- - -
- - -
Université libre de Bruxelles Institutional Repository Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Colinet, E. (1975). Propriétés d'équilibre d'un gaz de Bose de sphères dures en représentation physique (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/214512/1/af3c47eb-a993-4bb8-808e-e0ae6e5d40ba.txt
(English version below)
Cette thèse de doctorat a été numérisée par l’Université libre de Bruxelles. L’auteur qui s’opposerait à sa mise en ligne dans DI-fusion est invité à prendre contact avec l’Université ([email protected]).
Dans le cas où une version électronique native de la thèse existe, l’Université ne peut garantir que la présente version numérisée soit identique à la version électronique native, ni qu’elle soit la version officielle définitive de la thèse.
DI-fusion, le Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles, recueille la production scientifique de l’Université, mise à disposition en libre accès autant que possible. Les œuvres accessibles dans DI-fusion sont protégées par la législation belge relative aux droits d'auteur et aux droits voisins. Toute personne peut, sans avoir à demander l’autorisation de l’auteur ou de l’ayant-droit, à des fins d’usage privé ou à des fins d’illustration de l’enseignement ou de recherche scientifique, dans la mesure justifiée par le but non lucratif poursuivi, lire, télécharger ou reproduire sur papier ou sur tout autre support, les articles ou des fragments d’autres œuvres, disponibles dans DI-fusion, pour autant que :
Le nom des auteurs, le titre et la référence bibliographique complète soient cités;
L’identifiant unique attribué aux métadonnées dans DI-fusion (permalink) soit indiqué;
Le contenu ne soit pas modifié.
L’œuvre ne peut être stockée dans une autre base de données dans le but d’y donner accès ; l’identifiant unique (permalink) indiqué ci-dessus doit toujours être utilisé pour donner accès à l’œuvre. Toute autre utilisation non mentionnée ci-dessus nécessite l’autorisation de l’auteur de l’œuvre ou de l’ayant droit.
--- English Version ---
This Ph.D. thesis has been digitized by Université libre de Bruxelles. The author who would disagree on its online availability in DI-fusion is invited to contact the University ([email protected]).
If a native electronic version of the thesis exists, the University can guarantee neither that the present digitized version is identical to the native electronic version, nor that it is the definitive official version of the thesis.
DI-fusion is the Institutional Repository of Université libre de Bruxelles; it collects the research output of the University, available on open access as much as possible. The works included in DI-fusion are protected by the Belgian legislation relating to authors’ rights and neighbouring rights.
Any user may, without prior permission from the authors or copyright owners, for private usage or for educational or scientific research purposes, to the extent justified by the non-profit activity, read, download or reproduce on paper or on any other media, the articles or fragments of other works, available in DI-fusion, provided:
The authors, title and full bibliographic details are credited in any copy;
The unique identifier (permalink) for the original metadata page in DI-fusion is indicated;
The content is not changed in any way.
It is not permitted to store the work in another database in order to provide access to it; the unique identifier (permalink) indicated above must always be used to provide access to the work. Any other use not mentioned above requires the authors’ or copyright owners’ permission.
^ BIBUOTI^UE DE CHIMIE
UNIVERSITÉ LIBRE DE BRUXELLES
★
Faculté des Sciences Service de Chimie Physique II
PROPRIÉTÉS D’ÉQUILIBRE D’UN GAZ DE BOSE DE SPHÈRES DURES
EN REPRÉSENTATION PHYSIQUE
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences Chimiques.
19 7 5 Elisabeth WIBO >(COLINEj)
fluctuations dans une classe de systèmes-modèles décrits
par une fonctionnelle de Landau.
bibliothèque de chimie
UNIVERSITÉ LIBRE DE BRUXELLES
★
Faculté des Sciences Service de Chimie Physique II
PROPRIÉTÉS D’ÉQUILIBRE D’UN GAZ DE BOSE DE SPHÈRES DURES
EN REPRÉSENTATION PHYSIQUE
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences Chimiques.
19 7 5 Elisabeth WIBO-COLINET
c'est e Monsieur le Professeur Prigogine, d'abord, que j'exprime ma gratitude de m'avoir admise au sein de l'équipe dynamique qu'il anime et dont je n'ai cessé d'admirer l'enthousiasme et la créativité scientifiques. Je le remercie de m'y avoir confié un travail de recherche et de m'avoir encouragée par ses conseils. Ses grandes connaissances m'ont vivement
impressionnée et je suis heureuse, en qualité d'"élève", d'avoir pu en bénéficier.
Mes remerciements vont ensuite â Monsieur le Professeur Nicolis avec lequel j'ai vraiment apprécié travailler. Auditeur toujours amical lorsque je lui
évoquais mes difficultés, il m'a guidée avec beaucoup de compétence. Nombre de problèmes ont été résolus grâce aux discussions que nous avons eues et où je découvrais sa vaste érudition et son intuition. De sa gentillesse aussi, je garde le meilleur souvenir.
A Michel de Haan, je dois une reconnaissance particulière. Toujours disponible pour m'offrir sa
collaboration scientifique, il m'a beaucoup aidée à accomplir ce travail.
A mes côtés, j'ai aussi trouvé-en Christiane Joukoff, Pierre Gillis et Yves Quinif des compagnons
bien agréables, créant dans le bureau que nous partagions une ambiance franchement sympathique.
Je ne voudrais terminer sans remercier
l'ensemble des effectifs du service de Chimie-Physique II qu'au hasard d'une rencontre de couloir, je côtoyais
toujours avec plaisir.
Enfin, c'est à Mesdames Dereumaux, Galland et Thomaes ainsi qu'à Messieurs Kerckx et Kinet que vont mes remerciements pour m'avoir aimablement dispensé leurs services dans les aspects techniques que comportait ce travail.
Durant ces années de recherche, j'ai bénéficié
successivement des appuis financiers fournis par l'I.R.S.I.A.
le F.N.R.S. et l'association Euratom-Etat belge.
A. Théorie générale de transformation
1. Introduction.Forma 1is me de la résolvante 2. S ous - d.yn ami q ue s
3. Evolution dans
4. Représentation physique 5. Transformation (\
II . 1 II . 6 II . 8 11
.
1 111.13
B. Formalisme des fonctions de Wigner II. 15
CHAPITRE III. Cadre physique et approximations
1. Méthode du pseudo-potentiel de Huang III. 1
2. Approximations III. 3
CHAPITRE IV. Fonction de distribution des vitesses à 1 ' équilibre
1. Introduction IV. 1
2. Calcul de IV. 4
3. Potentiels thermodynamiques IV.17 4. Fonction de distribution des vitesses réduite
à une particule IV.25
CHAPITRE V. Propriétés d'équilibre en représentation phy sique
Introduction V. 1
Eva1ua tion de I J V. 8
Evaluation de I^ V. 14
4. Fonction de distribution des vitessesà une
particule physique V.22
5. Calcul de l'entropie V.28
CHAPITRE VI . Analyse de la fonction H
1. Développement de \-\i^ limité â l'ordre
dominant en ~~ VI. 1
2. Etude analytique de VI . 1 3
a. Limite x —^ O VI. 1 3
b. Limite x — VI. 1 7
3. Contributions d ' 0(T ) à l*entropie3 VI. 23
CHAPITRE VII. Analyse de la fonction de
distribution VII . 1
CHAPITRE VIII. Conclusions
APPENDICE AI.
VIII. 1
Quelques propriétés des fonctions de distri
bution de Wigner
APPENDICE AU.
AI . 1
1. 1. Technique de diagrammes AU . 1
2. Calcul de AU . 4
2. Etude des singularités de
3. Etablissement des relations (IV.2.28) et
AU . 9
(IV.2.45) AU . 1 1
4. Forme explicite de AU . 1 4
5. Démonstration de (IV.2.27) AU . 1 7 6. Relation de fermeture des fonctions ® AU. 18 7. Intégrations dans le plan complexe AU . 22
3. Contributions dues aux singularités en
et S.(v.î£l')
dans
APPENDICE AIV.
