Lycée Paul Rey Denis Augier
Chapitre 6 : Suites numériques en 1STMG.
Suite arithmétique Suite géométrique
Formule de récurrence.
‚ un`1“un`r(oùrest la raison)
Siun`1´un“ralorspunqest arithmétiques de raisonr.
‚ vn`1“qˆvn (oùqest la raison) Si vn`1
vn
“qalorspvnqest géométrique de raisonq.
Variations. ‚ Sirą0 la suitepunqest croissante.
‚ Siră0 la suitepunqest décroissante. 1ier termeą0 1ier termeă0 Si 0ăqă1 unŒ0 unÕ0
Siq“1 un constante un constante
Si 1ăq un Õ `8 un Œ ´8
Expression en fonction de n.
‚ un“nr`u0.
‚un“ pn´1qr`u1. (si la suite commence à u1.)
‚ vn“qnv0.
‚ vn“qn´kvk.
1 Exemple de suite arithmétique.
La grand mère de Philémon lui a donné en 2010 une somme de 100 e, puis chaque année elle lui donne 10e de plus.
Philémon décide de ne pas dépenser son argent et de systématiquement déposer ces sommes sur un compte épargne A. La suitepunqreprésente la somme donnée par la grand-mère à l’année 2010`n.
Ici, on obtient l’expression :
un`1“ un
loomoon
Somme à l’année 2010+n
` loomo10on
Augmenté de 10 euros
Dés lors, nous pouvons affirmer quepunqest une suite arithmétique de raison 10 (somme ajouté chaque année) et de premier terme u0“100.
On peut en déduire en déduire l’expression en fonction de nen utilisant la dernière ligne du tableau : un “nˆr`u0“10n`100
Par exemple, si l’on souhaite connaitre la somme donnée par la grand-mère en 2015 (c’est-à-dire : 2010+15) il faut déterminer u15“15ˆ10`100“250e
Si qui semble évident c’est que la somme donnée par la grand mère chaque année augmente. Ce sera le cas, chaque fois que la raison (ici 10e) sera positive.
2 Exemple de suite géométrique.
Le grand-père de Philémon lui a donné en 2010 une somme de 100 e, puis chaque année il lui donne 8 % de plus que l’année précédente. La suitepvnqreprésente la somme donnée par la grand-père à l’année 2010`n.
Ici, on obtient l’expression :
vn`1“ vn
loomoon
Somme à l’année 2010+n
ˆ 1`0,08 looomooon
Augmenté de 8 %
“1,08vn
Dés lors, nous pouvons affirmer quepvnqest une suite géométrique de raison 1,08 et de premier termev0“100.
On peut en déduire en déduire l’expression en fonction de nen utilisant la dernière ligne du tableau : vn“1,08nv0“1,08n100
Par exemple, si l’on souhaite connaitre la somme donnée par le grand-père en 2015 (c’est-à-dire : 2010+15) il faut déterminer v15“1,0815100»317,20 euro
Si qui semble évident c’est que la somme donnée par le grand-père chaque année augmente. Ce sera le cas, chaque fois que la raison (ici 1,08) sera supérieur à 1.
3 Exemple de suite ni arithmétique, ni géométrique.
On peut considérer une population de sangliers sur la commune de Munex, qui était de 1000 têtes en 2000, puis chaque année du fait des phénomène de reproduction, cette population augmente de 10 %. Pour éviter une trop grande prolifération de
Premiére S 2018-2019 1
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la population de sangliers, la commune décide d’autoriser l’abattage de 90 sangliers chaque année. Si on notewn la population de sangliers à l’année 2000`n, on obtient :
wn`1“ wn
loomoon
population à l’année 200+N
ˆ 1,1 loomoon
augmenté de 10%
´ 90
loomoon
abattage de 90 sangliers.
“1,1wn´90
Si l’on utilise un tableur, on obtient :
4 Exercices d’applications.
Exercice 1.
Reprendre l’exemple précédent avec une somme initiale donnée par la grand-mère que vous choisirez vous même entre 51 et 99e (mais qui ne doit pas être un multiple de 10) et une augmentation annuelle entre 1 et 9e. Comme dans l’exemple, on modélisera la somme donnée à l’année 2010`npar la suitepunq.1. Déterminer les valeurs deu1 ,u2 puisu3.
2. Comme dans l’exemple, déterminer l’expression deun`1 en fonction deun. Puis donner la nature de la suite (arithmé- tique ou géométrique, ou aucun des deux) ainsi que son premier terme et sa raison, si c’est une suite arithmétique ou géométrique.
3. En déduire l’expression deun en fonction dencomme dans l’exemple.
4. Déterminez la somme que donnerait la grand-mère en 2032.
Exercice 2.
Reprendre l’exemple précédent avec une somme initiale donnée par la grand-père que vous choisirez vous même entre 51 et 99 e (mais qui ne doit pas être un multiple de 10) et une augmentation annuelle entre 1 et 9 %. Comme dans l’exemple, on modélisera la somme donnée à l’année 2010`npar la suitepvnq.1. Déterminer les valeurs dev1,v2puisv3.
2. Comme dans l’exemple, déterminer l’expression devn`1 en fonction devn. Puis donner la nature de la suite (arithmé- tique ou géométrique, ou aucun des deux) ainsi que son premier terme et sa raison, si c’est une suite arithmétique ou géométrique.
3. En déduire l’expression devn en fonction dencomme dans l’exemple.
4. Déterminez la somme que donnerait le grand-père en 2032.
Exercice 3.
On va cette fois considérer une population de 1. Déterminer les valeurs dev1,v2puisv3.2. Comme dans l’exemple, déterminer l’expression devn`1 en fonction devn. Puis donner la nature de la suite (arithmé- tique ou géométrique, ou aucun des deux) ainsi que son premier terme et sa raison, si c’est une suite arithmétique ou géométrique.
3. En déduire l’expression devn en fonction dencomme dans l’exemple.
4. Déterminez la somme que donnerait le grand-père en 2032.
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