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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Cornelissen, G. (1976). Analyse de signaux et application aux problèmes de définition de la stabilité de fréquence (Unpublished doctoral dissertation).

Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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^ g3é

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences

Laboratoire des Etalons de Fréquence

ANALYSE D E SIGNA U X ET APPLICATION DE DE F 1 N 1 T 1 0 N D E LA STABILITE DE

Thèse présentée pour l'obtention du grade légal de Docteur en Sciences physiques

Année Académique 1975-1976

AUX PROBLEMES FREQUENCE

Germaine CORNELISSEN

Faculté des Sciences

Laboratoire des Etalons de Fréquence

BIBLIOTHEQUE DE MATHEMATIQUES ET DE PHYSIQUE

3HP

c

ANALYSE

DE SIGNAUX ET FINITION DE LA

APPLICATION AUX PROBLEMES STABILITE DE FREQUENCE

Thèse présentée pour l'obtention du grade légal de Docteur en Sciences physiques

1975- 1976

Germaine CORNELISSEN

A mes parents.

Je témoigne au professeur J. DE PRINS ma profonde reconnaissance pour m'avoir accueillie dans son service et pour l'aide constante qu'il m'a offerte en suivant de très près le déroulement de ces travaxix.

I

Il m'est également agréable de remercier les professeurs S. HUYBERECHTS et T. VAN DEN DRIESSCHE pour

les nombreux conseils et suggestions qu'ils m'ont donnés.

J'adresse au professeur F. HALBERG mes plus vifs remerciements pour son accueil chaleureux dans son laboratoire de chronobiologie à Minnéapolis, où j'ai pu aborder de manière concrète les problèmes posés par le traitement de séries médicales.

Ma reconnaissance va également à mes compagnons de travail J.L. GUISSET, J.C. LIEVIN, D. BARIAUX, R. DE­

TRIE, J.P. LECHIEN et J. WILLEMS, pour les discussions fructueuses que nous avons eues ensemble.

Ma gratitude s'adresse tout particulièrement à Francis GUILLAUME povir sa collaboration et son aide efficaces dans la partie expérimentale de ce travail.

Je n'aurai garde d'oublier Mesdames E. De Vos et L. Février potir la rapidité et la compétence avec lesquelles elles ont effectué la frappe de ce manuscrit.

Enfin, ce travail n'aurait pas vu le jour sans l'aide financière de l'I.R.S.I.A.

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION

PARTIE A : ETUDE DES COMPOSANTES PERIODIQUES

CHAPITRE I - EXPOSE DES PROBLEMES I.l

CHAPITRE II - RAPPELS THEORIQUES II.1

11.1. REPRESENTATION DISCRETE DES SIGNAUX II. 1 11.2. CONDITIONS D'ECHANTILLONNAGE DE SHANNON II. 1 11.3. TRANSFORMEE DISCRETE DE FOURIER II.5

3.1. Définition II.5

3.2. Théorème de Parseval II.6

3.3. Remarques II.7

1. Effet du temps fini d'observation II.7

2. Phénomène de Gibbs II.8

3.4. Propriétés II.8

1. Périodicité II.8

2. Linéarité II.8

3. Similitude II.9

4. Translation circulaire II. 9

3.5. Calcul de la TDF II.9

11.4. EFFET DE QUANTIFICATION DU A L'ECHANTILLON­

NAGE DE LA FONCTION f(t) II.10

11.5. SERIES NON-STATIONNAIRES II.11

5.1. Attitude du Sous-Comité sur la Stabi­

lité de Fréquence II.11

5.2. Vérification de la stationnarité dans

le domaine temps II.11

5.3. Vérification de la stationnarité

dans le domaine spectral 11.12

5.4. Représentation temps-fréquence

et définition du spectre instantané 11.13 5.5. Méthode spectrale basée sur la

moyenne de périodogrammes 11.14

CHAPITRE III - MOYENNAGE III. 1

111.1. INTRODUCTION III.1

111.2. PRINCIPE DE LA METHODE III.l

111.3. FONCTION DE TRANSFERT DU MOYENNAGE III.2 111.4. LIMITATIONS DE LA METHODE III.3 111.5. PROPOSITION D'UNE METHODE SENSIBLE

A LA PHASE III.4

5.1. Description de la méthode III.4 5.2. Influence des fluctuations III.8 111.6. REMARQUES CONCERNANT LE TRAITEMENT DES

SERIES NON-EQUIDISTANTES III.11

111.7. DISCUSSION DE LA METHODE III.12

ANNEXE III.l. Fonction de transfert caractérisant la moyenne de signaux successifs

CHAPITRE IV - ANALYSE SPECTRALE DISCRETE IV.1

IV.1. INTRODUCTION IV.1

IV.2. DESCRIPTION DE LA METHODE IV. 1

3.

2.1. Représentation de Gabor IV.2 2.2. Calcul des coefficients de Fourier IV.+

a) la fonction f(t) est échantillon-

lonnée en N points équidistants IV.4 b) la fonction f(t) est échantilton-

née en N points non-équidistants IV.4 i) la série temporelle est une

fonction analytique IV.5

ii) la fonction temporelle est noyée

dans le bruit IV.8

2.3. Calcul de la fonction d'autocovarian­

ce IV. 10

Définition IV. 10

Estimation du spectre de puissance IV. 11 Détection des signaux périodiques IV.12 - Analyse d'un signal monochroma­

tique en l'absence de bruit IV.12 - Analyse d'un signal monochroma­

tique en présence de bruit IV.13

Remarques IV.16

IV.3. ETABLISSEMENT D'UN SEUIL DE DETECTION IV. 17

IV.4. APPLICATIONS THEORIQUES IV.22

4.1. Précision en fréquence IV.22

4.2. Phénomènes non-stationnaires IV.25 - Signal à variation d'amplitude IV.25 - Signal à variation de fréquence IV. 26

IV.5. DISCUSSION DE LA METHODE IV.27

5.1. Utilisation des fenêtres spectrales IV.27 5.2. Traitement des spectres mixtes IV.28 5.3. Réalisation du programme d'analyse spec­

trale sur ordinateur IV. 28

ANNEXE IV.1 Détection d'un signal monochro­

matique en présence de bruit

ANNEXE IV.2 Battement entre deux signaux de fréquences voisines.

ŒAPITRE V - SERIES COURTES V.l

V.l. INTRODUCTION V.l

V.2. DESCRIPTION DE LA METHODE DU COSINOR V.l V.3. DISCUSSION DES MERITES DE LA METHODE

DU COSINOR V.4

3.1. Avantages de la méthode V.4

3.2. Limitations de la méthode V.6

3.3. Remarques V.7

V.4. AUTRES METHODES D'APPROCHE POSSIBLES V.7

CHAPITRE VI - APPLICATIONS ET DISCUSSIONS VI.1

VI.1. INTRODUCTION VI.1

VI.2. SIGNAUX A LA LIMITE DE LA DETECTION :

les pressions atmosphériques VI.1

2.1. Présentation des données VI.1

2.2. Analyse des résultats VI.2

2.3. Conclusion VI.6

VI.3. PHENOMENES NON-STATIONNAIRES VI. 6 I. Phénomènes lentement évolutifs :

dendrochronologie et téphrochronologie VI.6

5.