1
.
2
.
3.
4.
Critère de Stabilité
Analyse dimensionnelle de Evaluation de
Etude de la différence
AIII. 5
AIV. 1 AIV. 4 AIV. 5 AIV. 6
1.1.
CHAPITRE I.
INTRODUCTION GENERALE.
L’étude théorique d'un système possédant un très grand nombre de degres de liberté - lies aux 10 23
particules qui le composent - est un sujet fascinant mais complexe. La difficulté se concrétise lorqu'il s'agit de tenir compte des interactions entre ces degrés de
liberté, par exemple, pour décrire l'évolution du système vers l'équilibre.
La description de l'approche vers l'équilibre peut être envisagée â deux niveaux : celui de la ther
modynamique et celui de la dynamique. Le premier étudie les variations des grandeurs macros copiques telles que l'entropie ou l'énergie libre. Le second s'intéresse à l'évolution des degrés de liberté. Le caractère irré
versible du processus s'exprime dans le second principe de la the r m.odynami que . Par contre, il n'apparaît pas dans la formulation habituelle de la dynamique en termes des équations du mouvement réversibles.
Comment alors construire le cadre théorique contenant la description, au plan microscopique, des processus irréversibles ? Les pEîmiers succès obtenus
dans le sens d'une description microscopique de l'évolution irréversible, remontent à la théorie des gaz dilués,
formulée par Boltzmann^^, en 1872. Caractérisant l'état du système en termes probabilistes, il en décrivit la
dynamique comme résultant des collisions entre particules.
Il posait ainsi les premiers jalons des théories actuelles de la mécanique statistique des phénomènes irréversibles.
Dans les lignes qui s uivst;, nous esquissons la théorie développée par le groupe de Bruxelles que
. . . .
2)
dirige I. Prigogine . La base en est l'étude de la solution de l'équation de Liouvi11e-von Neumann, décri
vant l'évolution de la matrice densité du système. Nous en rappelons l'expression ;
'-S (I..)
commutateur pour les systèmes q uan tiques
crochet de Poisson pour les systèmes classiques.
Diverses étapes que nous résumons ici, marquent la trans
formation de cette équation de manière à y inclure la description des processus irréversibles.
L'étude de la dynamique, ai général, envisage les modifications survenant dans l'état d'un système suite aux interactions entre particules. L'origiraiité de la théorie que nous exposons ici, réside dans le fait que l'état du système est caractérisé par rapport aux corrélations et l'on suit l'évolutioi du système à travers ses divers âats de corrélations. Dans ce cadre, il est possible de formuler l'opérateur décrivant l'évolution sous une forme exprimant son caractère irréversible,
le cas échéant. Formellement, la solution de (I. ]) définit l'opérateur d'évolution u(.f) comme :
-iLt
ç>(hV e. ç(o') =
[H, fl
( 1 . 2 )
1.3.
Le développement de U(t) en série de perturbation, dans la base des états de corrélations, associe à un état de corrélations, une dépendance temporelle. De cette classi
fication est née l'idée de décomposer l'évolution en sous-dynamiques, chacune étant liée â un type de compor
tement dans le temps et donc aussi à un type de corrélations Dans ce but, un ensemble d'opérateurs de projection
est défini, qui réalisent le fractionnement de 1 espace de (O
l'évolution en sous-espaces. L'un d'eux PC , projetant sur le sous-espace associé au vide de corrélations joue un rôle essentiel car on montre que le sous-espace qu'il défi
nit contient la plupart des contributions qui subsistent à la limite t —^ oo , Il décrit toute la thermodynamique, en particulier d'équilibre et en ce sens, constitue le niveau macroscopique de la description.
Un pas de plus peut encore être accompli qui montre comment, au moyen d'une transformation A > réaliser
de manière générale", l'extension de la dynamique au départ de l'équation de Liouville. Une telle transformation a été construite utilisant les techniques de la dynamique des cor
rélations, Dans la "nouvelle représentation engendrée par /'\
- la représentation physique - le projecteur l~(_ possède un équivalent très simple qui n'est a"utre que le p'rojecteur
sélectionnant les éléments relatifs au vide de corrélations.
La transformation l\ est, en général, non ca
nonique .Elle se réduit à une transformation canonique lorsqu'elle s'applique à des systèmes comportant un nombre fini de degrés de liberté. En/représentation physique,
l'évolution de la matrice densité, quel que soit l'état de corrélations, est régie par un opérateur de collision
diagonal en les états de corrélations. Ce sont les propriétés de cet opérateur de collision qui
expriment le caractère irréversible de l'évolution. Nous retrouvons donc la conception de Boltzman : décrire la dynamique en termes de processus de collisions. Ici, ces processus mettent en jeu de nouvelles unités (différentes des ParticU1es) , définies au moyen de la transformation A •
développée â Bruxelles, en ajoutant qu'une fonctionnelle quadratique de la matrice densité en représentation
physique a été introduite. En ses termes, un théorème
plausible d'y voir une définition dynamique de l'entropie.
Ces nouveaux concepts émis, leur application à des problèmes physiquesconcrets s'impose et c'est dans ce contexte que s'intégre notre travail. Il vient à la suite de plusieurs autres qui illustrèrent les possibilités de la description, en représentation phy-
3) • 4)
sique, de divers systèmes : gaz classique et quantique
5 ) 6 )
dilués, plasmas classique et quantique . Chaque
fois, les résultats suggèrent que les nouvelles unités ei\ £onc- -tion desquelles les systèmes peuvent être décrits - en
l'occurrence les particules physiques - sont les plus naturelles. En effet, l'entropie d'équilibre, construite au départ d'une formule combinatoire utilisant les
fonctions de distribution des vitesses en représentation physique, est celle de systèmes de particules indépendantes.
D'autre part, les fonctions de distribution d'équilibre s'expriment de manière formellement identique à leurs homologues dans les systèmes sans interaction. Tout
l'effet de 1'in teraction se trouve inclus dans les définitions de l'énergie et de la masse des particules physiques.
Nous terminerons ce bref exposé de la théorie
généralisé a pu être formulé de sorte qu'il semble
1.5.
Dans l'esprit de ces recherches, s'inscrit celle que nous avons effectuée sur le gaz de Bose de sphères dures. Outre la motivation d'y trouver un nouveau terrain d'application de la théorie de trans
formation, l'étude du gaz de Bose présente un intérêt intrinsèque. Son utilisation comme modèle physique pour la description des propriétés de l'hélium 4 liquide en constitue la preuve.
Le parallèle entre l'hélium 4 liquide et le gaz de Bose idéal a été établi, en premier lieu, par London^^, en 1938. Il est évident que la description d'un système comme celui quE constitue l'hélium 4 ne peut être considérée que dans le contexte de la
statistique de B ose-Einstein. La symétrie de la fonc
tion d'onde décrivant les particules de spins entiers que sont les atomes d'hélium 4 l'y rattache naturelle
ment. Toutefois, comment un modèle de gaz peut-il rendre compte des propriétés d'un liquide ? C'est ce que nous allons tenter d'expliquer, dans l'optique de London, en insistant sur les analogies des comportements, à basse température, du gaz de Bose idéal et de l'hélium
4 liquide.
en s e c onde quan t i f i ca t i on (dans la représentation en nombres d'occupation) nous apprend que, dans un gaz
de bosons idéal, les particules s'accumulent brutalement
ture nulle, à occuper complètement cet état. Cette occupation macroscopique de l'état de moment zéro est connue sous le nom de condensation de Bo s e-E ins te in . Si tlç désigne le nombre de particules dans l'état de moment zéro et N le nombre total de particules :
La mécanique statistique quantique formulée
dans l'état de moment le plus bas d'une certaine température , a
, en dessous , aboutissant, à tempéra-
( 1 . 5 )
les
IN
- autres particules étant distribuées sur les états excit és.D'autre part, les observations sur l'hélium 4 liquide réalisées en 1911 par Kammerlingh Onnes, montrent l'existence, en dessous de la température 2°19K, d'une forme d'hélium liquide, appelée Hell aux propriétés remarquables qui la différencient de la forme liquide He I existant entre 2°19K et 5°2K (température critique).
