Cetteconstanteest alors laraisonde la suite arithmétique

RAPPEL ^:SUITESARITHMETIQUESETGEOMETRIQUES I SUITES ARITHMÉTIQUES

1 DÉFINITION

Une suite (un) estarithmétique si chaque terme s’obtient en ajoutantau précédent un même nombre réel constantr.

C’est à dire, pour tout entier natureln,u_n+1=un+r Le réelrest appeléla raisonde la suite arithmétique.

2 MÉTHODE: PROUVER QU’UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE

Pourdémontrer qu’une suite estarithmétique, il suffit de calculer u_n+1−u_n pour vérifier que la différence u_n+1−u_nestconstante.

Cetteconstanteest alors laraisonde la suite arithmétique.

3 PROPRIÉTÉ1 : SENS DE VARIATION D’UNE SUITE ARITHMÉTIQUE

Soit(un)une suite arithmétique de raisonr.

– Sir≥0 alors la suite(un)estcroissante – Sir≤0 alors la suite(un)estdécroissante – Sir=0 alors la suite(un)estconstante

4 PROPRIÉTÉ2 : EXPRESSION DE(un)EN FONCTION DEn

Soit(un)une suitearithmétiquede raisonr.

– Si le premier terme de la suite estu₀alors pour tout entiern,un=u₀+n×r

– Si le premier terme de la suite estu₁alors pour tout entiern≥1,u_n=u₁+ (n−1)×r – Si le premier terme de la suite estupalors pour tout entiern≥p,un=up+ (n−p)×r

Page 1 sur 2 EXEMPLE:

Soit(un)une suite arithmétique de raisonr=1

4 et de premier termeu₀=−1 1. Pour tout entiern, exprimerunen fonction den.

Solution :

D’après la propriété 2 précédente, on a :u_n=u₀+n×r d’où en remplaçant par les valeurs numériques : u_n=−1+n×¹₄ =−1+1

4n.

2. Calculeru₁₂. Solution :

Avec l’expression précédente, on remplacenpar 12 soit :u₁₂=−1+1

4×12=2.

II SUITES GÉOMÉTRIQUES

1 DÉFINITION

Une suite (un)estgéométrique si chaque terme s’obtient en multipliantle précédent par unmêmenombre réel constantq.

C’est à dire, pour tout entiern,u_n+1=qu_n

Le réelqest appeléla raisonde la suite géométrique.

RAPPEL ^:SUITESARITHMETIQUESETGEOMETRIQUES 2 ÉVOLUTION EN POURCENTAGE

– Augmenter une grandeur det% équivaut à multiplier sa valeur par 1+ t 100. – Diminuer une grandeur det% équivaut à multiplier sa valeur par 1− t

100.

Chaque fois qu’on est confronté à une situation d’évolutions successives d’une grandeur det%, on peut définir une suite géométrique de raison 1+ t

100 (augmentation) ou 1− t

100 (diminution)

EXEMPLES

1. Un capital de 2 000 C est placéau taux d’intérêt composéde 1,5% par an.

On noteCnle capital disponible au bout denannées alors : C_n+1=

1+ 1,5

100

×Cn=1,015×Cn

Ainsi, la suite(Cn)est une suite géométrique de premier termeC₀=2000 et de raisonq=1,015.

2. Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4% par an. En 2016, la quantité de rejets était de 50 000 tonnes.

On noter_nla quantité de rejets l’année 2016+nd’où : r_n+1=

1− 4

100

×rn=0,96×rn

Ainsi, la suite(rn)est une suite géométrique de premier termer₀=50000 et de raison 0,96.

Page 2 sur 2

3 MÉTHODE: PROUVER QU’UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE

u_n+1

u_n pour vérifier que le quotient u_n+1 u_n est Pourdémontrerqu’une suite estgéométrique, il suffit de calculer

constant.

Cetteconstanteest alors laraisonde la suite géométrique.

EXEMPLE

L’objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à 30 000 tonnes (soit une réduction de 40%).

Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans ? Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de :

r₁₀=50000×0,96¹⁰≈33242

Avec un réduction de 4 % par an, en 2026 l’objectif du groupe industriel ne sera pas atteint.

4 PROPRIÉTÉ1 : EXPRESSION DE(un)EN FONCTION DEn

Soit(un)une suitegéométriquede raisonq.

– Si le premier terme de la suite estu₀alors pour tout entiern,u_n=u₀×qⁿ – Si le premier terme de la suite estu₁alors pour tout entiern≥1,un=u₁×qⁿ⁻¹

– Si le premier terme de la suite estupalors pour tout entiernet pour tout entierp,un=up×q^n−p