I.l. Présentation des donnnées VI. 7

1.2. Analyse des résultats VI. 7

1.3. Conclusion VI. 10

II. Phénomènes présentant un bri«iue change­

ment de phase et d'amplitude : le ryth­

me circadien des fourmis VI. 10

II.1. Présentation des données VI. 10

II.2. Analyse des résultats VI.11

II.3. Conclusion VI. 14

III. Phénomènes rapidement évolutifs :

analyse de sons musicaux VI. 14

III.1. Remarques préliminaires VI. 14 III.2. Exemple d'application VI. 15

III.3. Conclusion VI. 15

VI.4. SERIES COURTES VI. 16

4.1. Description de l'expérience VI. 17

4.2. Taux de mortalité VI. 17

4.3. Problème d'ajustement des données VI. 20

4.4. Remarques VI.21

VI.5. DISCUSSION VI.22

PARTIE B : ETUDE DES COMPOSANTES ALEATOIRES

CHAPITRE VII - EXPOSE DES PROBLEMES VII. 1

CHAPITRE VIII - RAPPELS THEORIQUES VIII.1

VIII.1. PRINCIPAUX ÏŸPES DE BRUIT VIII.1

1.1. Bruit bl2uic VIII.1

1.2. Promenade aléatoire VIII.2

1.3. Bruit flicker VIII.4

6

.

VIII.2. MESURE DE TEMPS ET DE FREQUENCE VIII.5

VIII.3. DEFINITIONS DE LA STABILITE DE

FREQUENCE VIII.5

3.1. Définition dans le domaine spectral VIII.6 3.2. Définition dans le domaine temps VIII.6 3.3. Lien entre les deux définitions VIII.7

CHAPITRE IX - ETUDE DES BRUITS IX. 1

IX.1. INTRODUCTION IX.1

1.1. Erreur commise sur la détermina­

tion de la fréquence d'oscilla­

tion en fonction du temps de me­

sure IX. 1

1.2. Prévision du comportement à long

terme d'un étalon de fréquence IX. 1

IX.2. DOMAINE TEMPS IX.2

2.1. Approche temporelle IX.3

Paramètres statistiques IX.3

EjS^-î;^ IX. 3

Définition IX.3

Fonction de transfert de

) IX.4

Lien entre EUtï-J et la

variance du processus IX. 5

1. Bruit blanc IX.5

2. Promenade aléatoire IX.7

2.2. Approche spectrale IX.8

1. Bruit blanc IX. 9

2. Promenade aléatoire IX.10

7.

CHAPITRE X

IX.3. DOMAINE SPECTRAL IX.12

3.1. Distributions de probabilités liées

au spectre de puissance IX.13

3.2. Influence du temps d'observation sur

les caractéristiques spectrales IX.13 - Comportement des différents types

de bruits , IX.13

- Pente du spectre de puissance IX. 13

ANNEXE IX.1. : Prévision du comportement à J

long terme de l'étalon de fréquence.

- RELATIONS ENTRE LE DOMAINE TEMPS ET LE DOMAINE SPECTRAL X.1

X.l. EVOLUTION DE LA MESURE DE STABILITE DE

FREQUENCE X.l

X.2. RELATION ENTRE ET ^ X.7

2.1. Hypothèses X.8

2.2. Lien entre (y et 1' "intégrale"

de X.8

2.3. Estimation de X.13

X.3. LIEN ENTRE ET LA VARIANCE DE

ALLAN X.14

ANNEXE X.l. : Expression de en fonction de

ANNEXE X.2. : Obtention de par

interpolation et dérivation numériques

CHAPITRE XI - ETUDE PARTICULIERE DU BRUIT FLICKER XI. 1

XI. I. INTRODUCTION XI.1

XI.2. SYNTHESE DES RESULTATS OBTENUS DANS LE

DOMAINE TEMPS

j

XI.3. EXAMEN DE QUELQUES MODELES PARTICULIERS XI.3 3.1. Modèle stationnaire à sauts de fré­

quence de RUTMAN et UEBERSFELD XI.3 3.2. Modèle analogique de BARNES et JARVIS XI.4 XI.4. NOUVELLE APPROCHE A L'AIDE D'UN MODELE STA­

TIONNAIRE XI. 6

4.1. Hypothèses XI.6

4.2. Démonstration XI.6

4.3. Extension du modèle aux bruits de

pente quelconque XI. 9

4.4. Résultats XI.9

XI. 5. CONCLUSIONS XI.13

CHAPITRE XII - APPLICATIONS ET DISCUSSIONS XII. 1

XII. 1. INTRODUCTION XII.1

XII.2. DETERMINATION DES CARACTERISTIQUES D'UNE

HORLOGE A QUARTZ XII. 1

2.1. Schéma expérimental XII.1

2.2. Mesures de stabilité de fréquence XII.2 XII.3. MESURE DE PHASE DES SIGNAUX MSF XII.6

3.1. Schéma expérimental XII.5

3.2. Analyse des résultats XII.5

XII.4. CONaUSIONS XII. 10

INTRODUCTION

Ce travail a été motivé à l'origine par l'étude et la prévision du comportement à long terme d'un étalon de fréquence.

Pour cela, il est essentiel de pouvoir séparer les signaux cer­

tains du bruit.

La première partie de cette thèse est consacrée à la détection et à la caractérisation des signaux périodiques. Pour les analyser, deux méthodes complémentaires sont proposées.

Elles fournissent des critères statistiques valables pour la sé­

paration des composantes périodiques et des composantes aléatoires.

Il est essentiel pour la prévision â long terme des éta­

lons de fréquence de pouvoir caractériser sans ambiguïté, les diffé­

rents types de bruit. Dans la seconde partie de ce travail, nous avons examiné les paramètres spectraux et temporels relatifs aux types de bruits le plus couramment rencontrés.

Les chapitres I et VII sont respectivement consacrés à l'exposé des problèmes spécifiques à chacune des parties. Ils ex­

posent également les idées maîtresses qui nous ont servi de guide dans ce travail.

PARTIE A

ETUDE DES COMPOSANTES PERIODIQUES

CHAPITRE I - EXPOSE DES PROBLEMES

Dans ce travail, nous serons souvent amenés à uti­

liser la notion de densité spectrale. A première vue, cela ne semble poser aucune difficulté : les définitions abondent. Pour­

tant, elles sont contradictoires. Ainsi, par exemple, PAPOULIS

^965] définit la notion de densité spectrale d'un processus f(t) par la transformée de Fourier de sa fonction d'autocorrélation

= J ‘ ^

I - ^

(I.l)

En fait, dira MAX [1972], comme on opère toujours sur une durée limitée, ce que l'on obtient n'est pas R(t) mais

R(*,TJ= 1 ,1.2)

T ■'o

où T est la durée d'observation du signal f(t).

JENKINS et WATTS [l968] font remarquer que l'appli­

cation du principe d'ergodicité à R(t) n'implique en aucune fa­

çon qu'il s'applique aussi à sa transformée de Fourier. Ainsi, en toute généralité, on ne peut pas affirmer que la transformée de Fourier d'une estimation convergente d'un paramètre statis­

tique tel que R(t) constitue une estimation convergente de la transformée de Fourier de ce paramètre.

D'autres définitions de la densité spectrale sont proposées, qui se basent notamment sur la notion de filtrage

[MAX, 1972 J. Là encore, nous nous heurtons à de nombreuses dif­

ficultés. En effet, la densité spectrale ainsi définie n'est pas directement accessible à la mesure. D'autre part, elle nous oblige à faire tendre la largeur de bande du filtre vers zéro. D'autre part, le fiJtre idéal ne satisfait pas le principe de causalité.

