Assistant: joseph.saliba@epfl.ch
S´ erie 10 29/04/2013
Cours de Physique Math´ ematique EPFL, Lausanne
Exercice 1
Soit G un groupe de Lie et g son alg`ebre. Montrer que:
AdetX =etadX
o`u Adg est la repr´esentation adjointe du groupe G d´efinie comme:
AdgX =gXg−1, ∀X ∈g et adX est la rep´esentation adjointe de l’alg`ebre definie comme:
adXY = [X, Y], ∀Y ∈g
Exercice 2
1. Donner la repr´esentation adjointe de su(2);
2. Donner la repr´esentation adjointe de SU(2) et montrer que celle-ci correspond `a la repr´esentation fondamentale de SO(3).
Exercice 3
En utilisant le r´esultat que chaque matrice U de SU(2) peut s’´ecrire comme: (voir S´erie 8 ex. 3)
U = exp(−itn·σ) montrer que
U n,δ2
= exp −iδ 2n·σ
avec δ ∈ [0,2π[, n ∈ R3 tel que |n| = 1, correspond `a une rotation R(n, δ) ∈ SO(3) d’angle δ autour l’axe n.
Remarque: Utiliser l’homomorphisme entre SU(2) et O(3) et la relation:
eBA e−B =
∞
X
n=0
1
n avec
[B, A](0) =A; [B, A](n+1) =
B,[B, A](n)
Exercice 4
Soient G un groupe de Lie matriciel, et g(t) ∈ G une courbe telle que g(0) = e et
˙
g(0) =X ∈g. Montrer que ∀ Y ∈g : d
dtAdg(t)Y t=0
= adXY
1
