Assistant: joseph.saliba@epfl.ch S´erie 13 27/05/2013
Cours de Physique Math´ ematique EPFL, Lausanne
Exercice 1
Montrer que le th´eor`eme de Stokes g´en´eralis´e, dans le cas d’int´egration de formes sur des sous-vari´et´es de R3, se reduit au th´eor`eme de Stokes habituel et au th´eor`eme de Gauss:
1. Th´eor`eme de Stokes
Soit S une surface de dimension 2 dans R3 = {yi, i = 1,2,3} param´etris´ee par les coordonn´ees x1(~y), x2(~y)
, avec un bord ∂S de dimension 1 param´etris´e par la coordonn´ee λ(~y). Soit ω1 une 1-forme sur R3 de composantes (ω1)i = vi. Alors R
Sdω1 =R
∂Sω1 devient : Z
S
∇ ×~ ~v
·d~σ = I
∂S
~v·d~s
2. Th´eor`eme de Gauss
Soit V un domaine de dimension 3 dans R3 ={yi, i= 1,2,3}, avec un bord ∂S de dimension 2 param´etris´e par les coordonn´ees x1(~y), x2(~y)
. Soitω1 une 1-forme sur R3 de composantes (ω1)i =vi. Alors R
V d∗ω1 =R
∂V ∗ω1 devient : Z
V
∇ ·~ ~v dV =
I
∂V
~ v·d~σ
Exercice 2
V´erifier que la formulation en terme des formes de l’´electrodynamique:
∗d∗F = 4π
c J, dF = 0 est ´equivalente `a la formulation covariante:
∂µFµν = 4π
c Jν, µνρσ∂νFρσ = 0
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