Alors ? Quelle définition choisir ? Le problème ainsi posé est d'autant plus critique que le choix que l'on fait peut conduire à des conceptions totalement différentes de la notion de densité spectrale. Ainsi, la définition mathématique donnée par PAPOULIS (équation I.l) inplique que la densité spectrale est une fonction continue. Tandis que le physicien expérimentateur, tel que MAX, préfère se baser sur la notion de filtrage pour dé­

finir la densité spectrale et la conçoit donc en tant que fonc­

tion discontinue. Il écrit d'ailleurs assez crûment que "Mesurer une densité spectrale revient donc à obtenir par un moyen ou par

1 . ² .

un autre un nombre suffisant de valeurs discrètes pour diffé­

rentes valeurs de la fréquenceI'

Ce bref aperçu du problème nous indique que le désar­

roi est profond.

Les notions que nous allons aborder ressemblent étran­

gement à une curieuse pièce de monnaie dont nous découvrirons pro gressivement les particularités. Nous nous intéresserons tantôt au côté face, tantôt au côté pile, sans jamais pouvoir nous dé­

cider en faveur de l'une ou de l'autre face.

Si nous examinons le côté face, nous nous trouvons aux prises avec les problèmes du monde réel, avec tous ses dé­

fauts et ses imperfections. C'est le monde des expériences réa­

lisables et des nombreuses contraintes liées aux appareils de mesure.

Si nous détaillons le côté pile, nous découvrons un monde fictif, où toutes les perfections sont possibles. C'est le monde des modèles mathématiques et de leurs exigences de pré­

cision et de rigueur.

Nous nous retrouverons toujours devant le même di­

lemme : comment aborder les problèmes, suivant la voie ontolo­

gique du monde fictif ou suivant la voie épistémologique du monde réel ?

"Excellent instrument d'analyse, fournissant des modèles de raisonnement dont il est difficile de se passer, les mathématiques ne sont que des formes vides qu'il faut remplir avec quelque chose" (Claude JAVEAU) . Nous avons essayé de mon­

trer dans ce travail que c'est souvent ce qui déborde de ces formes qui constitue ce qu'il y a de plus passionnant dans le travail de recherche.

Comme c'est le cas des deux côtés solidaires d'une même pièce de monnaie, les deux approches sont indissociables.

Nous aurons besoin des modèles mathématiques pour faire des pré­

visions en ce qui concerne les systèmes réels. Mais pour élaborer des modèles, nous devrons tenir compte des résultats expérimen­

taux et des règles de causalité que nous impose le monde réel.

Malgré l'impossibilité de séparer con^lètement le

monde réel des expériences réalisables du monde des modèles mathé matiques, les de\ix approches sont conceptuellement différentes.

La philosophie que nous avons fait nôtre consiste à utiliser les modèles mathématiques sans pour cela oublier les contraintes ex­

périmentales. Les plvB astreignantes sont liées d'une part aux limites des durées physiquement accessibles et d'autre part au fait que chaque expérience est unique.

Les seuls renseignements gui nous sont accessibles sont le plus souvent fournis à partir d'une expérience

unique. L'ingénieur devra construire un barrage sur une rivière à partir de données disponibles pour cette rivière dans les dernières décennies. Le physicien étudiant une horloge atomique ou le biologiste étudiant un rythme seront dans des situations analogues. Nous sommes conscients que ceci est en contradiction avec les desiderata de l'approche ontologique qui nécessite un ensemble de processus présentant les mêmes propriétés générales.

Nous sommes bien souvent en présence d'une série

temporelle finie concernant un processus stochastique générateur.

Pour que, dans ce cas, les problèmes d'inférence statistique aient un sens, il convient de faire certaines hypothèses sinçjlificatri- ces. L'hypothèse la plus inçjortante est celle de stationnarité du processus stochastique générateur. Mais nous verrons que là encore nous assistons à une inconpatibilité entre les deux ap­

proches. Il sera souvent difficile de mettre les non-stationna­

rités en évidence, ou, si elles sont détectées, de les interpré­

ter correctement, en fonction des principes épistémologiques.

Nous nous trouvons devant le même dilemme lorsqu'on nous demande de définir le concept "signal périodique".

Si la durée d'observation T est grande par rapport à la période étudiée, le concept "signal périodique" peut être facilement défini par la voie ontologique. En effet, si P est défini comme la période du signal, on aura

. tP) = Ai) ³ ,

pour tout t, où k est un entier.

Pour autant que s(t) soit une fonction "convenable", ce qui en laboratoire est toujours le cas, nous pouvons dévelop­

per s(t) en série de Fourier. La fonction périodique s(t) sera équivalente à une somme de signaux monochromatiques. D'autre

part, son coefficient d'autocorrélation sera également périodique, de même période P.

De la même manière, la notion de bruit blanc idéal ne pose aucun problème si l'on suit la voie ontologique. Le coef­

ficient d'autocorrélation R(t) caractéristique du bruit blanc est donné par la fonction impulsion 5^ ( b) .

Il est clair que cette description n'est pas réaliste.

D'une part, tout signal monochromatique est entaché de fluctua­

tions d'amplitude et de phase (ou de fréquence). Son coefficient d'autocorrélation va de ce fait tendre vers zéro lorsque t tend

1.4.

vers l'infini. D'autre part, tout bruit étant filtré, son coefficient d'autocorrélation est différent de zéro pour des temps suffisamment petits. Nous pouvons, pour une estimation grossière, caractériser par la constante k le temps nécessaire pour que 1 'anç>litude de R(t) décroisse d'un facteur e. La valeur relative de k par rapport à la durée d'observation T va être pour nous un élément important.

Pour k/T » 1 nous dirons que nous avons un signal quasi-pério­

dique (ou quasi-monochromatique) .

Si k/T 1 le signal sera considéré comme aléatoire.

Dans les cas où k/T est de l'ordre de 1, nous dirons que nous avons un signal fluctuant.

Ces notions vont être précisées dans la suite du tra­

vail, mais considérons déjà un cas concret. Envisageons un géné­

rateur de bruit blanc idéal débitant dans un filtre étroit. A la sortie du filtre et pour une durée d'observation petite par rapport à la constante de temps k ; l'observateur verra un signal quasi-sinusoïdal qu'il ne pourra pas différencier d'un signal analytique. Ceci, malgré le fait que par principe, le signal de sortie ne soit pas déterminable analytiquement.

Par ces quelques considérations, nous espérons avoir attiré l'attention sur le double aspect de l'analyse spectrale et sur les contradictions qui existent entre la voie ontologique et l'approche épistémologique.

CHAPITRE II - RAPPELS THEORIQUES

II.1. REPRESENTATION DISCRETE DES SIGNAUX

Pour le traitement digital des signaux, nous devrons procéder à l'échantillonnage des signaux continus f(t).

Dans ce paragraphe, nous examinerons les conditions à satisfaire pour que, dans les limites des objectifs fixés, la représentation discrète décrive correctement les fonctions continues étudiées.

