plus que chaque feu est vert durant les deux tiers du temps et rouge ou orange un tiers du temps. On dit que l’automobiliste a obtenu le feu au vert quand il est passé sans s’arrêter.
1. Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.
2. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait :
David ROBERT 91
9.5 Exercices Première S
(a) les trois feux verts ? (b) deux des trois feux verts ? 3. Combien de feux au vert l’automobiliste peut-il espérer ?
EXERCICE9.4.
Un dé (à 6 faces) est truqué de la façon suivante : chaque chiffre pair a deux fois plus de chance de sortir qu’un numéro impair.
1. Calculer la probabilité d’obtenir un 6.
2. On lance deux fois le dé.
(a) Calculer la probabilité d’obtenir deux fois un chiffre pair.
(b) Calculer la probabilité d’obtenir deux fois un 6.
(c) On appelleXla variable aléatoire qui a chaque tirage associe la somme des deux dés.
Calculer l’espérance deX. Comment interpréter ce nombre ? EXERCICE9.5.
On lance deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
L’ensembleEdes couples (x;y), avec 16x66 et 16y66, est associé à une loi de probabilité équirépartie.
À chaque couple (x;y) , on associe|x−y|. On définit ainsi une variable aléatoireXsur l’ensembleE.
1. Définir la loi de probabilité deX. 2. Calculer l’espérance et la variance deX. EXERCICE9.6.
On considère une roue partagée en 15 secteurs égaux tels que :
• il y a un secteur de couleur rouge (R)
• il y a cinq secteurs de couleur bleue (B)
• il y a neuf secteurs de couleur verte (V)
La roue tourne sur son axe central et s’arrête sur l’une des couleurs, chaque secteur ayant la même probabilité.
Pour pouvoir faire tourner la roue, un joueur doit payer 1(et, selon la couleur sur laquelle elle s’arrête, il gagne :
• 0(si le vert sort ; • 1(si le bleu sort ; • x(si le rouge sort ; On appelleXla variable aléatoire associée au gain final (gain−mise de départ) du joueur.
1. Décrire l’universX(Ω) associé àX.
2. Décrire la loi de probabilité associée àX(on la présentera sous forme de tableau).
3. Exprimer en fonction dexl’espérance de gain du joueur.
4. On suppose quex=2(.
(a) Quelle est l’espérance de gain du joueur ?
(b) Qui est le plus avantagé : l’organisateur du jeu ou le joueur ? 5. Mêmes questions pourx=15(.
6. On dit que le jeu est équitable lorsque l’espérance de gain est égale à zéro, car alors ni l’organisateur du jeu ni le joueur ne sont avantagés. Combien doit valoirxpour que le jeu soit équitable ?
EXERCICE9.7.
On considère le jeu suivant : Le joueur lance deux dés à six faces ; s’il fait un double 6, il gagne un million d’euros, sinon il perd dix mille euros.
Faut-il lui conseiller le jeu ? EXERCICE9.8.
On dispose d’une roue qui comporte dix secteurs identiques, neuf verts et un rouge.
On propose les deux jeux suivants :
Jeu 1 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur gagne 2 000 euros, sinon il perd 8 000 euros.
Jeu 2 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur ne gagne ni ne perd rien, sinon, il gagne 10 000 euros.
1. Intuitivement, quel jeu semble le plus avantageux ?
2. Calculer, pour chaque jeu, l’espérance et la vriance de gain du joueur. Que constate-t-on ? EXERCICE9.9.
SoitXune variable aléatoire d’espéranceE(X), notée aussim, et d’écart-typeσ(X), notéσ.
SoitY la variable aléatoire définie parY=X−mσ . DéterminerE(Y) etσ(Y).
EXERCICE9.10.
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On définit une variable alétoireX en associant à chaque tirage le nombre :
Première S 9.5 Exercices
• −10 si on tire le numéro 1 ; • 10 si on tire le numéro 6 ; • 0 dans tous les autres cas.
1. Définir l’universΩassocié à l’expérience aléatoire et l’universΩ′associé à la variable alétoire.
2. On suppose que le dé est parfaitement équilibré. Donner la loi de probabilité deX, son espérance et son écart-type
3. Même question avec la variableY qui associe à chaque tirage le nombre :
• −5 si on tire le numéro 1 ; • 5 si on tire le numéro 6 ; • 0 dans tous les autres cas.
EXERCICE9.11.
On lancendés (n>1). On noteAl’évènement « obtenir au moins un 6 ».
1. DécrireA.
2. Exprimer en fonction denla probabilitép(A).
3. En déduire quep(A)=1−¡5
6
¢n
. 4. Compléter le tableau suivant :
n 1 2 3 4 5 6 7 8
p(A)
5. Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d’obtenir au moins un six soit supérieure à34? 6. Le lièvre et la tortue font la course.
Le lièvre se divertit longuement mais quand il part, il file à l’arrivée. La tortue, quant à elle, avance inexorablement mais lentement vers l’arrivée.
On considère qu’on peut assimiler cette course au lancement d’un dé :
• si le 6 sort, le lièvre avance ;
• sinon la tortue avance d’une case et au bout de 4 cases la tortue a gagné.
Voir figure ci-dessous.
Départ du lièvre Arrivée
Départ de la tortue 1 2 3
(a) Déterminer la probabilité que le lièvre l’emporte et celle que la tortue l’emporte.
(b) En combien de lancers de dés peut-on espérer finir la partie en moyenne ?
David ROBERT 93
Devoir maison n°6
Probabilités
À rendre pour le vendredi 15 mars.
Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer un contrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :
• chaque famille aura au moins 1 enfant ;
• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou une fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un enfant est indépendant du sexe des précédents.
Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la po-pulation de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?
Devoir maison n°6
Probabilités
À rendre pour le vendredi 15 mars.
Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer un contrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :
• chaque famille aura au moins 1 enfant ;
• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou une fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un enfant est indépendant du sexe des précédents.
Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la po-pulation de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?
Devoir maison n°6
Probabilités
À rendre pour le vendredi 15 mars.
Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer un contrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :
• chaque famille aura au moins 1 enfant ;
• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou une fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un enfant est indépendant du sexe des précédents.
Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la po-pulation de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?
Devoir maison n°6
Probabilités
À rendre pour le vendredi 15 mars.
Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer un contrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :
• chaque famille aura au moins 1 enfant ;
• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou une fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un enfant est indépendant du sexe des précédents.
Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la po-pulation de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?
Nom : Vendredi 22 mars 2013 – 1h00
Devoir surveillé n°7
Dérivation – Variables aléatoires
EXERCICE7.1(5 points).
On considère une roue de fête foraine circulaire partagée en 8 secteurs de même mesure telle qu’il y a :
• 1 secteur de couleur rouge (R) ; • 2 secteurs de couleur bleue (B) ; • 5 secteurs de couleur verte (V).
Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 2 euros et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu’on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s’arrêter sur chaque secteur et, selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s’arrête, le joueur gagne :
• 0 euro si c’est le vert ; • 3 euros si c’est le bleu ; • 5 euros si c’est le rouge.
On appelleXla variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final (gain−mise de départ) correspondant.
1. Décrire la loi de probabilité associée à la variable aléatoireX (on la présentera sous forme de tableau).
2. (a) Calculer l’espérance de la loi de probabilité de la variable aléatoireX. (b) Interpréter le résultat en terme de partie et de gain.
(c) Qui est le plus avantagé : l’organisateur ou le joueur ?
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On dit que le jeu est équitable lorsque l’éspérance de gain est égale à 0, car, alors, ni l’organisateur, ni le joueur ne sont avantagés. Comment modifier les gains pour que le jeu soit équitable ?
EXERCICE7.2(5 points).
On trouve sur le site de la Française des jeux les extraits de règlement suivants : Astro Le prix de vente d’un ticket est fixé à 2 euros.
Pour 1500000 tickets imprimés, le tableau des gains est le suivant :
Nombre de tickets Montant du gain (en euros)
2 20 000
4 2 000
20 150
700 50
13 000 18
82 000 8
117 000 4
268 000 2
Soit 480 726 tickets gagnants pour un montant total des gains de 1 980 000 euros.
Banco Le prix de vente d’un ticket est fixé à 1 euro.
Pour 1500000 tickets imprimés, le tableau des gains est le suivant :
Nombre de tickets Montant du gain (en euros)
2 2 000
268 200
1 000 50
1 500 20
42 000 10
115 000 2
158 000 1
Soit 317 770 tickets gagnants pour un montant total des gains de 945 600 euros.
1. Calculer l’espérance de gain de chacun des deux jeux.
2. Calculer l’écart-type de chacun de ces deux jeux.
3. Comparer ces deux jeux en utilisant les résultats, interprétés, des questions précédentes.
EXERCICE7.3(5 points).
On appelleC la représentation graphique de la fonctionf définie surR\{2} par : f(x)=x2+ax+b
x−2 oùa,b∈R 1. Déterminerf′(x).
2. Détermineraetbtels que la droite d’équationy=8 soit tangente àC au point d’abscisse 3.
3. Déterminer l’abscisse de l’autre point deC où la tangente est horizontale.
Chapitre 10
Angles orientés
Sommaire
10.1 Activité . . . 97 10.2 Angles orientés . . . 98 10.2.1 Orientation du plan . . . 98 10.2.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls . . . 98 10.2.3 Propriétés des mesures des angles orientés. . . 99 10.2.4 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . 99 10.3 Trigonométrie. . . 100 10.3.1 Rappels. . . 100 10.3.2 Lignes trigonométriques. . . 100 10.3.3 Résolutions d’équations trigonométriques . . . 100 10.4 Exercices . . . 101
10.1 Activité
Soit un repère orthonormal¡ O ;~ı,~¢
, le cercleC de centre Oet de rayon 1 et la droiteD d’équationx=1 qui coupe l’axe (Ox) enI.
À tout nombrea, on associe le pointMde la droiteD, d’ab-scisse 1 et d’ordonnéea.
« L’enroulement » de la droiteDautour du cercleC met en coïncidence le pointMavec un pointNdeC.
Plus précisément, si aest positif, le point N est tel que I Ny =I M =a, l’arc étant mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et, siaest négatif, le pointN est tel queI Ny =I M= |a|, l’arc étant mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre.
Le pointNest le point du cercleC associé au nombrea.
×
×
×
×
×
I J
D M
N
O
ACTIVITÉ10.1. 1. Placer les points de la droiteMi dont les ordonnéesyi sont données par le tableau suivant : Mi M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9
yi 0 π
2 −π
2 π
3 −π
3 π −π 2π −2π
2. Placer les pointsN1,N2,N3,N4,N5,N6,N7,N8,N9du cercle associés à ces nombres.
3. Indiquer un nombre associé à chacun des pointsI,J,B(−1;0) etB′(0;−1).
4. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un même point ? Si oui, donner quatre nombres associés au pointJ.
97