Cours de Physique Math´ ematique EPFL, Lausanne

Assistant: joseph.saliba@epfl.ch S´ erie 5 18/03/2013

Cours de Physique Math´ ematique EPFL, Lausanne

Exercice 1

Soit

f : M −→ N

p −→ q = f(p)

une application o` u M, N sont des vari´ et´ es diff´ erentiables de dimension m et n respective- ment. La repr´ esentation en terme de coordonn´ ees locales est donn´ ee par:

f ˜ : R ^m −→ R ⁿ

x −→ y = ˜ f(x) ≡ ψ ◦ f ◦ φ ⁻¹ (x)

ou x = (x ¹ , ..., x ^m ) = φ(p) sont les coordonn´ ees locales donn´ ees par la carte (U, φ) de M contenant p et y = (y ¹ , ..., y ⁿ ) = ψ(f (p)) sont les coordonn´ ees locales donn´ ees par la carte (V, ψ) de N contenant q = f(p). L’application f induit naturellement deux applications sur les espaces tangent et cotangent:

1.

f ∗ : T _p (M ) −→ T _{f (p)} (N) v −→ w = f _∗ (v)

o` u v ≡ v ^{i ∂} _∂x

est un vecteur de l’espace tangent au point p ∈ M et w ≡ w ^{a ∂} _∂y

est un vecteur de l’espace tangent au point f(p) ∈ N . f ∗ (v) est d´ efinie par son action sur une fonction arbitraire g : N → R :

f _∗ (v)[g ] ≡ v[g ◦ f ] Montrer que:

w ^a = v ⁱ ∂

∂x ⁱ y ^a (x) 2.

f ^∗ : T _f ^∗ _(p) (N ) −→ T _p ^∗ (M ) g −→ h = f ^∗ (g)

o` u g = g a dy ^a est un vecteur de l’espace cotangent au point f (p) ∈ N et h = h i dx ⁱ est un vecteur de l’espace cotangent au point p ∈ M . f ^∗ (g ) est d´ efinie par son produit interne avec un vecteur arbitraire v ∈ T _p (M):

hf ^∗ (g), vi ≡ hg, f ∗ (v)i

ou pareillement, en utilisant la d´ efinition de produit interne:

f ^∗ (g)(v) ≡ g(f ∗ (v)) ou

v[f ^∗ (g)] ≡ f ∗ (v)[g]

Montrer que l’on a:

h i = g a

∂

∂x ⁱ y ^a (x)

1

Exercice 2

Soit S une hypersurface r´ eguli` ere plong´ ee dans R ⁿ d´ efinie par l’´ equation F (x ¹ , ..., x ⁿ ) = 0.

Montrer que si S est r´ eguli` ere alors le plan tangent T _P (S) est de dimension dimT _P (S) = n − 1 (= dimS). Indication : Consid´ erer une courbe (de classe C ¹ ) quelconque γ(t) ∈ S et montrer que le vecteur tangent ˙ γ(t) est dans un plan de dimension n − 1.

2