L’échantillonnage sera généralement périodique, de pé­

riode 6 . La fréquence d'échantillonnage sera alors = 1/0 . On appelle échantillonnage [SPATARU, 1970] la multipli­

cation de la "fonction" delta périodique par le signal f(t) et l'on note ce produit f^ s

- AM) (II.1)

m) . ^f_ so-wa)

•m»- oo (II.2)

Il ' 1 eh b s 0

.O th k O (II.3)

Dans le cas d'un échantillonnage idéal, les temps de mesure t (durée des impulsions) sont quasi nuis, c'est-à-dire très pe­

tits par rapport à & .

D'après la définition de A(t) et du fait que les seules va­

leurs connues de f(t) sont situées en t « m(9 (avec m entier), nous pouvons encore mettre la relation (II.1) sous la forme

>r\ i — 0» (II.4)

Nous appelerons représentation discrète du signal f(t) la sé­

quence de valeurs f^ définie par la relation (II.4).

II.2. CONDITIONS D'ECHANTILLONNAGE DE SHANNON

Dans le domaine spectral, la transformée de Fourier de la fonction échantillonnée fj„ est la convoluée des transformées de Fourier de f (t) et de A(t) (théorème de Plancherel) . Il s'en­

suit [MAX, 1972] que le spectre de fj„ est identique au spectre

II.2.

de f(t) mais répété infiniment sur l'axe des fréquences avec une période de \ ^ 1/0 (figure II. 1) .

Figure II.1

a. Spectre du signal f(t)

b. Spectre du signal échantillonné f m

Le signal est constitué d'une porteuse modulée en amplitude et d'un signal monochromatique de fréquence plus élevée que celle de la porteuse.

Pour que la répétition périodique du spectre ne déforme pas le motif répété, il faut que

1) le spectre soit limité en fréquence par une fréquence de coupure .

2) la fréquence d'échantillonnage ve soit égale ou supérieure à 2-0^ de manière à ce que les spectres ne se recouvrent pas.

Remarquons dès à présent que la première condition sera généralement vérifiée par les fonctions physiques. En effet, tout appareil de mesure agit nécessairement comme un filtre.

On peut dès lors considérer comme la fréqence de coupure de l'appareillage utilisé.

Ces conditions d'échantillonnage établissent que si le signal f(t) possède une bande de fréquence limitée par 1^1 <

et si © = 1/2 A » le signal continu f(t) peut être repré­

senté en fonction de ses ordonnées f^ prises à des instants dis­

crets (échantillons).

TARU,

De la formule d'interpolation dans le domaine tenps [SPA- 1970]

^ OO

L -fK®) Tfna -

jk-ynô)

(II.5) il résulte qu'un signal f(t), dont les composantes spectrales ne dépassent pas la fréquence » est parfaitement déterminé par la connaissance des valeurs échantillons f .

m

Comme nous n'avons pas accès aux temps infinis pour l'étude des phénomènes physiques, le domaine de définition des fonctions étudiées sera forcément borné. Ceci signifie que le phénomène étudié ne le sera que sur un intervalle fini [O, T]. De manière générale, la fonction ne sera donc connue que dans l'intervalle [O, T] et nous ignorons ce qu'elle peut valoir en-dehors de cet intervalle.

Aucune hypothèse n'étant faite sur f(t), on démontre (MAX, 1972] que la partie connue de cette fonction permet d'obtenir le spectre avec une précision en fréquence qui ne peut être meil­

leure que = 1/T. Ceci implique qu'à basse fréquence, nous sommes limités par la fréquence de coupure \?i = 1/T.

Rappelons que nous sommes également limités à haute fréquence par la fréquence de coupure .

La connaissance limitée que nous avons de la fonction f(t), tant dans le domaine spectral ( i ) que dans le domaine tenps (0 i t i T) nous permet de décrire f(t) à l'aide de N valeurs, où N est donné par [BRILLOUIN, 1962]

N = ^'^A ^ ^ ® (II.6)

N détermine le nombre de degrés de liberté du signal et repré­

sentera pour nous l'information que nous avons de la fonction f(t).

Ces considérations impliquent que la description classique d'un signal en tant que fonction continue est redondante. Ainsi, il nous suffira par exemple de connaître la fonction temporelle en N points échantillons, également espacés les uns des autres de d.

Nous attirons dès maintenant l'attention du lecteur sur le fait que les conditions d'échantillonnage de Shannon sont néces­

II.4.

saires mais pas toujours suffisantes. C'est notamment le cas lorsque le nombre de points échantillons est faible (3 N ^ 60)

[LECHIEN et DE PRINS, 1976]. Dans ce travail, nous aurons soin de toujours considérer des séries temporelles définies par un nombre suffisamment grand de points échantillons (N > 200).

La relation (II.6) nous permet de retrouver la deuxième condition d'échantillonnage :

Si cette condition n'est pas satisfaite, les spectres périodisés par l'échantillonnage de la fonction f(t) se recouvrent. Ce phé­

nomène est connu sous le terme anglais d'"aliasing".

Le recouvrement des spectres a pour conséquence une ambi­

guité sur les fréquences : les composantes périodiques de fré­

quence supérieure à /2 sont interprétées en tant que signau à basse fréquence (figure II.2) . Tout se passe comme si le spec­

tre se repliait sur lui-même à la fréquence de coupure v^/2.

Du point de vue énergétique, on peut dire que l'énergie contenue dans le domaine est attribué au domaine de fré­

quence accessible v? ^

(II.7)

Figure II.2

II.3. TRANSFORMEE DISCRETE DE FOURIER

L'utilisation de la transfornvée de Fourier, en relation avec les avantages qu'offrent les appareillages électroniques pour le traitement digital, requiert la possibilité de l'exprimer

sous une forme qui opère sur un ensemble fini de données discrètes.

La transformée discrète de Fourier répond à ces différents objec­

tifs. Elle offre en effet les avantages suivants :

1) Elle fournit des spectres discrets, définis à partir d'une fonction échantillonnée.

2) Elle permet d'opérer de manière digitale.

3) Elle permet l'utilisation d'un algorithme rapide (FFT).

II.3.1. Définition

La transformée discrète de Fourier est souvent définie dans la littérature (OPPENHEIM et SCHAFER, 1975] en se basant sur la relation qui existe entre les séquences de durée finie

(fonction tençjorelle échantillonnée pendant un temps d'observa­

tion fini) et les séquences périodiques. On sait qu'une séquence périodique peut facilement etre décomposée en série de Fourier.

Dès lors, pour définir la transformée discrète de Foxirier (TDF) d' une séquence de durée finie, il suffit de construire une séquence périodique,' dont la période est égale au temps d'observation et d'appliquer les résultats de la série de Fourier à la séquence périodique ainsi définie. Encore faut-il donner une interpréta­

tion correcte du résultat obtenu.

Considérons une séquence de durée finie N telle que fxY> = 0 sauf dans l'intervalle O ^ m ^^N-1. La séquence périodique corres­

pondante, de période N, notée f, est donnée par l'expression /w

f

¥ ••

Yz oc > l- N (II.8)

où r est un entier. ^

La séquence de durée finie f s'obtient à partir de f en pré- levant une période :

f- = {\

O

ailleurs (II.9)

La définition d'une séquence rectangulaire R définie parN R

{

a i Uc\/ rs

m

O (II.10)

nous permet d'écrire la relation (II.9) sous la forme

(II.11)

II.6.