En particulier, Hell présente la caractéristique de s'écouler sans viscosité mesurable à travers les capillaires. C'est la propriété de superf1uidité .
La correspondance entre les ordres de grandeur des températures "T^ (extrapolée pour les données de
^ He) et T,. frappa London. De plus, il eut l'attention attirée par la similitude de forme des courbes donnant la variation de la chaleur spécifique en fonction de la
température, au voisinage des températures de transition, pour ces deux systèmes. Ces constatations lui suggérè
rent que la transition liquide Hel vers liquide Hell pouvait être due au mécanisme de condensation, modifié bien sûr par les forces d'interaction interatomiques.
Il émit l'hypothèse que le flux s upe r f lu i de pût être relié à la fraction condensée.
Quel serait alors l'analogue dans Hell des états excités du gaz de Bose idéal ? C'est ici que s'introduit la théorie macroscopique de Tisza décrivant
le liquide Hell comme formé de deux fluides : le super
fluide et le fluide normal, de densités respectives et . Cette description lui fut inspirée par l'expé
rience de mesure de viscosité faite avec un disque oscillant , montrant qu'une "partie" du fluide donne 8 ) naissance à un coefficient de viscosité non nul . Au départ
de ce modèle, s'élabore toute une théorie hydrodynamique rendant compte, du moins qualitativement, des super
propriétés de He II.
1.7.
Tournons-nous, â présent, vers la théorie semi-phenomenO 10gique de Landau qui voyait davantage 9) de rapprochements entre un liquide et un solide qu'entre un liquide et un gaz. Il émit l'idée que les excitations élémentaires de faible énergie devraient être de type phonon et qu'elles constituaient le fluide normal. A l'appui de cette hypothèse, les expériences de Bleaney et Simon^^^ montraient un comportement de la chaleur
^ . . . 3
spécifique proportionnel à T , a basse température et non à T comme celui du gaz de Bose idéal. Comment, 3/2 à ce stade, réconcilier les deux points de vue ?
Ce fut l'oeuvre de Bogo 1iubov^ ^ ainsi que de Lee et Yang qui établirent la jonction, au niveau 12).
d'une description microscopique, entre ces deux conceptions Ils se sont intéressés à l'étude d'un système de bosons en interaction, à température nulle et à l'équilibre, d'abord Au départ d'un hamiltonien formulé en seconde quantifi
cation, ils ont montré dans quelle mesure les interactions modifient la nature et le spectre des excitations, par rapport au gaz de Bose idéal. L'accent est mis sur le rôle important joué par l'occupation macroscopique de l'état de moment zéro. La façon dont il en est tenu compte varie suivant les auteurs et nous y reviendrons au chapitre III. Les résultats essentiels qui ressortent de ces approches sont, d'une part, que le spectre
d'excitation est de type phonon pour les faibles énergies et d'autre part, que l'occupation de l'état fondamental à température nulle est réduite à ^ 10 % du nombre total de particules, comme conséquence des interactions. Ce fait , prévu indépendamment par Penrose et Onsager , 13) est important parce qu'il implique qu'en aucun cas,
ne peut être assimilé à n
Signalons, à ce niveau, les observations expé
rimentales qui permettent d'apprécier l'apport de ces théories. En plus de la confirmation indirecte fournie par l'étude de la chaleur spécifique, des expériences
• 14)
de scattering de neutrons ont mis en évidence,
directement, le spectre de phonons. Nous n'entrons pas ici dans le détail de l'accord quantitatif auquel
conduisent ces premières recherches. Il est clair que la description du système réel nécessiterait, par
rapport à celles-ci, des modifications des conditions de densité, de température, de force de couplage que, par ailleurs, nous n'avions pas précisées.
A coté de ces propriétés d'équilibre, l'étude des processus de transport dans Hell couvre un vaste domaine de recherches aussi intéressantes.
L'hydrodynamique de Hell fut d'abord formulée sur base du modèle phénoménologique de Tisza. Mais ce sont les équations cinétiques dérivées par Landau-Khalatnikov^^^
qui lui donnèrent un réel essor. Là aussi, ce sont les phonons qui jouent le rôle central.
Nous nous limiterons à ces quelques généralités succin- tement exposées pour reve nir à l'objet de notre travail qui concerne l'étude des propriétés d'équilibre.
Prendre en considération de plus en plus d'informations, les traiter avec davantage de rigueur afin d'obtenir une description plus conforme à la réalité, tels sont les buts des recherches venant après l'oeuvre des pioniers : London, Landau, Bogoliubov, Lee et Yang.
La multitude de travaux publiésappliquant au gaz de Bcse des méthodes théoriques élaborées comme celles de la théorie des champspar exemple, prouve l'inté
rêt que ce modèle ne cessa de susciter. Aussi ne
nous faut-il pas plus de justification à présenter notre étude des propriétés d'équilibre d'un gaz de Bose de sphères dures.
1.9.
Nous l'avons envisagée dans le cadre formel défini par la théorie générale de transformatior déve
loppée à Bruxelles. Notre objectif est de calculer la fonction de distribution des vitesses, à l'équilibre, en représentation physique. Dans le chapitre II, nous re
voyons les grandes lignes de la théorie de transformation introduisant les concepts, notamment la transformation
A
qui nous serviront à définir les grandeurs physiques.
Comme en témoigne (I. I) , la base de cette théorie
repose essentiellement sur un hamiltonien. Nous préci
sons, au chapitre III, la forme de l'hamiltonien qui correspond au système de sphères dures, suivant la
1 O
méthode de Huang . Nous définissons aussi le cadre d'approximations dans lequel s'effectue notre calcul.
En l'occurrence, il s'agit de celui correspondant à
l’approximation des anneaux. Nous spécifions, en outre, les conditions de température et de densité dans
lesquelles notre calcul s'applique. Dans le chapitre IV, est calculée la fonction de distribut ioi des vitesses, en représentation initiale. Une grandeur intermédiaire est la fonction de corrélation binaire que nous cons
truisons en utilisant les techniques diagrammatiques de Prigogine-Baleseu. Nous y calculons aussi les poten
tiels thermodynamiques et notamment l'entropie qui se révèle décrire un système de phonons, à très basse température. Dans le chapitre V, nous calculons
effectivement la fonction de distribution des vitesses réduite à une particule physique, utilisant la forme de A appropriée aux conditions d'approximations pré
citées. Nous montrons comment cette fonction permet d'obtenir l'expression correcte de l'entropie, à l'approximation des anneaux. L'interprétation de la fonction assimilée à l'énergie des particules
physiques est envisagée en détail dans le chapitre VI.
Les résultats de cette analyse sont repris et discutés au niveau de la fonction de distribution en représen
tation physique au chapitre VII. Le dernier chapitre est consacré à l'exposé des conclusions générales.
CHAPITRE II. CADRE THEORIQUE.
A. Théorie générale de transformation.
1. Introduction. Formalisme de la résolvante.
La théorie générale que développe le groupe de Bruxelles , depuis une quinzaine d'années, concerne l'étude de la dynamique des phénomènes irré
de Bruxelles
versibles. Le point de départ est l'équation de Liouvi1le-von Neumann ;
qui décrit l'évolution dans le temps de la matrice densité
En mécanique statistique quantique, le liouvillien L est lié linéairement à l'hamiltonien H de la manière suivante :
L est un "superopérateur" induisant des transformations d'opérateurs de l'espace de Hilbert. De même qu'il est habituel de scinder l'hamiltonien en
(II. 1 . 1 )
(II. 1.2)
H , U‘ + "X-V
on décompose le liouvillien selon
L . C + (Il. 1.3)
où L est relatif au système non perturbé tandis
que XSL tient compte des interactions entre les différents degrés de liberté.
