SUITES ET LOGIQUE 1
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En mathématiques, on peut utiliser les symboles suivants :
: "quel que soit"
: "il existe"
/ : tel que
On peut alors donner une définition plus rigoureuse de lim
n
un qui est :
Aϵ , Nϵ , nϵ (n N un A)
1. Ecrire cette définition en langage naturel et faire le lien avec la définition du cours.
2. Ecrire de même une définition de lim
n
un .
SUITES ET LOGIQUE 1
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CORRECTION
1. Pour tout réel A, il existe un entier naturel N tel que, pour tout entier naturel n N, on a : un A.
Autrement dit, quel que soit le réel A, tous les termes de la suite appartiennent à l intervalle [A ; + [ à partir du rang N.
2. bϵ , Nϵ , nϵ (n N un b)
SUITES ET LOGIQUE 2
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Montrer de façon rigoureuse que si une suite a pour limite 1, ses termes sont positifs à partir d un certain rang.
SUITES ET LOGIQUE 2
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CORRECTION
Soit une suite ( )un telle que lim
n
un 1.
Alors il existe un entier naturel N, tel que, pour tout entier naturel n N, un ϵ ]1-0,5;1+0,5[.
Alors, pour tout n N, un 0,5 0.
Ainsi, tous les termes de la suite sont positifs à partir du rang N au moins.
DIVERS 3
**
Soit Sn 1 n
k 1 n
k(n−k) pour n 1. Déterminer une expression explicite de Sn.
DIVERS 3
**
CORRECTION
Soit Sn 1 n
k 1 n
k(n−k) pour n 1. Déterminer une expression explicite de Sn. Conjecture : On calcule S1 = 1
1×1(1−1)=0 S2
1
2(1(2 1) 2(2 2)) = 1 2 = 3
6 S3 1
3(1(3 1) 2(3 2) 3(3 3)) = 4 3 = 8
6 S4 = 5
2 = 15 6 Il semble que, pour tout n de *, Sn
n² 1 6 . Preuve :
Initialisation : pour n = 1 S1 = 0 et (1 1)² = 0 donc la propriété est vraie pour n = 1.
Hérédité : soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que Sn
n² 1 6 . La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : pour tout n de *, Sn
DIVERS 2
**
n étant un entier naturel non nul, exprimer en fonction de n la somme Sn des n premiers entiers impairs.
DIVERS 2
**
CORRECTION
Conjecture : On calcule S1 = 1 = 1.
S2 1 + 3 = 4 S3 1 + 3 + 5 = 9 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 On peut conjecturer que, pour tout n de *, Sn n².
Preuve :
Initialisation : pour n = 1 S1 = 1 et 1 = 1 donc la propriété est vraie pour n = 1.
Hérédité : soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que Sn n.
Sn 1 1 3 ... (2(n 1) 1) Sn 2n 2 1. Or par hypothèse de récurrence, Sn n².
Ainsi, Sn 1 n² 2n 1 (n 1)².
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : pour tout n de *, Sn n².
SUITES ET LOGIQUE 3
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Vous devez avoir fait SUITES ET LOGIQUE 1 pour faire cet exercice.
Voici une proposition : "Si la suite ( )un converge vers le réel L, alors à partir d un certain rang, tous les un
appartiennent à l intervalle ]L 0,2 L 0,2[.
1. Traduire cette proposition de façon rigoureuse en utilisant les symboles et .
2. Cette proposition est-elle vraie ?
3. La réciproque de cette proposition est-elle vraie ?
SUITES ET LOGIQUE= 3
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CORRECTION
Vous devez avoir fait SUITES ET LOGIQUE 1 pour faire cet exercice.
Voici une proposition : "Si la suite ( )un converge vers le réel L, alors à partir d un certain rang, tous les un
appartiennent à l intervalle ]L 0,2 L 0,2[.