Les coefficients c r» résultant de la décomposition en série discrète de Fourier de la séquence périodique sont liés à f^ par les relations

-Jr ^ (11.12)

N O

f

I

•na -(l4-i)/z

•nm

où

Wn '‘'‘f C J a.lc/^4)

(11.13)

(11.14) Les coefficients c^^ constituent eux aussi une séquence pério­

dique de période N. Notons c n les coefficients de Fourier re­

latifs à une période de la séquence périodique c (TDF bilatérale)

hl ^

'T\

R

Ils peuvent être associés à la séquence de durée finie f

Comme les sommations des équations (11.12) et (11.13) ne concer­

nent qu'une période, il résulte des relations (II.11), (11.12), (11.13) et (11.15) que

' f, -1*yr\

■^L w.

i i

jt ! \levir >

T\ Yn

^ nr» O £ "ïn $ - •

d i

(11.16)

(11.17) (n.x)n

•f f 7

L O

Les équations (11.16) et (11.17) montrent que c„ et f^ sont transformées discrètes de Fourier l'une de l'autre.

Remarquons que lorsque f est une séquence de valeurs ré­

elles, nous avons la relation 'y\

* 1 (II.18)

où l'astérisque symbolise "coitplexe conjugue.

II.3.2. Théorème de Parseval

Ce théorème est fondamental. Il montre que l'énergie par période d'un signal périodique peut être calculée à partir de la

somme des énergies des composantes de Fourier.

M-l

C - L

Autrement dit, la série de Fourier constitue un système ortho­

gonal. Nous insistons sur le fait que cette égalité n'est vala­

ble que pour un nombre entier de périodes et n'est plus valable potir une partie de période.

II.3.3. Remarques

1. Effet du temps fini d'observation

Considérons le cas où la séquence f représente un signal monochromatique

Co4 filCT?o (11.20)

La puissance moyenne de ce signal sur l'intervalle O ^ m 4 N-1 est donnée par

P h - ~ Z. 'f'»n

( ¹¹ . ²¹ )

Si N (9 est un multiple exact de la période (N(9 = q/v?o ), où q est un entier

et

( ¹¹ . ²² )

It. I -- 1 I

A/l

O -yi 4 <\ (11.23)

Par contre, si NÔ ^ q/^o , les relations (11.22) et (11.23) ne sont plus vérifiées. La figure II.3 donne les valeurs des coefficients de Fourier. L'enveloppe de ces valeurs a la foræ de la fonction sin T , centrée sur la fréquence Notons que la fonction sinx/x n'est rien d'autre que la transfor mée de Fourier de la "fenêtre" rectangulaire RÎJ„ qui détermine le tenps fini d'observation de la séquence f-m . Nous avons af­

faire à ce que les anglo-saxons appellent le "leakage" et qui est une "fuite" de l'énergie de la fréquence exacte vers les fré quences voisines.La conservation de l'énergie assure la validité de l'équation (11.19), mais les valeurs de Cn ne restituent pas la fonction monochromatique de départ (II.20).

Figure II.3

II.8.

2. Phénomène de Gibbs

Ce phénomène constitue une restriction à la reconstruc­

tion d'une fonction présentant des discontinuités par une somme de fonctions sinusoïdales. Considérons une fonction périodique f(t) et supposons qu'elle possède une discontinuité de première espèce en t = t© . Soit f(tp-O) et f(to+0) ses limites à gauche et à droite. Ses dérivées à gauche et à droite sont définies.

Posons

JL s. ^ ^ t* - f bo t

On montre [CARSLAW, 1930] que la série de Fourier vers les valeurs suivantes

(11.24) infinie tend -t> {(to—o.oï^JS-D

—O |(to+o) - O. (11.25)

Cela signifie que lorsqu'on limite la série de Fourier au terme d'ordre n, on observe une série d'oscillations avant et après la discontinuité. Si la "durée" de ces oscillations tend vers zéro pour n —e> o» , leur amplitude maximum, qui vaut 0.0895 D reste constante pour n —o œ»

Ce phénomène appelle de nombreux commentaires. Mentionnons la remarque de Valiron [1955] : il montre surtout l'avantage de 1' ençlpi de la moyenne de Féjer pour laquelle ce phénomène ne se produit pas. Malheureusement, le sens physique de la moyenne de Féjer n'est pas évident. De plus, c'est la somme de Fourier et non celle de Féjer qui fournit la meilleure approximation quadra tique moyenne de f(t).

II.3.4. Propriétés 1. Périodicité

——

La fonction yj^ est périodique, de période N. La TDF Cn et la TDFI f-m (transformée discrète de Fourier inverse) sont donc aussi périodiques, de période N et nous avons les re­

lations

'('W* -

- «• h + r N 2. Linéarité

r-, i t

(11.27)

Si dexix séquences de durée finie f et f^^^ forment une

combinaison linéaire ^

4. X

1 y» ~ ^ '■'W (11.28)

où a et b sont des coefficients conplexes quelconques, alors

la TDF de f J»)

(3)

ni

01

(a;

Y\ (11.29)

3. Similitude

Si la période d'échantillonnage ô est multipliée par un facteur constant a, on obtient une nouvelle séquence que l'on note f et qui a pour TDF

^ J_

Autrement dit, un étalement de l'échelle des tenç>s conduit à une contraction de l'échelle des fréquences et inversément.

C’ To/o.

4. Translation circulaire Soit

et soit

La TDF de f

De même, si

on a que m

r Cl)

f 4

e (1) I Ot\

nm - * 7(a) -

I

(2)

(1)

f

Cl) 01

(0

(0 on

w

m 0) n

par la relation (11.30)

-11)

o,.€

W,

lom 0

)

(11.31) Ceci implique que les transformées discrètes de Fourier de f et de fj^^ont le même module mais la transformée discrète de

(1)

Fourier de f subit une rotation de phase supplémentaire de 2 IC kn/N (éq. 11.30). On retrouve la même propriété pour une translation dans le domaine des fréquences (éq. II.31).

II.3.5. Calcul de la TDF

Le coût des opérations requises pour le calcul direct de la TDF devient rapidement prohibitif lorsque le nombre de points échantillons N est élevé (N = 2 *^ ). Depuis 1965, COOLEY et TUKEY ont élaboré un algorithme qui permet un calcul beaucoup plus ra­

pide de la TDF [COOLEY et TUKEY, 1965]. Cet algorithme est connu sous le nom anglo-saxon de "fast Fourier transform" et est noté FFT. Il est connu que la réduction du nombre d'opérations est

II.10.

P

rtiaximale lorsque N est une puissance de 2(N = 2 ). Dans ce cas, le nombre d'opérations est proportionnel à N.log^N. La figure II.4, reprise de l'article de LEIBOWITZ [1975], illustre de manière significative le gain de temps que procure l'utilisa­

tion de l'algorithme de FFT.

Comparaison du nombre d'opérations requises en fonction de N pour le calcul de la DPT et pour le calcul par PPT .