II. 2 .
L'étude de la dynamique est abordée à l'aide de la résolvante R(Z-^ de l'opérateur d'évolution L,
apparaissant dans la solution formelle de (II.1.1) :
(II. 1.4)
où
m -î—
i-L (II. 1.5)
Le contour est situé dans le demi-plan Jmlt'>>0 , au-dessus de toutes les singularités associées à la résolvante (pour t > 0).
Une manière de traiter (II.1.4) est d'associer à Rtï'l un développement en perturbation en l'écrivant :
tô h
K(^) (II. 1 . 6)
où
Z - L.
Quant à la matrice densité, nous en considérons les éléments dans la base des états propres de H . Nous
les notons :
ai.,.7,
ave c
Nous omettrons généralement, si aucune confusion n'est possible, de rappeler l'indice N. ">) est appelé indice
de corrélations (il mesure l’écart à la diagonalité), Les éléments diagonaux correspondent au vide de corrélations et les sont appelés les
composantes corrélées. Nous nous intéressons en fait à l'évolution des corrélations. 1_ est diagonal dans la base des états de corrélations tandis que "XSL induit des transitions d'un état de corrélations vers un autre.
Illustrons la façon dont (II. 1.6) permet d'étudier (11.1.4). Ecrivons, pour cela, l'évolution de l'élément diagonal f.W sous la forme :
-iîb
où nous avons séparé la contribution due aux corréla
tions initiales. A ce stade, s'introciit l'opérateur dont le rôle est fondamental.
Il est défini, à partir du vide de corrélations.
c omme
00
irrt du-tt» We^
(II. 1.9)
Le terme* irréductible * signifie que le vide de corré
lations ne peut être rencontré comme état intermédiaire dans la succession des états de corrélations menant du vide au vide. En termes de
t(^)
CO
<c\R(h)1o> ^
O-f » (II.1.10)
Il. 4 .
Nous définissons aussi :
<‘o1r(î')\v>=. (II. 1. n)
e t
<v ) R(^) \<i> = (ï) < c l R (?) lo>
C0,yl
(II.1.12)
ou ‘^t>y(2) décrit la destruction des corrélations tandis que représente la création des corré
lations. Ils répondent aux formules suivantes :
cè iz) -- 21. <oi
' hïc ' (II. 1 . 13)
'^0 >;0 (II. 1. 14)
Avec (II. 1.10) et (II. 1.11), (II. 1.8) se récrit : -■‘2t
,a-z. €
t
(II. 1 . 15)qui n'est autre que la solution de l'équation maîtresse de Pr1 gogine-Resibo1 s '3 ) :
(II.1.16)
ou
e t
r
(II.1.17)T m --
5n.i ^
(II.1.18)Cette équation maîtresse est rigoureusement équivalente à l'équation de Liouville. Elle est discutée, en
détail, dans l'ouvrage de Prigogine et nous ne nous y attarderons pas davantage ici. Signalons, toutefois, que dans le cas ou, sous certaines conditions, on peut négli^r le terme inhomogëne Tw et ne retenir que les contributions des pôles en , on obtient, à l'ordre dominant, une équation cinétique de type Boltzmann :
(II. 1 . 19)
où apparaît comme l'opérateur de collision, la condition 0 assurant le caractère dissipatif de l'évolution.
Ce résultat laisse donc bien augurer cb la
capacité que renferme l'équation de Liouville à décrire la dynamique des processus irréversibles.
II. 6.
2. Sous-dynami que s.
Revenons à l'étude formelle de l'évolution de au moyen de (II. 1.4). Nous constatons que, de manière générale, elle nécessite le traitement des singularités associées à la résolvante R(z) . Essen
tiellement, celles-ci sont de deux types :
1°) Des pôles multiples en Z 0
2°) Des singularités associées aux superopéra teurs
Cette classification des différents types de singula
rités rencontrées dans la résolvante entraîne une classification en différents types d'évolution dans le temps.
L'idée du groupe de Bruxelles est de décomposer la dynamique des éléments de la matrice densité en sous-
20
) . . . . ,
dynamiques, chacune liée à un type de singularité de la résolvante. Dans cette optique, (II.1.4) s'écrit :
(o^ (
ç>(t) = -I*
(Il. 2 . 1) to)
OÙ
Z(q
est lié aux pôles en Z*û et Zw aux autres singularités du plan complexe. Dans la suite, nouSj^^focaliserons notre attention sur la sous-dynamique ZlW qui contient la plupart des contributions subsistant à la limite asymptotique b —> txj
Nous définissons, en outre, le superopéra teur : (4) (o>
^
...t-^0 (II.2.2)
Il réalise la projection de l'évolution sur le sous- espace associé au vide de corrélations et on écrit :
loi
(II.2.3) lo)
L'évolution de ^ constitue une sous-dynamique. En effet, écrivons la solution formelle de l'équation de Liouvi1le-von Neumann comme :
_.Lt
a (II.2.4)
loi
Projetée dans le sous-espace , elle devient avec (II.2.2) et (II. 2 . 3) :
(O) n n
f (û) = ' ve ^ ^ Upio) ^ a ^ {c) (Il . 2.5)
où nous avons utilisé la propriété : 10) (ol
RL.LR lo)
Le s upe r op ér a te ur Fl. sélectionne donc dans l'équation de Liouville, la fraction de l'évolution qui décrit l'essentiel du comportement asymptotique.
(O)
Le sous-espace engendré par FL contient des lors toute la thermodynamique et l'on dit que
définit la "description du niveau macroscopique".
II. 8.
3. Evolution dans
R
fo>
L'opérateur d'évolution a été obtenu par
, 2c;
Cl. George en calculant les contributions de la
résolvante à l'intégrale sur 2 dans (II.1.4), limitées aux pôles en 2-=.0 Le résultat s'écrit
^(4 -
e B
C e
; (II.3. 1)
Les superopéra teurs
R
et JQ-Vj.* sont des fonct i onnelle s de et de ses dérivées. Il en est de même des s upe r op é r a t eur s 3) et G qui font aussi intervenir respectivement ^ et ^ • Leurs expressions sont les s uivan t e s (toujours par rapport au vide de corrélations) :
A 00 ~
~ n I oc.Oz (II.3.2)
(II.3.3)
(II.3.4)
et aussi :
Â5.. I i
(II.3.5)
(II.3.6)
Une propriété des superopéra teurs 0 et que nous mentionnons est qu'ils sont ^ -hermitiens conjugués ce que nous notons :
c = r>
e tD- O
(II.3.7)L'opération est définie comme le produit d'une
adjonction et d'une inversion l_ -*• - L . D'autre part, de (II.3.1), on déduit le lien fonctionnel existant entre les composantes diagonales et corrélées de ç :
(o1 (<>■>
C
IOJPvo y (Il.3.8)
(o)
Cette relation permet d'obtenir pour une équation fermée indépendante des corrélations sous la forme de l'équation d'évolution suivante :
ou
t»
(^4
(II.3.9)
(II.3. 10)
Nous retrouvons en (II.3.9) le résultat pressenti en (II.1.19) mais cette fois dans des conditions précisées.
II. 10 .
La projection de la dynamique dans le sous- espace permet de caractériser l'évolution au moyen d'un opérateur de collision diagonal en les corrélations.
