1 Propri´et´es de la variance (15 points)

ECO 4272: Introduction l’´econom´etrie Exercice 1: solutions

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal

c 2009, Steve Ambler Hiver 2009

1 Propri´et´es de la variance (15 points)

Nous avons :

Var(aX+bY)≡X

i

X

j

(aX+bY −E(aX +bY))²Pr(X =X_i , Y =Y_j). Ici, implicitementicouvre toutes les valeurs possibles distinctes de la variable al´eatoireX, etj couvre toutes les valeurs possibles distinctes de la variable al´eatoireY. Tel que sp´ecifi´e dans le questionnaire, je suppose des distributions de probabilit´e discr`etes. Ceci est ´egal `a

X

i

X

j

(a(X−E(X)) +b(Y −E(Y)))²Pr(X =X_i , Y =Y_j)

=X

i

X

j

a²(X−E(X))²+b²(Y −E(Y))²+ 2ab(X−E(X)) (Y −E(Y))

×

Pr(X =X_i , Y =Y_j)

=a²X

i

X

j

(X−E(X))²Pr(X =X_i , Y =Y_j)

+b²X

i

X

j

(Y −E(Y))²Pr(X =X_i , Y =Y_j) +2abX

i

X

j

(X−E(X)) (Y −E(Y))Pr(X =X_i , Y =Y_j)

=a²X

i

(X−E(X))²Pr(X =X_i) +b²X

j

(Y −E(Y))²Pr(Y =Y_j) +2abX

i

X

j

(X−E(X)) (Y −E(Y))Pr(X =X_i , Y =Y_j)

≡a²Var(X) +b²Var(Y) + 2abCov(X, Y), ce qui fut `a d´emontrer.

2 Tests d’hypoth`ese, intervalles de confiance, etc.

(25 points)

Notez que cette question est presqu’identique au cas analys´e dans l’encadr´e `a la page 86 du manuel. La cl´e pour r´epondre `a la question est de noter que si les donn´ees ont ´et´e cueuillies par ´echantillonnage al´eatoire, les deux ´echantillons devraient ˆetre ind´ependants et la covariance entre les moyennes ´echantillonnales devraient ˆetre z´ero. Donc, la variance de la diff´erence entre les deux moyennes

´echantillonnales sera la somme des variances des deux moyennes

´echantillonnales. Appelons le salaire en Alberta la variable al´eatoireXet le salaire au Qu´ebecY. Nous avons :

X¯ 33000

Y¯ 27400

¯

σ_X² 2300²

Var X¯

= ₇₅₀^σ¯X2 7053.33

¯

σ_Y² 1700²

Var X¯

= ₆₀₀^σ¯2Y 4816.67

X¯−Y¯ 5600

Var X¯ −Y¯

=_¯σ2 X

750 +₆₀₀^σ¯2Y

11870

o`u j’ai utilis´e la notation Var X¯

pour d´enoter notre estim´e de la variance de la moyenne ´echantillonnale des salaires albertains (la variance ´echantillonnale divis´e par le nombre d’observations dans l’´echantillon), etc.

1. Nous avons

2×Φ (−1.96) = 0.05,

o`u, comme d’habitude,Φ(z)nous donne la valeur `az de la distribution normale standardis´ee cumul´ee. Donc, d’abord pour l’Alberta :

0.95 =Pr

−1.96< µX −33000

√7053.33 <1.96

=Pr

33000−1.96×√

7053.33< µ_X <33000 + 1.96×√

7053.33 . Donc, l’intervalle de confiance de 95% pour la moyennes des salaires des diplˆom´es en Alberta est

33000±1.96×√

7053.33 = 33000±164.61.

Ensuite, pour le Qu´ebec : 0.95 =Pr

−1.96< µ_X −27400

√4816.67 <1.96

=Pr

27400−1.96×√

4816.67< µ_X <27400 + 1.96×√

4816.67 . Donc, l’intervalle de confiance de 95% pour la moyennes des salaires des diplˆom´es en Alberta est

27400±1.96×√

4816.67 = 27400±136.03.

2. La statistique normalis´ee (t) pour le test est donn´ee par t = 33000−30000

√7053.33 = 35.72.

Nous avons

1−Φ (35.72)≈0.

L’hypoth`ese nulle est massivement rejet´ee.

3. La statistique normalis´ee (t) pour le test est donn´ee par t = 5600−0

√11870 = 51.40.

Nous avons

1−Φ (51.40)≈0.

L’hypoth`ese nulle est massivement rejet´ee.

4. Nous avons

2×Φ (−1.645) = 0.10.