Figure II.4

II.4. EFFET DE QUANTIFICATION DU A L'ECHANTILLONNAGE DE LA FONCTION f(t)

Le passage de la fonction temporelle axix données digitales a pour effet non seulement la discontinuité des valeurs sur 1' echelle tençorelle, mais également une quantification des valeurs mesurées. Cet effet de quantification est dû dans les systèmes digitaux au nombre limité de bits servant à la représentation des nombres. La quantification résulte de la conversion analogue- digitale et entraîne des erreurs dites de quantification. On éva­

lue à qVl2 l'erreur quadratique moyenne de l'erreur de quanti­

fication, où q est le pas de quantification. Lorsque l'écart-type

^ du signal d'entrée est inférieur au pas de quantification q, la moyenne md du signal discret de sortie donne lieu à une esti­

mation biaisée de la moyenne m^ du signal d'entrée. Pour éviter cette erreur systématique, on ajoute parfois intentionnellement du bruit au signal d'entrée de manière à ce que (Hf soit toujours supérieur à q pour garantir une bonne estimation de m^ [GEDANCE,

1972]. ^

II.5. SERIES NON-STATIONNAIRES

Les problèmes po$t$ par l'unicité de l'expérience et par la durée d'observation finie sont particulièrement critiques pour le traitement des séries non-stationnaires. C'est la rai­

son pour laquelle nous discuterons ici quelques approches pro­

posées dans la littérature.

II.5.1. Attitude du Sous-Comité sur la Statiblité de Fréquence

principalement intéressé par les processus non-stationnaires aléatoires. Nous reviendrons à ce problème dans la deuxième partie de ce travail. Mais examinons dès maintenant leur position vis-à-vis de la non-stationnarité.

En raison de la durée finie d'observation, le concept de la stationnarité est en contradiction avec le principe de

causalité. Aussi leur attitude est-elle d'accorder les propriétés de la stationnarité à des modèles mathématiques qui décrivent raisonnablement les systèmes réels.

"The concept of stationarity does violence to concepts of causality since we inç>licitly feel that current performance (i.e. the applicability of stationary statistics) cannot be lo- gically dépendent upon future events (i.e. if the process is târminated sorae time in the distant future). Also, the vérifica­

tion of stationarity would involve hypothetical measurements that are not experiraentally feasible, and therefore the concept of stationarity is not directly relevant to expérimentation.

Actually the utility of statistics is in the formation of idealized models that reasonably describe significant obser­

vables of real Systems".

II.5.2. Vérification de la stationnarité dans le domaine temps [BENDAT et PIERSOL, 1971].

BENDAT et PIERSOL [1971] proposent de vérifer la sta­

tionnarité à partir d'une seule réalisation, observée pendant un temps fini, de la manière suivante :

La itoyenne et la fonction d'autocovariance de la seule réalisa­

tion disponible, fj^ , sont évaluées sur un nombre fini de points, à partir du rième point.

II.12.

(ii.m) f-i

RlC'^.^^,0 " "T ^ (11.55)

» T USO

Si /*! f^. ^ et ( K r, î, f) ne varient pas "de manière signi­

ficative" en fonction de r, on peut dire que cet échantillon est stationnaire. Autrement dit, il faut que les variations observées soient plus grandes que les variations théoriques esconptées.

Pratiquement, on pourra donc seulement définir une stationnarité à p% près. Cela signifie que l'on calcule les caractéristiques statistiques sur P points, de manière à ce que la précision soit de l'ordre de p% par rapport à la valeur théorique correspondant à P —t» oô , On répète cette mesure sur d'autres intervalles de même durée et on vérifie que le résultat est constant à p% près.

II.5.3. Vérification de la stationnarité dans le domaine spec­

tral [PRIESTLEY et RAO, 1969]

Cette approche est basée sur la notion de spectre évolu­

tif [PRIESTLEY, 1965]. La méthode consiste essentiellement à tes­

ter l'homogénéité d'une série de spectres évolutifs évalués à différents instants. On peut montrer que de manière formelle, le test est équivalent à une analyse de variance à deux voies.

A

Si représente l'estimation de la densité spectrale évolutive calculée au rième point, PRIESTLEY et RAO [1969] procèdent à la transformation logarithmique

A A

pour stabiliser la variance de ^». [JENKINS et PRIESTLEY, 1957].

Il considère le modèle '

où de II de

^h,r = -ivv

A

^h,«r est la différence entreet r et ce fait l'erreur expérimentale. ' ' l'écrit ensuite sous la forme usuelle du modèle variance à deux voies

(II.35-) représente de l'analyse

^ ^ f (II.J6)

où l'indice r est relatif au domaine ten^s et l'indice k au do­

maine spectral. Dans ce modèle

r

représentent respectivement la contribution purement temporel­

le et la contribution purement spectrale et Tjf y. est un

terme d'interaction. '

La vérification de la stationnarité s'effectue par les techni­

ques classiques qui consistent à tester le modèle

^ ^ ph ^ (II.3?)

•versus le modèle général de l'équation (Œ.3^).

L'utilisation de la notion de spectre évolutif pouç tester la stationnarité d'une série ten^relle nous ouvre la perspective d'étudier les phénomènes non-stationnaires par la voie de l'analyse spectrale.

II.5.4, Représentation temps-fréquence et définition du spectre instantané [MAX, 1972j.

MAX [1972] appelle "fonction d'ambiguité généralisée"

la quantité suivante

(11.33) Cette fonction possède la propriété particulière suivante

(11.33) dé-

— oo ^

Le volume conç>ris sous la surface est une constante terminée par l'énergie du signal £

La notion de fonction d'ambiguité a p ermis la défini­

tion du concept "représentation temps-fréquence" donnée par 1' expression du spectre instantané

i(C -r-

di\r

düUL

iic lit '"t

où

F(ù)

(II.4o)

II.14.

Il faut remarquer que n’est pas une quantité positive. En fait p (t,est un accroissement énergétique infi­

niment petit dans le plan temps-fréquence.

Il existe d'autres définitions du spectre instantané mais ces définitions ont en général pour transformée de Fourier à deux dimensions une grandeur égale ou dépendant étroitement de la fonction d’ambiguité.

Un inconvénient de la définition du spectre évolutif en terme de variation énergétique dans le plan réside

dans le fait que l’information de phase est perdue, seule étant conservée l’information concernant le module.

II.5.5. Méthode spectrale basée sur la moyenne de périodogram- mes [WELCH. 19671.

La méthode consiste à diviser la durée totale d'obser­

vation en plusieurs segments de même longueur qui peuvent éven­

tuellement se recouvrir partiellement. Les périodogrammes rela­

tifs à chaque segment sont évalués et moyennés. Poiar calculer le périodogramme, WELCH [1967] applique une fenêtre du type Hanning ou Parzen aux données avant de calculer la transformée discrète de Fourier. Il peut ensuite estimer le spectre de puissance pour lequel il donne l’expression de la variance de l’estimation.

Cette méthode appelle plusieurs remarques. Comme nous le verrons au chapitre IV, cette technique est fort proche de la méthode d’analyse spectrale discrète que nous proposons. Elle en diffère cependant sur plusieurs points :

1. Nous considérons des segments adjacents de manière à toujours garder le même nombre de degrés de liberté.

2. Nous n’appliquons aucune fenêtre spectrale aux données pour conserver l’information relative aux phases des coefficients de Fourier.

3. Outre l’estimation du spectre de puissance, nous avons intro­

duit la fonction d’autocovariance qui nous procure le moyen d’étudier l'évolution des caractéristiques spectrales au cours du temps.

CHAPITRE III - MOYENNAGE

111.1. INT RODUCTION

La méthode du moyennage concerne l'extraction des si­

gnaux périodiques noyés dans le bruit. Elle sert à restituer la forme des signaux. Cette technique est connue en instrumen­

tation sous le nom de "signal averager". La méthode s'applique aussi bien aux signaux périodiques, de période connue, qu'aux signaux non périodiques, mais répétitifs, dont on connaît 1' instant d'apparition.