La condition de di s s i p a t i vi t é s'exprime alors :
(II. 3. n)
Remarquons, à ce stade, que les expressions (II.3.4) et (II.3.6) des s upe r op é r a t e ur s C. e t 3) se ramènent à celles de 'C et ^ dans le cas non dissipatif où
Notons encore que, contrairement â l'opérateur d'évolution îl_ , l'opérateur i DL<|^ n'a pas la pro
priété de -he rmi t i c i t é .
L'étape suivante consiste à construire un opérateur d'évolution présentant ce caractère.
4. Représentation physique.
Afin de construire un opérateur de collision
^ - hermitien, introduisons le superopéra teur
joj j\.
et définissons, dans !(. , la quantité :
^ —l
- /lo. Ç. (II.4. 1)
Nous avons réalisé un changement de représentation.
La nouvelle représentation engendrée par l'opérateur dit d'habillage, est appelée représentation physique. La matrice densité Ç y obéit a 1 equat'.
d'évolution suivante :
P - i
t l O 00 \ » (II . 4.2)
ou
^00 (II.4.3)
L'opérateur est celui cherché. Il sera hermi
tien SI :
00 (II. 4.4)
Le même formalisme s'applique à l'évolution dans le sous-espace • V. et conduit à une équation séparée pour décrire l'évolution des composantes corrélées.
La représentation physique réalise donc le découplage des équations d'évolution relatives aux composantes diagonales et corrélées de la matrice den sit é.
II. 12.
Jusqu'à présent, dans notre exposé, l'opérateur
“V reste partiellement indéterminé. Mandel et Turner ' ont montré qu'un choix judicieux pour 7l.co correspond à la solution de l'équation différentielle suivante :
05. A. too
(II.4.5)
avec la condition initiale :
I (11.4,6)
C'est cette équation que nous allons utiliser dans le calcul des propriétés d'éqilibre d'un gaz de Bose de sphères dures, en représentation physique.
Transformation
A
Nous présentons brièvement la transformation /\ qui systématise le passage aux grandeurs physi
ques non seulement pour le vide de corrélations mais pour toutes les valeurs des corrélations. On écrit :
On impose que f\ soit ce qui s'exprime :
e t (II.5 . 1)
un superopérateur ^ -unitaire
A- A'
(II.5.2)Cette propriété assure l'invariance du produit scalaire associé aux valeurs moyennes des observables en repré
sentation physique si on définit par :
0 = ^(-L) b
(II.5.3)l'opération passage en représentation physique pour
l'opérateur 0 associé à une observable. Avec (II.5.1) et (II.5.3), on démontre aisément que :
(II.5.4)
L'utilisation de /\(-L) pour la transformation des
observables plutôt que de comme pour ^ est l'équivalent de la distinction entre images de
Heisenberg et Schrôdinger.
Par ailleurs, à l'aide de la transformation [\
l'opérateur d'évolution ^ défini en (II.4.2) s'écrit
II. 14 .
formellement :
(II.5.5)
OÙ il apparaît nettement comme un liouvillien transformé.
Il jouit de la propriété d'être diagonal en les corré
lations et -hermitien.
La théorie de transformation présentée ici sous sa forme la plus générale, étant applicable aux systèmes dissipatifs, constitue, en quelque manière, une généralisation de la théorie des transformations unitaires. Elle s'y ramène d'ailleurs dans le cas non-dis sipatif .
B. Formalisme des fonctions de Wigner.
Le formalisme introduit par Wigner en 1932 permet de traiter les problèmes de mécanique
statistique quantique de manière formellement analogue à ceux de la statistique classique soit en termes d'une
"fonction de distribution". L'espace des phases qui y est associé est ici un outil purement mathématique car, en vertu du principe de Heisenberg, on ne peut spéci
fier à la fois le moment et la position d'une particule.
L'interprétation de la fonction de distribution de Wigner ne contient pas de sens probabiliste. Mais le résultat particulièrement attrayant de ce formalisme réside dans le fait que les grandeurs moyennes s'expri
ment, à l'aide de la fonction de Wigner, exactement dans les mêmes termes qu'en mécanique statistique clas
sique. Rappelons quelques définitions empruntées à l'ouvrage de Balescu
La fonction de distribution de Wigner d'un système a N particules s'exprime :
(II.B. 1)
r et sont respectivement les vecteurs position et impulsion à 3N dimensions.
les opérateurs de création et de destruction d'une particule au point Z
P est la matrice densité du système.
II. 16.
On peut aussi écrire la transformée de Fourier de (II.B. 1) par rapport à C. :
■fv, (-'F-) "
où l'on a posé :
(X (>F €
( -
\'w.
|4>s
(k ^(Il.B .2)
(II.B.3)
Nous avons épinglé, en appendice (AI), quelques proprié
tés de symétrie auxquelles satisfont les fonctions de Wigne r .
CHAPITRE III. CADRE PHYSIQUE ET APPROXIMATIONS.
1. Méthode du pseudo-potentiel de Huang.
L'hamiltonien du système constitué de N bosons est choisi pour représenter leur interaction en tant que sphères dures.
Considérons d'abord le problème à deux corps.
Dans les coordonnées du centre de masse, la fonction d'onde d'un système de deux particules avec une interaction de sphères dures satisfait aux équations :
k'"') ^ 0
^ ' 0 ( I I I . 1 . ])
où 0. est le diamètre de sphère dure.
. ^ 15)
La méthode du pseudo-potentiel, proposée par Huang , permet d'inclure dans l'équation de la fonction d'onde un terme inhomogène tenant compte des conditions aux limites imposées par le potentiel de sphères dures. A l'approximation où on ne s'intéresse qu'aux solutions en ondes S, de faibles énergies (k -^o), 1 ' équation
(III. 1.1) peut être prolongée dans la région r ^ suivant :
S(c') (III. 1.2)
L'opérateur ^ ^st le pseudo-potentiel.
En fait, (III.1.2) n'est correct que pour obtenir fonction propre et valeur propre à l'ordre
III.2.
Sachant que l'opérateur ^ ^
0T peut être remplacé par l'unité s'il agit sur une fonction régulière en
r •= 0
Huang simplifie (III.1.2) pour ne retenir comme pseudo
potentiel que :
(III.1.3)
Ces considérations se généralisant au problème à N corps, 1 ' hanil t on i en d'un système dè N bosons en interaction
s'établit comme suit :
ï'' 1 r 1 (III.1.4) Le premier terme est l'opérateur énergie cinétique.
En seconde quantification, (III.1.4) s'écrit :
k ^ k \ ^
(III. 1 5) -a désignant le volume du système.
et sont respectivement les opérateurs de création et de destruction d'une particule dans l'état de moment i^k . Ils obéissent aux règles de commuta
tion imposées par la statistique de Bose-Einstein :
«fl- (III.1.6)
2. Approximations.
Théoriquement, l'applicabilité de la méthode du pseudo-potentiel, telle qu'elle est présentée, ci-dessus, se limite à un calcul au second ordre, dans le contexte d'un développement en série de perturbation. Néanmoins,
I8-) ....
Huang a poussé le calcul des niveaux d energie aux ordres supérieurs et il a montré qu'à partir de
l'hamiltonien (III. 1.5), on obtient une série de termes divergents a la limite thermodynamiqué
( |S/OO , h-- C fini). Cette divergence est liée à l'occupation macroscopique de l'état de moment zéro. Lorsqu'on resomme la classe de termes les plus divergents, le résultat est fini dans cette limite. Dès lors, Huang en conclut que le calcul de perturbation mené à tous les ordres conduisant à une expression resom
mée finie, est utilisable pour obtenir le spectre d'mergie.
Ce sont des considérations analogues, que nous ne développerons pas ici, qui ont guidé les calculs de
Brueckner et Sawada , à la meme époque. A la limite 16) des faibles densités, leur méthode est équivalente à celle de Huang. Le spectre d'énergie, correspondant à (III. 1,5), obtenu à ce niveau d'approximation, s'écrit :
cts‘ (III .2.1)
Aux très grandes longueurs d'onde ( -*■ o) , les exc ont un spectre linéaire en k . Ce sont des phonons se propageant à la vitesse :
0;r ,
(III.2.2)
Celle-ci correspond à la vitesse du son calculée indé
pendamment à partir de la compressibilité du système au zéro absolu.
