ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Exercice 1
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2012, Steve Ambler Automne 2012
Veuillez ´ecrire lisiblement. Veuillez bienagraferles feuilles de votre tp
ensemble avant de le remettre. Date de remise du tp : avant la fin du cours le 15 f´evrier. Je vais afficher les solutions tout de suite apr`es la date de remise. Pour cette raison, les copies remises en retard ne seront pas accept´ees. Vous ˆetes libres de travailler seul(e)s ou en groupe. J’encourage la collaboration – discuter avec les coll`egues est sans doute la meilleure fac¸on d’apprendre. Par contre, le nombre maximal de membres par groupe ne peut d´epasser 4 personnes. Veuillez remettre seulement une copie en notant clairement les noms et les codes permanents de tous les membres du groupe sur la premi`ere page.
En r´epondant `a toutes les questions du tp,expliquezce que vous faites et montrezvotre travail.
1 Propri´et´es de la covariance ´echantillonnale (15 points)
Montrezen d´etaill’identit´e suivante pour lacovariance ´echantillonnale: n−1
n Cov(X, Y) =XY −X Y , 1
o`u comme d’habitudeX est la moyenne ´echantillonnale de la variable al´eatoire X,XY est la moyenne ´echantillonalle duproduitdes variables al´eatoiresX et Y, etc. La d´efinition de la covariance ´echantillonnale est donn´ee dans la section 6 des notes de cours sur la th´eorie des probabilit´es et de la statistique.
2 Distributions de probabilit´e jointes (25 points)
Soit deux variables al´eatoiresXetY.Xpeut prendre les valeurs{0,1,2,3}etY peut prendre les valeurs{0,1}. Les probabilit´es jointes sont comme suit.
Pr(X = 0, Y = 0): 1/8 Pr(X = 0, Y = 1): 0 Pr(X = 1, Y = 0): 2/8 Pr(X = 1, Y = 1): 1/8 Pr(X = 2, Y = 0): 1/8 Pr(X = 2, Y = 1): 2/8 Pr(X = 3, Y = 0): 0 Pr(X = 3, Y = 1): 1/8 R´epondez aux questions suivantes.
1. Construisez un tableau (avec deux colonnes pour les valeurs possibles de Y et quatre rang´ees pour les valeurs possibles deX) qui donne ces probabilit´es jointes, et indiquez sur le mˆeme tableau les probabilit´es marginalespour chaque variable al´eatoire individuelle.
2. Calculez l’esp´erance conditionnelle deX ´etant donn´e chaque valeur possible pourY.
3. Calculez l’esp´erance conditionnelle deY ´etant donn´e chaque valeur possible pourX.
4. Calculez l’esp´erance non conditionnelle deX.
5. Calculez l’esp´erance non conditionnelle deY.
6. Est-ce que les deux variables al´eatoires sont ind´ependantes ? Expliques votre r´eponse.
3 Convergence (25 points)
Soit la variable al´eatoireY qui a une esp´eranceE(Y) = µY et une variance finie donn´ee parVar(Y) = σ2Y.
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Soit l’estimateur suivant de la moyenne bas´e surnr´ealisations de la variable al´eatoire donn´ee par :
Ye = 1 60
30
X
i=1
Yi+ 1 2(n−30)
n
X
i=31
Yi.
Vous pouvez supposez que la taille de l’´echantillonnest strictement sup´erieure `a 30. L’´echantillon est i.i.d. (donc chaqueYia une esp´erance deµY et une variance deσ2Y).
1. Est-ce queYe est l’estimateur moindres carr´es ordinaires deµY ? Expliquez.
2. Montrez que l’estimateurYe est non biais´e.
3. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de l’´echantillon donn´ee parn.
4. Qu’est-ce qui arrive `a la variance de l’estimateur lorsquendevient tr`es grand ?
5. Est-ce que l’estimateurYe est un estimateur convergent (convergence en probabilit´e) deµY ? Ne donnez pas de preuve formelle. Il suffit de parler de l’esp´erance et de la variance de l’estimateur.
4 Statistiques descriptives et tests d’hypoth`ese (35 points)
Utilisez les donn´ees provenant de la base de donn´eesCPS1985disponible dans lalibraryAER.1
R´epondez aux questions suivantes `a l’aide de ces donn´ees.
1. Produisez un histogramme de la s´eriewage.
2. Calculez la moyenne ´echantillonnale de la s´eriewage.
3. Calculez sa variance ´echantillonnale.
1. Je vais convertir les donn´ees en formatSTATApour les mettre sur mon site, dans le r´epertoire habituel, pour ceux qui pr´ef`erent travailler avec un autre logiciel. Si vous avez besoin d’un autte format encore, veuillez m’aviser.
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4. Calculez la mesure ´echantillonnale de son asym´etrie : 1
n−1
n
X
i=1
(wagei−wage)3.
5. Calculez la mesure ´echantillonnale de son aplatissement : 1
n−1
n
X
i=1
(wagei−wage)4.
6. Calculez la mesure ´echantillonnalenormalis´eede son aplatissement : 1
ˆ σwage4
1 n−1
n
X
i=1
(wagei−wage)4,
o`uσˆ2wageest un estim´e convergent de la variance dewage(sa variance
´echantillonnale).
7. Sur la base de vos r´eponses aux sous-questions 3 et 5, est-ce que vous pensez que la variablewageob´eit `a une loi normale ? Notez que je ne vous demande pas de faire un test formel de normalit´e (de tels tests existent) mais plutˆot de donner une r´eponse informelle. Il y a assez d’information dans les notes de cours pour y r´epondre.
8. R´ep´etez ce que vous avez fait pour la s´eriewageavec le log de la mˆeme s´erie.
9. Testez l’hypoth`ese nulle suivante :
H0 : E(log (wage)) = 2.05,
contre l’hypoth`ese alternative bilat´erale. Expliquez en d´etail votre d´emarche.
cr´e´e le 20/10/2012
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