Remarquons que la moyenne de signaux périodiques n'est pas une nouvelle technique mais une application pratique de la fonction de corrélation croisée entre un signal périodique et un train d ' inçjulsions également périodique [MAGRAB et BLOMQUIST, 1971].

Après un bref rappel du principe de la méthode, nous montrerons comment nous l'avons étendue aux signaux dont la pé­

riode n'est pas connue exactement a priori. A l'aide d'itéra­

tions successives, nous pourrons chercher par approximation tant la forme que la périodicité du phénomène étudié. Nous allons d' abord considérer le cas où la série tençsorelle est régulièrement échantillonnée à la fréquence = 1/ ô . Nous verrons ensuite quelles sont les modifications apportées pour le traitement des séries non-équidistantes.

III.2. PRINCIPE DE LA METHODE

L'application de la méthode classique du moyennage sup­

pose la connaissance a priori de la période. Nous aurons donc f(t) = s(t) + n(t) (III.1) où s(t) est la composante périodique de période P = p®

et n(t) est la composante de bruit.

De manière générale [MAX, 1972], n(t) est supposé station­

naire au second ordre et de moyenne nulle. Ceci suppose que f(t) est stationnaire. Cette hypothèse n'est pas toujours vérifiée dans la réalité. Nous verrons que le filtrage de f(t) par lissage nous permettra dans certains cas d'analyser valablement des sé­

ries pour lesquelles n(t) n'est pas stationnaire. Une autre hypo­

thèse sin^lificatrice est souvent faite bien qu'elle ne soit pas absolument nécessaire à la validité de l'opération de moyennage.

III.2.

Elle consiste à dire que le ten^s de corrélation de n(t) est très inférieur à la période du signal. Cette hypothèse inplique que les bruits relatifs à deux périodes consécutives peuvent être considérées comme indépendants.

La période étant connue, la fonction f(t) est échan­

tillonnée pendant un temps T = 'T.P, La méthode du moyennage

consiste à calculer la moyenne des valeurs f^ = f(mô) telles que

m(mod p) = b (III.2)

c'est-à-dire

T

p =

- Z £

'b i| ^‘r, (q-l)p+b (III.3) D'après la relation (III.2), Fi est caractérisé

(b =

1,

par p valeurs moyen.

III.3. FONCTION DE TRANSFERT DU MOYENNAGE Dans le

caractérisée par

domaine spectral, la méthode de moyennage est sa fonction de transfert :

H('>}

'c

(III.4)

OÙ (A III.1]

'»( rci? P

A\^ £ (III.5)

et

'f

Il est évident que pour = n/P (avec n entier)

| h {0 ) 1

1

Cela revient à dire que la méthode agit comme un filtre peigne (figure III. 1).

Figure III.1

Nous voyons tout de suite les avantages qui en découlent.

- Le module de la fonction de transfert vaut 1 pour la fréquence fondamentale et toutes ses harmoniques et le déphasage est nul C'? = O) pour ces valeurs. Ceci signifie que la méthode de moyenne de signaux successifs restitue le signal original sans distorsion ou atténuation.

- La variance de la fonction de bruit n(t) est fortement atténuée.

Ainsi, pour un bruit blanc, la puissance de bruit est réduite d'un facteur '''l . Le gain en rapport signal/bruit obtenu par cette méthode est [MAX, 1972]

G = 10 log^Q(db) (III.8)

II1.4. LIMITATIONS DE LA METHODE

Les propriétés du filtre peigne mentionnées dans le paragraphe précédent sont souvent utilisées pour la recherche

de périodicités par la méthode du moyennage. La technique consiste à choisir une période E qui rend l'ançlitude du signal filtre

maximvun. Cette procédure souffre deux inconvénients majeurs.

1. Le filtrage du bruit, et plus particulièrement du bruit cor­

rélé, par un filtre peigne donne lieu à des signaux qu'il est difficile de distinguer d'un signal quasi-périodique.

Il faut dans ce cas être très prudent lors de l'interprétation des résultats.

2. Le fait d'ajuster l'amplitude du signal pour estimer la pé­

riode peut conduire à une déformation importante du signal.

En effet, examinons les propriétés de la fonction de trans­

fert lorsque la période estimée E n'est que légèrement dif­

férente de la période vraie P.

III.4.

E = P(1 + 6) (III.9)

tel que £ = O

Le module et le déphasage de la fonction de transfert sont don­

nés avec une bonne approximation par [A.III.l]

IHWI .

^ S' (III.Il)

Nous voyons tout de suite que si nous ajustons l'anplitude maxi­

mum avec une erreur relative S faible, l'erreur sur la phase est donnée par

^ = 2.45 (III. 12)

Ainsi, par exemple, si

S

approximativement 0.24 radian pour la fondamentale. Nous voyons donc qu'un ajustement acceptable de l'anplitude peut conduire à une déformation in^ortante du signal, d'autant plus que 1*

erreur de phase sur l'harmonique n est environ n fois plus grande que l'erreur de phase commise sur la fondamentale.

Le premier inconvénient est inhérent à tout processus de filtrage. Nous avons remédié au second par l'élaboration d'une méthode de calcul sensible à la phase.

III.5. PROPOSITION D'UNE METHODE SENSIBLE A LA PHASE

Nous avons vu quelles étaient les limitations de la mé­

thode classique du moyennage. En proposant une méthode sensible à la phase, nous désirons adapter la méthode de moyenne de si­

gnaux successifs à l'extraction de signaux périodiques dont la période n'est pas connue exactement a priori.

Pour éviter les inconvénients dus aux bruits non-station­

naires qui colorent le spectre de puissance aux basses fréquences, nous avons incorporé à la méthode un procédé de filtrage par lis­

sage. Examinons successivement chacun de ces deux points.

III.5.1. Description de la méthode

La méthode est illustrée par la figure 1II.2. Pour sim­

plifier la démonstration, considérons un signal monochromatique, de période inconnue P et échantillonnée pendant un tenç>s T.

Soit E^ une première approximation grossière de la période P.

J M ^{fl flfl}

l/V VW ^/V Wlw

B

C

D

0

-0,5

1,006

~T

i

E

Figure III.2

III.6.

Nous définissons l'écart entre et P par

(III.13) Nous voulons obtenir une bonne évaluation de £| par une méthode sensible à la phase. Les différentes étapes de la procédure choi­

sie peuvent être décrites comme suit.

1. A partir de la fonction temporelle (figure III.2A),

A(t) = Aq sin 2 IC (t/P + (III. 14) à l'aide de l'équation (III.3), nous calculons la fonction moyen­

ne B(t) (figure III.2B). Elle peut être donnée avec une bonne approximation par

- «Q 0X11 xiv-vx/rij -r -r

OÙ ^1^2 est le déphasage introduit par le filtre peigne.

2. La fonction B(t) est soustraite de la fonction temporelle initiale. Soit C(t) le résidu (figure III.2C).

C(t) = Ao /i. Wo+f[£L)

? f, X /

Il est évident que l'application de la méthode de moyennage au résidu C(t), avec une période E,, donne un résultat nul. D'autre part, pour autant que la période de battement du résidu (Pj^) soit bien supérieure au temps d'observation T,

P . 1( 55 T -- ">!

