E126 – Interdit aux progressions arithmétiques
Q1 Sait-on construire une suite de 2016 entiers distincts compris entre 1 et 100 000 tels que trois quelconques d’entre eux ne forment jamais une progression arithmétique?
Q2 Même question que Q1 avec 2050 entiers naturels distincts.
Solution proposée par Daniel Collignon
A l'aide d'un automate on construit une suite selon un algorithme glouton en prenant pour terme suivant le plus petit nombre entier évitant une progression arithmétique de trois termes déjà retenus (on justifie entre parenthèse pourquoi les autres termes ne sont pas retenus, en donnant un exemple de p.a.) :
1, 2, (1-2-3), 4, 5, (4-5-6), (1-4-7), (2-5-8), (1-5-9), 10, 11, (10-11-12), 13, 14, (13-14-15), (10-13-16), (11-14-17), (10-14-18), (1-10-19), (2-11-20), (1-11-21), (4-13-22), (5-14-23), (4- 14-24), (1-13-25), (2-14-26), (1-14-27), 28, 29, (28-29-30), 31, 32, (31-32-33), (28-31-34), (29-32-35), (28-32-36), 37, 38, (37-38-39)...
Il s'agit de la suite référencée A003278 à l'OEIS.
Alors le 2016ème terme vaut 88331, ce qui prouve la première question.
Pour la 2ème question, le 2050ème terme vaut 177149, mais cela ne constitue pas une preuve d'impossibilité.
