Sup PCSI2 — Contrˆole 1996/04
Probl` eme 1 (un parfum de d´ ej` a vu)
◮Soitf ∈ C¡
[0,1],R¢
. NotonsM(f) = sup
06t61
¯¯f(t)¯
¯. Pourn∈N, on noteIn= Z 1
0
tnf(t)dt.
Q1 Justifiez la majoration |In|6 M(f)
n+ 1. En d´eduire la convergence de la suite (In)n∈Net sa limite.
Q2 En utilisant l’in´egalit´e deCauchy-Schwarz, obtenez une autre majoration deIn; comparez cette majora- tion `a la pr´ec´edente.
Q3 Que pouvez-vous dire de la suite (In)n∈Nsif est `a valeurs positives ou nulles ?
◮D´esormais, nous supposonsf(t) = 1
t3+ 1 pour toutt∈[0,1].
Q4 ´Ecrivez une relationtr`es simple entreIn+3 et In.
Il est vivement conseill´e de mener les calculs des questions suivantes avec le plus grand soin.
Q5 D´eterminez des r´eels a, betc tels que 1
t3+ 1 = a
t+ 1 + bt+c
t2−t+ 1 pour toutt∈[0,1].
Q6 CalculerJ = Z 1
0
2t−1 t2−t+ 1dt.
Q7 Calculez K = Z 1
0
dt
t2−t+ 1 au moyen du changement de variable u=t−1
2. Le r´esultat sera ´ecrit sous la forme la plus simple possible.
Q8 En d´eduire la valeur de I0; le r´esultat fait intervenir ln 2,πet√ 3.
Q9 D´eduisez des r´esultats de Q4 et Q8 la limite de la suite de terme g´en´eral Sn = X
16k6n
(−1)k 3k+ 1 Q10 Donnez des commandes Maple permettant de calculerI0 etSn.
Tournez S.V.P.
1
Probl` eme 2 (44
`emeOlympiade Math´ ematique Polonaise)
◮Les relationsx0= 1992 etxn+1 =−1992 n+ 1
X
06k6n
xk d´efinissent une suite de r´eels. Nous nous proposons de calculer X
06k61992
2kxk. Pour all´eger les ´ecritures, on notep= 1992.
Q1 ´Ecrivez une relation simple entre (n+ 1)xn+1 et nxn. En d´eduire l’expression dexn+1 en fonction dexn. Q2 Au moyen d’un t´elescopage, donnez une expression simple de xn pour n ∈ [[0,p]] ; vous ferez intervenir le
coefficient binomial¡p n
¢. Q3 Concluez !
Probl` eme 3 (Baltic Way 95 Mathematical Team Contest)
◮Nous nous proposons d’´etablir la relation suivante : 1995
2 −1994
3 +1993
4 − · · · − 2
1995+ 1 1996 = 1
999 + 3
1000 +· · ·+1995 1996 On noteG(n) = X
26k62n
(−1)k(2n+ 1−k)
k , D(n) = X
16k6n
2k−1
n+k etHn= X
16k6n
1 k. Q1 Donnez une expression simple de D(n), faisant intervenirHn etH2n.
Q2 Exprimez X
16k6n
1
2k−1 en fonction deHn et H2n. Q3 En d´eduire une expression simple de X
16k62n
(−1)k
k faisant intervenirHn etH2n. Q4 Donnez alors une expression simple deG(n), faisant intervenirHn et H2n. Q5 Concluez !
Q6 Question subsidiaire. Petit rappel :
Hn= lnn+γ+ 1
2n+o³1 n
´
o`u γ d´esigne la constante d’Euler. Donnez un d´eveloppement asymptotique deD(n) lorsquen tend vers l’infini.
[Contr^ole 1996/04] Compos´e le 8 mars 2008
2