1. ( lim
n
un L) (Nϵ , nϵ (n N un ϵ]L 0,2 L 0,2[) ) 2. Cette proposition est vraie d après la définition de lim
n
un. 3. La réciproque n est pas vraie :
Soit la suite définie par un L 0,1 pour tout n de .
A partir du rang 0, tous les termes de la suite appartiennent à l intervalle ]L 0,2 L 0,2[.
Or la suite ne converge pas vers L mais vers L 0,1 puisque c est une suite constante.
DIVERS 1
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Un professeur propose à ses élèves de deviner une racine entière d’un polynôme P à coefficients entiers . Un élève : - " Cette racine est-elle 7 ? "
Le prof. : - " Non . P(7)=77, et la racine cherchée est un multiple positif de 7. "
Un autre élève propose un entier positif multiple de 7 qui correspond aux informations fournies, mais l’histoire ne dit pas lequel .
Le prof. : - " Non . La racine est supérieure à cet entier..."
Sylvie : - " J'ai trouvé !!! "
Quelle est la racine ?
Aide : théorème admis : est une racine du polynôme P(x) si et seulement si il existe un polynôme Q(x) tel que P(x) = (x )Q(x).
DIVERS 1
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CORRECTION Soit y la racine cherchée.
D’après le théorème il existe un polynôme Q(x) tel que P(x) = (x–y)Q(x) On sait que P(7) = 77 donc (7 – y)Q(7) = 77.
Q étant un polynôme à coefficients entiers et 7 et y étant des nombres entiers, on en déduit que (y – 7) est un diviseur positif (car y 7 est un multiple positif de 7) de 77.
Les valeurs possibles pour y – 7 sont donc 1 ; 7 ; 11 et 77.
Les valeurs correspondantes pour y sont alors 8 ; 14 ; 18 et 84.
On sait de plus que y est un multiple de 7. Ainsi y = 14 ou y = 84.
Or son sait que y est supérieur à la valeur proposée par l’élève 2 qui ne peut être que 14 (plus petit multiple de 7).
Ainsi y = 84.
CALCULS, INEQUATIONS
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Déterminer les réels m tels que l’équation (m 1)x² 2mx 3m 1 a deux solutions x1 et x2 telles que x1 1 x2.
CALCULS, INEQUATIONS CORRECTION Soit l équation (m 1)x² 2mx 3m 1 = 0
Si m = 1 : L équation est une équation du 1er degré et n a donc qu une solution.
Si m ≠ 1 :
= 4m² 4 (m 1)(3m 1) 8m² 8m 4 4( 2m² 2m 1)
Signe de 8m² 8 m 4 : à l aide du cours sur le second degré, on obtient : 0 pour m ϵ
1 3
2 1
Soit x1 la plus petite des racines et x2 la plus grande.
Cas où m ϵ
1 3
2 1 : m 1 0 donc x1 = m 2m² 2m 1
m 1 et x2 m 2m² 2m 1
m 1
x1 1 m 2m² 2m 1 m 1 2m² 2m 1 2m 1
( 2m² 2m 1) (2m 1)² ou m 1/2 (car alors 2m 1 0) 2m(m 3) 0 ou m 1/2
m 0 ou m 1/2 car m 3 0 puisque m 1 3 2 x1 est donc toujours inférieur ou égal à 1.
De même x2 1 m 1/2 ou m 0 m 0 On a donc x1 1 x2 pour mϵ 0 ; 1 .
Cas où m ϵ]1 ; 1 3
2 : m 1 0 donc x1 = m 2m² 2m 1
m 1 et x2
m 2m² 2m 1
m 1 De même que précédemment, on obtient
x1 1 ssi 2m² 2m 1 2m 1 ce qui est toujours vrai car 2m 1 0 Et x2 1 6m² 6m 0 ce qui est impossible car m 0.
Donc on ne peut pas avoir x1 1 x2 lorsque m ϵ]1 ; 1 3 2
Conclusion : l équation (m 1)x² 2m x 3m 1 a deux solutions x1 et x2 telles que x1 1 x2 si et seulement si mϵ 0 ; 1 .
