Assistant: joseph.saliba@epfl.ch S´erie 12 13/05/2013
Cours de Physique Math´ ematique EPFL, Lausanne
Exercice 1
Soit w une p-forme sur une variet´e M de dimensionn:
ω = 1
p!ωi1···ipdxi1 ∧ · · · ∧dxip et soit ∗ω la (n−p)-forme duale d´efinie par:
∗ω = 1
p!ωi1···ip∗(dxi1∧ · · · ∧dxip)
=
p|g|
p!(n−p)!ωi1···ipi1···ipj
p+1···jndxjp+1∧ · · · ∧dxjn Soit
gij = diag(1, ...,1
| {z }
r fois
,−1, ...,−1
| {z }
s fois
)
la m´etrique d´efinie sur M avec r+s=n. Montrer qu’on a:
∗ ∗ω= (−1)s(−1)p(n−p)ω Indication: Utiliser (et v´erifier) la relation:
i1···in =gi1j1· · ·ginjnj1···jn = (detgij)−1i1···in
Exercice 2
Soient V un espace vectoriel de dimension n,a une p-forme et b une q-forme.
1. Montrer qued(a∧b) =da∧b+ (−1)pa∧db;
2. Montrer quea∧b = (−1)pqb∧a;
3. V´erifier que si f est une 0-forme alorsd(f da) = df∧da.
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