*■ £. (III. 17)

l'amplitude maximum du résidu est donnée par

A-vn - I^ " \^)lk5o ^ (III. 18)*

Notons que l'approximation faite dans l'équation (III.18) est justifiée en raison de la condition (III.17) qui peut encore s'éaire sous la forme

f, // i ( I } (III. 19)

* Comme la période vraie P n'est pas connue a priori, la valeur considérée pour '»| est donnée par J

où le symbole [x] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.

La connaissance de A-y,^ va nous permettre d'évaluer f|

3. La fonction D(t) (figure III.2D) est obtenue à partir du résidu C(t) et est définie par

■^ooir O ^ t é ^T/Z

rk < t i T

(III.20) 4. La méthode de moyennage est appliquée à la fonction D(t).

Comme la période estimée n'est pas exactement égale à la période vraie P, nous obtenons une fonction quasi-sinusoïdale E(t) (fi­

gure III.2E) qui résulte du battement entre les périodes E, et P.

Evaluons l'amplitude A^ de la fonction E(t).

Partant de l'équation (III.16) et tenant conpte du changement de signe entre T/2 et T, l'amplitude moyenne de la fonction D(t) est donnée par

Aol = ^ A{, j [ j - J * jJ ■ 1

^ . il (c^ VU -1 )

T IT£, 1 ^ ^(III.21)

Comme est petit, nous pouvons arrêter le développement de Mac Laurin de la fonction cosinus aux deux premiers termes.

Il vient

Hf\o ?

Trc £, (III.22)

5. €, est évalué à partir de l'étape précédente (équation III.22).

(5 Ç + ^ Afll

' " (III.23)

Le signe dépend de la phase de la fonction E(t).

Nous verrons dans le paragraphe suivant qu'une erreur d'estima­

tion èt de la période vraie P entraîne un reste en quadrature avec le signal étudié. Nous pouvons ainsi améliorer la précision sur l'évaluation de £| en considérant la composante A'j , projection de Aj perpendiculairement à A (figure III.3).

III.8.

Figure III.3

£j est alors donné par

La connaissance de £|

de la période vraie P

Ao T

(III.24) nous permet une estimation meilleure E2

E, - ^

(III.25) 6. Nous pouvons par un processus d'itération améliorer les résul­

tats. Si A'ji est plus grand qu'une fraction donnée de A , c'est- à-dire si la correction i, est significative, on retourne à la première étape (1).

III.5.2. Influence des fluctuations

L'égalité (IIIJ6) montre que le signal extrait du résidu doit être en quadrature par rapport au signal B(t). Il en résulte que la différence de phase entre les signaux B(t) et E(t), en 1' absence de bruit ou de modulation, est égale à + 1C/2, suivant le signe de £|

Des variations d'anç>litude du signal conduisent à une différence de phase de O ou 1C .En effet, si

^(b) •= •‘(t) lit 4-

on peut encore écrire le signal sous la forme

(III.26)

A(/t) = Ao [ ^ iic

où

et où

A,

î'^) -

i. ( iik)

T 4

«t (J:) _ Ac

(III.27)

(III.28)

(III.29) est tel que

(III.30) En faisant l'hypothèse que chaque terme de sommation est de moyenne nulle, on voit immédiatement que le reste est donné par

C(*) Z Ao j(t)

Les fluctuations de bruit blanc donnent lieu à des varia­

tions aléatoires des phases. En décomposant la moyenne de somma­

tion, d'une part sur le signal et d'autre part sur le bruit, lors­

que E, = P, les valeurs relatives au bruit s'annulent, en rai­

son des hypothèses faites sur n(t) .

Le reste dû aux fluctuations de bruit blanc ou sl\xx va­

riations d'amplitude du signal est donc différent de celui dû à une erreur d'estimation de €\ .En effet, nous avons vu qu'une erreur de £\ entraîne un reste en quadrature avec le signal étudié. Dans la réalité, outre les fluctuations de bruit blanc, nous verrons apparaître d'autresconposantes aléatoires telles que la promenade aléatoire ou le bruit flicker.* Il en résulte le plus souvent que du point de vue spectral, le spectre basse fré­

quence sera plus important. C'est donc la partie basse fréquence du spectre qui va principaleraert déterminer la précision obtenue pour la détermination des signaux périodiques. Nous avons évité cette situation en lissant les données. La fonction lissée est ensuite soustraite de la fonction initiale.

(III.32)

tU) - +it) -

où 'tj représente la largeur de lissage.

*) La caractérisation de ces différents types de bruits sera donnée dans la deuxième partie de ce travail.

III.10.

Calculons la fonction de transfert correspondant à l'opération décrite par l'équation (III.32). Examinons la réponse à une ex­

citation sinusoïdale du type

\ik)

l(t) est donné par

i( /t) ï ho

~ ho

2>C l à.

?

+•

?

-J. A.

y /-V/i ’’

- A, w.)

P

i Ao r ^ /? 1

(III.33) La fonction de transfert est donc

(III.34) Le module de la fonction de transfert L(^) est égal à l'unité pour la fondamentale du signal présent dans la série tenç>orelle et pour ses harmoniques. Nous voyons donc qu'en choisissant une largeur de lissage 't| égale à la période du phénomène étudié, nous ne perturbons pas celui-ci. La figure III.4 montre une autre caractéristique de la fonction de transfert du lissage : sa pente +2 à basse fréquence (représentation logarithmique). Il en résulte que les basses fréquences seront fortement atténuées. La précision est donc liée au spectre de bruit aux fréquences de la fonda­

mentale et de ses harmoniques.

1 2

^—

10 )7

III.6. REMARQUES CONCERNANT LE TRAITEMENT DES SERIES NON- EQUIDISTANTES

Les problèmes soulevés par l'analyse des séries irré­

gulièrement échantillonnées ont fait l'objet d'un mémoire de Licence [WAEYTENS, 1975]. Ils concernent les opérations sui­

vantes :

1. Calcul du terme fondamental de la série de Fourier. Ce terme doit être évalué au niveau de la fonction initiale et au ni­

veau du résidu. Pour l'estimer, on fait appel aux méthodes d'intégration numérique [DEMIDOVITCH et MARON, 1973] . Nous développerons ce point dans le chapitre IV.

2. Calcul du signal moyen.

Lorsque les points sont équidistants, le signal moyen est

obtenu par sommation des points dont la position à l'intérieur de chaque période est la même. Lorsque les points ne sont pas équidistants, cette procédure n'est plus applicable. Pour ef­

fectuer la sommation, nous divisons chaque période en M in­

tervalles de même longueur, appelés classes.

Le choix de M résulte d'un coirpromis entre le nombre de points par classe et le nombre de points désiré pour décdre la forme du signal moyen. La moyenne est effectuée cette fois sur les classes de même ordre, au centre de gravité des classes. Ceci nous permet de décrire le signal moyen en M points.

3. Calcul du résidu.

Le calcul du résidu s'obtient par la différence entre la fonc­

tion initiale et le signal moyen. Cette opération n'est pas immédiate du fait que les valeurs discrètes disponibles le sont pour des instants différents.

Pour effectuer la soustraction, nous interpolons linéairement le signal moyen pour calculer sa valeur aux instants où la fonction originale est connue.

4. Filtrage des basses fréquences par lissage.

Nous choisissons comme précédemment une largeur de lissage égale à la période du phénomène étudié. La vale\ir lissée est calculée au centre de gravité des intervalles de lissage.

La différence entre la fonction initiale et la fonction lis­

sée s'effectue alors par interpolation linéaire de la fonc­

tion lissée.