III.4 .
Un autre type d'approche est celle de Bogoliubov Il n'effectue aucune sommation mais simplifie l'hamilto
nien (III. 1.5) se basant sur le rôle fondamental joué par les particules dans l'état de moment zéro (en bref, il remplace dans (III. 1.5), e t par
(TT ).
L'expression "réduite" de (III. 1.5) est ensuite diagona
lisée par une transformation unitaire conduisant immédia
tement aux phonons de spectre (III.2.2).
Au départ d'un hamiltonien décrivant un gaz de bosons en interaction, ces diverses méthodes élaborent une représentation dont les unités sont les phonons.
Elles sont dès lors, susceptibles, en principe, de rendre compte de certaines propriétés d'un système physique tel que l'hélium 4 dont le comportement, à très basse tempé
rature, est dominé par la présence de phonons. A titre d'exemple, la dépendance en 1 observée au voisinage d e pour la chaleur spécifique, leur est attribuée.
Poursuivant dans cette voie, nous ayons envisagé l'étude d'un système de bosons dans le cadre de la théorie des transformations établie par le groupe de Bruxelles.
Comme nous l'avons montré au chapitre
II
, celle-ci conduit à une nouvelle représentation s'exprimant en termes de grandeurs "physiques". Dans notre travail, nous avons cherché, entre autres, à savoir si les "particules physiques" correspondaient nécessairement aux pho
nons. c'est dans ce but que nous avons calculé, à l'équilibre, la fonction de distribution des vitesses, réduite à une particule physique, dans le cadre d'appro
ximations défini par l'usage du pseudo-potentiel. Nous avons considéré ce problème dans les domaines de
température et de densité pour lesquels :
e t
(III.2.3)
< I
(III . 2.4)
où mique .
.FiïiFp
* y Th
désigne la longueur d'onde ther-
Ces conditions sont aussi celles imposées par Lee et Yang dans leur étude des propriétés d'un gaz de Bose de sphères dures dilué, à basse température.
IV. 1 .
CHAPITRE IV. FONCTION DE DISTRIBUTION DES VITESSES,
A L'EQUILIBRE.
1 . Introductioii.
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la fonction de distribution des vitesses, réduite à une particule, d'un gaz de bosons en interaction. Nous
la construisons dans la représentation originale, dans le cadre d'approximations défini au chapitre III. Nous verrons, au chapitre V, que cette fonction apparaît comme intermédiaire dans le calcul de la fonction de distribu- tion des vitesses en représentation physique. Dans un premier temps, nous calculons la fonction densité de corrélation ÇU A) et les potentiels thermodynamiques qui y sont reliés, utilisant les techniques de calcul
2, ^ ^ diagrammatique de Prigogine-Baleseu . Avec (III. 1.5) comme hamiltonien représentatif du système de bosons
en interaction, nous avons choisi de sommer la classe de diagrammes dits en anneaux. Cette sélection nous est suggérée par celle de Brueckner et Sawada ,
obtenue en analysant les divergences associées au calcul des corrections d'énergie, par une formule de Goldstone.
Les potentiels thermodynamiques sont déduits, par un calcul variationnel par rapport au paramètre de couplage A , de la connaissance de la fonction densité de corrélation • Celle-ci est obtenue en inté
grant sur les vitesses la transformée de Fourier de la fonction de corrélation binaire
La dérivation du grand potentiel a à partir de
est explicitée, en détail, dans l'ouvrage de Balescu 2.‘f)
L'expression en est :
\
ini „
+ contributions de type Hartree-Fock
(IV.1.1)
IÎ(o)
a la forme du grand potentiel du système idéal.Nous y reviendrons au moment de l'évalaer ainsi qu'au détail de ce que contiennent les contributions de type Hartree-Fock. Nous avons noté par
la partie de la fonction densité de corrélation liée aux interactions. L'autre fonction est d'origine
purement statistique. Nous travaillons dans la repré-
25) ^ .
sentation en fonctions de Wigner et nous précisons, en appendice Qil) , la signification de cette distinction
L'évaluation de ^ > â l'équilibre, fait appel à la formule (II.3.8), appliquée à notre problème.
Rappelons-en la forme :
' ^Vc \o (IV. 1 .2)
A l'approximation des anneaux, l'opérateur CZ^^se réduit à dont l'expression s'écrit :
Co ^
^0 (IV. 1(IV.1.3)
Les différentes grandeurs, fonctions de ^ , sont éva
luées à la limite ^ *->o . a l'équilibre, en effet, on fixe son attention sur le sous-espace engendré par
loi
. L'indice se rapporte à la corrélation existant entre deux particules. Désigant par et les vitesses et par e t , les moments de ces
IV. 3.
deux particules, on écrit (IV. 1.2) formellement comme : Oi
A,U
C'est le fait qu'on s'intéresse à une grandeur réduite qui permet de préciser le seits de l'approximation des anneaux au niveau de l'opérateur . Définissant
comme l'intégrale sur d\e (IV. 1.4), nous allons calculer :
pour le P 1as ma.
Calcul de
Nous partons immédiatement de l'expression de telle qu'elle est dérivée dans l'ouvrage de Balescu , utilisant le théorème de sommation
de Résibois. Nous en rappelons le principe de construction en appendice (AU. 1) . s'écrit :
•J
h) O
itt e
^ C/î
s ». Il T c
(IV.2.1)
Pour la clarté de l'exposé, nous précisons ici les symboles utilisés :
dj ^ - <2n^c JJiV
J V\
'J 2»^
gtM - ïj
lib7y._'^\e
1 1^)
_ '4^(y.+d ^ 2.m,(IV.2.2)
ar» V.
ÏIHY) J
^ ^ -xN
(IV.2.3)
avec
(IV.2.4)
e t
V(c), S. ia.
(IV.2.5)
qui désigne la transformée de Fourier du p o t en t i e 1 ^C^r, lll .1 >5^ ■
IV. 5 .
Les opérateurs de déplacement agissent de la façon suivante :
On a aussi :
iîC
Cü-^O ,v
P
i tv.
- -i_ t
(IV.2.6)
où ^ caractérise la partie principale (au sens de Cauchy).
Nous avons aussi utilisé l'opération "barring" par laquelle on associe à toute fonction j la fonction en intégrant sur les composantes de V perpendiculaires â ^ , comme suit :
) -
U
Ç(v.t^)4)J J (IV.2.7)
Une autre remarque concerne la fonction de distribution des vitesses du gaz idéal, à l'équilibre VP (notée ) Pour tenir compte de l'occupation macroscopique de
l'état de moment zéro en dessous de la température critique ,
termes, suivant
il est convenu de scinder
r(^)
en deux(IV.2.8)
où 11» désigne la fraction de particules "condensées".
N
Une autre écriture pour (IV.2.8) est :
e ^ , 1
(IV.2.9)où nous avons explicité le potentiel chimique J^q
du gaz de Bose idéal. En dessous de la température critique ,
(IV.2.10)
La séparation en deux termes réalisée en (IV.2.8) permet de traiter la contribution du point = û dans toute expression où on intègre sur avec
En particulier, la normalisation de la fonction de distribution est donnée par :
(IV.2. 11)
qui, avec (IV.2.9), s'écrit :
fu
AV J (IV. 2. 12)
Dans les variables discrètes, il lui correspond l'ex
pression :
t
-1
C'est le passage au continu qui impose la décomposition (IV.2.8) lorsque la contribution d'un point est propor
tionnelle au volume.
