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I Suite arithmétique
Définition et formule
Une suite est dite arithmétique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant une constante 𝒓 appelée raison de la suite.
Une suite arithmétique est définie en général par son premier terme 𝑢 ou 𝑢 et sa raison 𝑟 et par la relation de récurrence :
On a la formule du terme général 𝑢 de la suite en fonction de 𝑛
Ex1. (𝑢 ) suite arithmétique de raison 𝑟 = 5 et de premier terme 𝑢 = 4 𝑢 = 𝑢 + 𝑛𝑟 = ⋯
𝑢 = ⋯
Ex2. (𝑣 ) suite arithmétique de raison 𝑟 = −3 et de premier terme 𝑣 = 10 𝑣 = 𝑣 + (𝑛 − 1)𝑟 = ⋯
𝑣 = ⋯
Moyenne arithmétique de deux nombres
Définition. La moyenne arithmétique de deux nombres 𝑎 et 𝑏 est le nombre Propriété. Si (𝑢 ) est une suite arithmétique, alors la moyenne arithmétique de 𝑢 et 𝑢 est 𝑢 pour tout entier naturel 𝑛 non nul, c’est-à-dire 𝑢 =
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Somme des termes d’une suite arithmétique
∎ La somme des 𝑛 + 1 premiers termes d'une suite arithmétique
Méthode :
pour montrer qu’une suite est arithmétique, on prouve que la différence 𝑢 − 𝑢 est égal à une constante.
pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique, on prouve par exemple que 𝑢 − 𝑢 ≠ 𝑢 − 𝑢
On considère la suite arithmétique (𝑢 ) de premier terme 𝑢 = 3 et de raison 𝑟 = 2 On cherche à déterminer la somme 𝑆 = 𝑢 + 𝑢 + ⋯ + 𝑢
𝑆 = ×( × )= 143
Vérification : on écrit la formule explicite de 𝑢 ; 𝑢 = 𝑢 + 𝑛𝑟 = 3 + 𝑛 × 2 = 2𝑛 + 3 On utilise la calculatrice NUMWORKS : Boîte à outils, Calcul, sum(f(n),n,nmin,nmax) on obtient 𝑆 = 143
II Suite géométrique
Définition et formule
Une suite est dite géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant par une constante appelée raison de la suite.
Une suite géométrique est définie en général par son premier terme 𝑢 ou 𝑢 et sa raison 𝑞 et par la relation de récurrence :
On a la formule du terme général 𝑢 de la suite en fonction de 𝑛
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Ex1. (𝑢 ) suite géométrique de raison 𝑞 = 5 et de premier terme 𝑢 = 2
𝑢 = 𝑢 × 𝑞 = ⋯ 𝑢 = ⋯
Ex2. (𝑣 ) suite géométrique de raison 𝑞 = et de premier terme 𝑣 = 100 𝑣 = 𝑣 × 𝑞 = ⋯
𝑣 = ⋯
Moyenne géométrique de deux nombres
La moyenne géométrique de deux nombres positifs 𝑎 et 𝑏 est le nombre 𝑎𝑏 Exemple : la moyenne géométrique des nombres 4 et 9 est : 4 × 9 = 36 = 6
Propriété. Si (𝑢 ) est une suite géométrique positive, alors la moyenne géométrique de 𝑢 et 𝑢 est 𝑢 pour tout entier naturel 𝑛 non nul, c’est-à-dire
𝑢 = 𝑢 × 𝑢
Somme des termes d’une suite arithmétique
∎ La somme des 𝑛 + 1 premiers termes d'une suite géométrique
Méthode : pour montrer qu’une suite est géométrique, on prouve que le rapport est égal à une constante ou on part de l'expression de 𝑢 pour obtenir une expression 𝑞 × 𝑢 .
On considère la suite géométrique (𝑢 ) de premier terme 𝑢 = 0.5 et de raison 𝑞 = 2 On cherche à déterminer la somme 𝑆 = 𝑢 + 𝑢 + ⋯ + 𝑢
𝑆 = 0,5 × = 31,5
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Vérification : On écrit la formule explicite de 𝑢 ; 𝑢 = 𝑢 × 𝑞 = 0,5 × 2
On utilise la calculatrice NUMWORKS : Boîte à outils, Calcul, sum(f(n),n,nmin,nmax) on obtient 𝑆 = 31,5
