Sup PCSI2 — Devoir 1996/09 R´edigez au moins deux des trois exercices.
Exercice 1 : du d´ ej` a vu
◮Notons le s.e.v. deF(R,R) engendr´e parf : t7→et, g: t7→e2tet h: t7→et2 = exp¡ t2¢
.
Q1 Justifiez rapidement le fait que B = (f, g, h) est une base de ; vous donnerez au moins deux m´ethodes diff´erentes.
Q2 Soit p∈; calculez les coordonn´ees (a, b, c) depdansBen fonction dep(0),p′(0) etp′′(0).
◮Soitϕla fonction qui, `a p∈, associeAf+Bg+Ch, o`u :
A=1
4
¡−4p(0) + 2p′(0)−2p′′(0)¢
B=1 4
¡2p(0) +p′(0) +p′′(0)¢
C=1 4
¡−2p(0)−3p′(0) +p′′(0)¢
Q3 D´eterminez la matriceM deϕdans la base (f, g, h) de .
Q4 Montrez que l’ensemble 1 des ´el´ements de invariants par ϕ est un plan vectoriel ; donnez une CNS tr`es simple pour quep∈1.
Q5 Montrez que l’ensemble2des ´el´ements de transform´es en leur oppos´e parϕest une droite vectorielle ; donnez
´egalement une caract´erisation simple de l’appartenance `a2. Q6 Montrez que 1et 2 sont suppl´ementaires l’un de l’autre.
Q7 Donnez une description g´eom´etrique simple deϕ.
Exercice 2 : INT 88 Maths 2 (fragment)
◮SoitIun intervalle de R; on noteEleR-e.v. C∞(I,R). Soitu∈E; on note Φu: f ∈E7→f′+uf.
Q1 Montrez que Φuest un endomorphisme deE.
Q2 Montrez que Φuest surjectif ; est-il injectif ?
◮Soientaet bdeux ´el´ements deE; une solution surI de l’´equation diff´erentielle Ea,b: y′′+a(x)y′+b(x)y= 0
est un ´el´ementf deD2(I,R) v´erifiantf′′(x) +a(x)f′(x) +b(x)f(x) = 0 pour toutx∈I.
Q3 Montrez que l’ensemble Sa,b des solutions surI de l’´equation diff´erentielleEa,b est un s.e.v. deE.
Q4 Donnez une CNS simple portant suraetb pour queSa,b= ker(Φu◦Φu).
Q5 V´erifiez que l’´equation diff´erentielle
E: y′′+ 2xy′+ (x2+ 1)y= 0 satisfait cette condition ; pr´ecisez la fonctionu.
Q6 R´esolvez alors E.
Exercice 3 : les coniques promises
Q1 Discutez en fonction dem∈Rla nature et les ´el´ements g´eom´etriques (centre, axes) de la conique d’´equation mx2−6mx+ (2−m)y2−4y(2−m) + 4m+ 9 = 0.
[Devoir 1996/09] Compos´e le 8 mars 2008