IV. 7 .
La dernière grandeur à définir dans (IV.2.1) est la constante diélectrique. Pour un argument - Ui , situé dans le demi-plan complexe inférieur ( car On^ui^o) , on écrit :
<V)
• t'O
Zrvt (IV.2.13)
où ^05= S . Cette expression est introduite natu
rel lement en ^endice (AU. 1.13). Explicitant la scission (IV.2.8) de la fonction de distribution des vitesses
dans (IV.2.13), on obtient : t/i /\ + 2a"X
1
^ ^ri\ .
t N
(IV. 2 . 14) ^
Définissant la fonction
t U ' ^ to-^lr)- 'ffFlT
(IV.2. 15)nous écrirons l'inverse de (IV.2.13) comme
■h-L
2. IX(IV.2.16)
A la limite UJ _a^ 4-iO , (IV.2. 16) devient :
m-A ,x) [v;- (g-y]- (IV.2. 17)
On constate que (IV.2.17) s'annule en V.=t
- ^ 2rn
Cette caractéristique est très importante et sera utilisée à plusieurs reprises dans la suite. Elle implique qu'en présence du facteur les termes contenant une fonction t'hî.') s'annulent,2m condition qu'aucun pôle en V. r t îxL
2nr^ ne compense la contribution du numérateur de (IV.2.17).
Avant d'entreprendre l'évaluation de
notons encore le rôle joué par la scission (IV.2.8) dans les expressions de 'tt *fi Cette séparation en ~ fait apparaître
des singularités du type î Bt)
et aussi et S t . Nous avons
détaillé, en appen di c e (^AI1. 2 ) , l'étude des termes sin
guliers. Nous référant à l'expression (AU.2.2), nous pouvons affirmer qu'il n'apparaît pas dans (IV.2. 1) de produits de distribution du type :
(T
y-h IL
iim
^ (v-t îtL
qui seraient mal définis
On peut, à présent, transformer le second membre de (IV.2.1), en notant que
(?
(IV.2.18)
. Iv
eu égard à l'antisymétrie de rapport à la permutation . Avec (IV.2. 18), (IV.2.1) se récrit :
IV. 9.
F(4,y^,V), n.U-,
---!--- (>>
'V; -V
(IV. 2 . 1 9)
Pour la concision de l'écriture, définissons les quan
tités :
(IV.2.20)
e t
(IV.2.21)
Utilisées avec l'opération "banring' définie en (IV.2.7), elles permettent de récrire (IV.2.19) sous la forme :
in.
oo
(Ivl ---
J -ÜO
(IV.2.22)
Nous ouvrons ici une parenthèse pour justifier le choix de la méthode qui nous a conduit à (IV.2.22). Nous avons utilisé, pour sommer les contributions des dia
grammes en anneaux, une technique faisant appel au théorème de sommation de Résibois. Or, dans son étude des plasmas, Balescu ' effectue la sommation des
il')
anneaux en l'exprimant à l'aide d'une équation intégrale
dont est s'écrit :
solution. Cette équation
(IV. 2.23)
La qiEstion peut se poser de savoir pourquoi, sélection
nant la même classe de diagrammes que Balescu, nous n'avons pas pris l'équation (IV,2.23) comme point de
départ de notre calcul appliqué à un système de bosons.
La réponse se trouve dans le fait que, dans le cas du gaz de Bose, cette équation n'est pas bien "définie", pour toute température en dessous de . Explici
tant la scission (IV.2.8) dans les expressions (IV.2.20) et (IV. 2.2 1) de et qb ■ v-'/ >>1 , on les écrit :
(IV.2.24)
e t
(IV.2.25)
où les grandeurs et contiennent des fonctions tandis que O e t sont sans singu
larités de ce type. Par la suite, nous convenons de caractériser par l'indice R les grandeurs-fonctions de ^ et — dénuées de singularités en -t • Nous réservons l'indice e> aux grandeurs où seule
est retenue dans toutes la partie régulière
les fonctions de distribution de vitesse y apparaissant
Reprenant l'équation intégrale (IV.2.23), on peut montrer que solution de cette équation doit nécessairement comporter des singularités de type
IV. ] 1 .
4 ^ . En effet, pour qu'elle n'en contienne pas,
~ Xtk J
il faudrait que les singularités inhérentes aux
fonctions
ci
et se compensent exactement entre elles.Un calcul simple montre que ce n'est pas le cas. A ce moment, on est placé devant le problème de traiter une équation où apparaissent des produits de distribution mal définis. On s'en convainc en remarquant que si
comporte des singularités, une contribution du second terme du membre de droite de (IV.2.23) pourrait être de la forme :
où nous avons explicité les singularités dans W (fi,
et ^
Dès lors, plutôt que de manipuler une telle équation, nous avons choisi de résoudre le problème en partant de l'expression de déduite du théorème de
sommation de Résibois. Dans (IV.2.22), chaque grandeur est parfaitement définie pour toute température.
Revenons, à présent, au calcul de (IV.2.22).
Nous décomposons, tout d'abord, la constante diélectrique qui apparaît dans le premier terme, en parties réelle et imaginaire suivant :
(IV.2.26)
Nous utilisons ensuite les relations établies en appendice (AU.5) et (AU.3) :
e t
(IV.2.27)
(IV.2.28)
pour récrire (IV.2.22) comme : (A
(IV.2.29)
Remarquons que, tout au long du calcul, compte de la forme (IV.2.17) du facteur . des propriétés qui y sont attachées. En nous ne retiendrons, dans les grandeurs que.les contributions non singulières en
nous
»
tiendrons _____ e t par ticulier.
qu'il mu 11ip1ie
Afin d'alléger les notations, nous introdui
sons la quantité :
(IV.2.30)
qui permet d'écrire (IV.2.20) comme :
ci(s,y^->). lDk_MlL[i (s,v,V .[_(«,vi
Pour mener la suite la méthode utilisée plasma quantique.
du calcul, par Mandel
nous IG)
>
nous inspirons de dans son étude du
IV.]3.
Nous utilisons la fonction :
P
Il (IV.2.32)
qui satisfait à la relation de normalisation :
0^
Uv
. 00 -
(IV.2.33)En fait, TC n'est autre que la fonction propre de
''^1
l'opérateur de Vlassov dont l'équation fait l'objet d'une étude détaillée par Balescu . Nous nous servons aussi de la fonction propre de l'opérateur adjoint :
tt
v-v. b b)
■Ï(v-V,)
(IV.2.34)
Pour celle-ci, la n ormal i s a t ioi s'écrit :
— Vj
(IV.2.35)
Entre (IV.2.32) et (IV.2.34) existe le lien fourni par la relation de fermeture. Nous l'avons reprise en appendice (AU.6) pour en corriger l'expression donnée en référence XM' . Elle s'écrit :
to
I W i K) ^ -p-—£
/'"V /Xv (IV. 2.36)
Il est important de tenir compte de l'ordre des inté
grations lorsqu'on utilise cette propriété car les fonctions sont des distributions.
En l'occurrence, la relation que nous emploierons est :
bO
PL
r
-uo
(IV. 2 . 37)
-U,
A ce stade, nous effectuons l'opération "barring" sur l'expression (IV.2.29) de F(4i et nous exprimons
f(s,''^-a) à l'aide (IV.2.32) comme :
(IV.2.38)
Nous reportons en appendice (AU.4) les manipulations techniques qui permettent d'écrire :
V-Vc Î^C ^
(IV.2.39)
Avec (IV.2.34), cette expression se formule encore comme :
tir î. (».'’<>)
_<x) (IV.2.40)
J
(IV.2.40) inséré dans (IV.2.38), avec les propriétés (IV.2.35), (IV.2.36) et (IV.2.37) donne :
4K SaV 2<\>
avï(v.)
cxj
(IV.2.4 1)IV.15.