Donc, nous avons 0.90 =Pr

−1.645< (µ_X −µ_Y)−5600

√11870 <1.645

=Pr

5600−1.645×√

11870<(µX −µY)<5600 + 1.645×√ 11870

. Donc, l’intervalle de confiance de 90% pour la diff´erence entre les

moyennes est

5600±1.645×√

11870 = 5600±179.22.

5. La statistique normalis´ee (t) pour le test est donn´ee par t = 5600−0

√11870 = 51.40.

Nous avons

2×Φ (−51.40)≈0.

L’hypoth`ese nulle est massivement rejet´ee.

6. La statistique normalis´ee (t) pour le test est donn´ee par t = 27400−25000

√4816.67 = 34.58.

Nous avons

1−Φ (34.58)≈0.

L’hypoth`ese nulle est massivement rejet´ee.

3 Convergence (20 points)

1. Nous avons :

E 1

mY1+m−1 m

1 (n−1)

n

X

i=2

Yi

!

= 1

mE(Y₁) + m−1 m

1 (n−1)

n

X

i=2

E(Y_i)

= 1

mµ_Y + m−1 m

1 (n−1)

n

X

i=2

µ_Y

= 1

mµ_Y +m−1 m

1

(n−1)(n−1)µ_Y

= 1

m + m−1 m

µ_Y =µ_Y.

L’esp´erance de l’estimateur est ´egale `a sa vraie valeur, donc l’estimateur est non biais´e.

2. Nous avons : Var

Ye

=Var 1

mY₁+ m−1 m

1 (n−1)

n

X

i=2

Y_i

!

= 1

m 2

Var(Y₁) +

m−1 m

1 (n−1)

2 n

X

i=2

Var(Y_i)

= 1

m 2

σ²_Y +

m−1 m

1 (n−1)

2

(n−1)σ²_Y

= 1

m 2

+

m−1 m

2

1 (n−1)

! σ_Y²

3. La variance d´ecroˆıt avecn. Lorsquentend vers l’infini, nous avons :

n→∞lim 1

m 2

+

m−1 m

2

1 (n−1)

! σ_Y² =

1 m

2

σ_Y² >0.

4. Non, ce n’est pas un estimateur convergent. La variance qui provient du premier terme enY₁ne d´ecroˆıt pas avec la taille de l’´echantillon.

5. Si on choisit une valeur pourmqui augmente avec la taille de l’´echantillon de fac¸on lin´eaire, nous obtiendrons un estimateur convergent. Par exemple, si nous choisissonsm=n, nous avons :

Var Ye

= 1

n

σ²_Y,

ce qui nous donnerait un estimateur convergent. En fait, ce choix nous donne l’estimateur MCO.

4 Th´eor`eme de la limite centrale (40 points)

— Unscript (programme)GRETLpour r´epondre `a la question se trouve

`a :

http://www.er.uqam.ca/nobel/r10735/4272/test1.inp

— Le programme g´en`ere les fichiers de donn´eeststat1.gdt,tstat2.gdt, tstat5.gdt,tstat100.gdt,tstat1000.gdtettstat10000.gdt. Le chiffre dans le nom du fichier correspond `a la taille de l’´echantillonn.

— Chaque fichier contient 10 000 observations (j’ai demand´e 100 dans le questionnaire – ceci est facile `a modifier) sur la moyenne ´echantillonnale denvariables al´eatoires dont le support est[5,10].

— Je n’ai pas trouv´e la fac¸on avecGRETLde lire, `a l’int´erieur de chaque boucle, le fichier de donn´ees et de g´en´erer un graphique. Mais, une fois le script ex´ecut´e, on peut facilement charger les donn´ees et g´en´erer un graphique `a partir du menu.

— J’ai fait plusieurs essais, et je constate qu’avec des moyennes

´echantillonnales de taille 1, 2 et 5 l’hypoth`ese de la normalit´e est toujours rejet´ee. Aussitˆot quen= 100, l’hypoth`ese de la normalit´e est accept´ee (GRETLfait ce test automatiquement – vous n’avez pas besoin de savoir comment, mais ce qui s’int´eressent `a la question peuvent aller consulter l’articleJarque-Bera test sur Wikipedia).

— Avecn = 1, le graphique ressemble `a un rectangle (`a la distribution uniforme elle-mˆeme). Puisque la variance a ´et´e normalis´e `a 1 et la moyenne `a z´ero, les bornes du rectangle se situent `a±√

12/2. Avec n = 2, le graphique ressemble `a un triangle. D´ej`a avecn= 5, `a l’oeil nu le graphique commence `a ressembler `a une cloche normale, mˆeme si l’hypoth`ese nulle de la normalit´e est rejet´ee par le test Jarque-Bera.

cr´e´e le 13/02/2009

correction le 10/02/2018 – j’avais invers´e les r´eponses aux sous-questions 5 et 6 de la question 2.