Il nous reste à expliciter dans l'intégrale sur V ce qui fournit l'expression suivante à évaluer :
.00
G’
. c«3
n
ïn'cMX e-f'''*'*., jt(P,V)r (IV.2.42)
On intègre le second terme, utilisant la technique d'in
tégration dans le plan complexe présentée en appendice (AU.7.^ 1 ). Le résultat s'écrit :
- i£aiL
SaV
A - -h
V 0(
pt n-..vr
(IV.2.43)
ou
1"-
ÎTtla
pt
(IV.2.44)Nous y avons aussi utilisé l'égalité, démontrée en appendice (AU.3.8a) :
Sa c re>/|
U
-
- I
(IV.2.45)
Finalemen t.
on obtient
effectuant des simplifications triviales,
^n*c 2,a>
A . V
(IV.2.46)
\
IV.17.
3. Potentiels thermodynamiques.
d e de
Le lien entre corrélation es
(IV. 1.5) et (IV. 1 .4) .
et la fonction densité t établi immédiatement à l'aide
Il s'écrit :
(IV.3. 1)
ou, en termes de la fonction barrée
(IV.3.2)
Nous allons effectuer l'intégrale de (IV.2.46) sur , utilisant la même méthode que celle qut nous a mené à
(IV.2.43). Le schéma en est repris en appendice
(AU. 7.^ 2 ). Nous explicitons, à présent, dans chaque grandeur, les contributions singulières sui\ant la sé
paration (IV.2.8). On obtient alors sous la forme :
(IV.3.3)
C'est cette expression qui est utilisée pour l'obtention de a suivant la formule (IV. 1.1), que nous rappelons :
fl N
4 ^ ^ \ -V contributions
^ de type Hartree-Fock
(IV.3.A)
Les contributions que nous avons qualifiées "de type Hartree-Fock" et dont l'origine se trouve expliquée par Balescu ■' IH) , s'écrivent :
i[u') îak Wy,
(IV.3.5)
Nous développons, à présent, un procédé de calcul inspiré de De Coen '/ , permettant de remplacer dans (IV.3.3) l'expression :
Oo
par l'intégrale dans le plan complexe :
(IV.3.6)
Le contour singularités
C est choisi de manière à entourer les d e
»
î>Ui
-'i
r
\a.n uisoit :
IV.19.
Nous le déformons en C' de la manière suivante :
CL'
...' ^ (
_____________
) KAvec ce nouveau choix
---^---
de contour, les pôles situés le long de l'axe réel sont liés à la constante diélectrique.
Avec (IV.2.13), on l'écrit :
(IV.3.7)
JL
où nous avons posé :
(IV.3.8)
Avec (IV.3.7) dans (IV.3.6), on effectue l'intégration par résidus ce qui conduit à l'expression :
- Jïil îric XoCs —J--- ( »-t-
l>\ J '
1
.e
-1(IV.3.9)
O- en (IV.3.4), intervient
_ I
(IV.3. lO) qui, dans le calcul de
sous la forme :
Par changement de variables, on la transforme en :
- (atU ^;(v. . I-(.- |t,/.) 1
(IV.3. ] 1)
Des lors (IV.3.4) s'écrit avec (IV.3.5) et (IV.3.3) modifié par (IV.3.9) et (IV.3. 11), comme :
a SM
N N
-îH
(IV.3.12)Le calcul de Dl est, en fait, effectué dans le grand ensemble canonique, de potentiel chimique
L'expression de n(o) est celle du grand potentiel d'un gaz de Bose idéal mais de potentiel chimique JJ-
Elle s'écrit
. 1 \dv f'-2-
N > J ' ^ ^
IV. 3. 1 3) 'JJ<- est déterminé de manière " s e 1 f - con s i s ten t " , à l'approximation des anneaux.
En outre, étant donné la normalisation des fonction&de distribution suivant (IV.2. 11), on simplifie (IV.3. 12) pour récrire finalement
(N
c omme
a
N
l oO
_ . i I 1 (je \ d\ ^ (i --- !—
4. J-Caa^gaV
" N I J J >
^ ^(IV.3.14)
IV.2].
La divergence à la limite supérieure du dernier terme est compensée par une autre du même type présente dans
le second terme de telle sorte que l'ensemble est convergent. Il existe, en outre, une divergence caractéristique due au choix du pseudo-potentiel et discutée en detail par Huang
as)
Calculons la modification au potentiel chimique du système non perturbé. Ecrivons pour ce faire que le nombre total de particules est lié à n par la relation :
(IV.3. 15)
Avec (IV.3.14), on a :
N = _e_________
R' J ^
- IL U ^
(IV.3.16) Or la normalisation a été conçue de telle sorte que :
J \ J
^ 1 (IV.3. 1 7)
étant le potentiel chimique du système non perturbé.
Nous allons développer (IV.3.16) en série au tour de , nous limitant au premier cxdre corres
pondant à l'approximation des anneaux. On a :
(IV.3.18)
En vertu de (IV.3.17), on identifie alors t\
l'expression suivante :
T
Au. Ji_ j_
/ Yv^^a ()>
a
(IV.3. 19)
On peut qui est
ainsi liée
écrire 1
t n
par'expression de la relation :
l'énergie
libre,
F =
sous la forme :
(IV.3.20)
fl -, JM ^ J___
N N ÎKC
(IV.3.2 1) O
IV.23.
ou
F(o) ,
N
- U
N /
N
au premier ordre.
f{ô) représente l'énergie libre du gaz de Bose idéal (IV.3.21) est un résultat bien connu, obtenu, notamment par De Coen n) dans le cadre d'un calcul utilisant la technique des semi-invariants pour la sommation des diagrammes.en anneaux. Il constitue une extension à température non nulle du résultat de Brueckner et S awad a \Q .
Nous trouvons donc ici une confirmation de notre choix de diagrammes.
De la connaissance de F , on déduit la forme de 1'entropie :
i i.
N
r Na , .
di.\aî
y
('■•-—!____ ■)kji -i
Sa^c J J E^(f,y> y)
O +' !
(IV.3.22)
De Coen a montré qu'à très basse température, cette forme d'entropie est celle d'un système de phonons et qu'elle possède la dépendance caractéristique en | T” ^ observée expérimentalement au niveau de la chaleur
spécifique. Cette propriété signifie que la dépendance
-r-î/i . ^
en I provenant du gaz de Bose idéal et contenue dans
S(o)
est compensée exactement par une contribution venant de la resommation. Nous discuterons plus amplementdu mécanisme de cette compensation dans le chapitre VI.
On peut me t üE en évidence le specjtre de phonons en remplaçant, comme dans (IV.3.6), la ^ par
une intégrale dans le plan complexe. Cette fois, les pôles correspondent aux zéros de la constante diélec
trique. Celle-ci s'écrit, à température nulle, à partir de (IV.3.7) dont on ne retient que la contribution de
la fonction S(^) :
e t
^ (IV. 3. 2 3)
A T^o , ili = 1 ,
N
Z i, .
Cd - "y
(IV.3.24)
Les pôles de cette fonction se situent en :
60= i -- - ^«n.V ,2A\2.Y(^)
(IV.3.25)
ou explicitement en
ilJ a ,^A- I -f Sîic ia'X‘<vrv
(IV.3.26)
(IV.3.26), avec (IV.2.5) est exactement (III.2.1) soit le spectre de phonons tel que l'ont obtenu
Bogoliubov , Brueckner et Sawada IC) , Huang et bien d'autres
\
b)
IV.25.
4. Fonction de distribution des vitesses réduite à une particule.
On obtient la fonction de distribution des vitesses à une particule en dérivant fonctionnellement
n. N
par rapport à
e(v)
soit :ç
^t(v)
n
N
(IV. 4.1).3.14), on
1
' écritoù nous avons noté ;
f (IV.4.3)
La normalisation de cette fonction suivant :
(IV.4.4)
est assurée déve1oppan t
grâce au
à
f' défini en (IV.3.19), en
au premier ordre, autour
