Corrigé Exercice 1 : SYSTÈME DU 1

(1)

Corrigé Exercice 1 : SYSTÈME DU 1

^ER

ORDRE CAS GÉNÉRAL.

Question 1 :

Déterminer la fonction de transfert de ce système. Les conditions initiales des fonctions e(t) et s(t) sont nulles.

( ) ( ) . ( ) ds t s t K e t

 dt   ^L . . ( )p S p S p( )K E p. ( )  ( )

( ) ( ) 1 .

S p K

H p  E p  p

 

Question 2 :

Déterminer les caractéristiques de sa réponse : c'est-à-dire l’ordonnée en + s(+) et l’équation de la tangente à l’origine.

( ) . ( )

e t Ec u t ^L ( ) E^c

E p  p  ( ) . (1 . )

Ec S p K

p p

  

Ordonnée en  :

 

0 0

( ) lim ( ) lim .

L

( ) lim . ( ) . c

t p p

s s t p s t p S p K E

    

     d’où s(  ) K.E_c

Équation de la tangente à l’origine : y s(0 ) ^ s'(0 ).(t^ 0 )^

Or

 

²

0

'(0 ) lim '( ) lim .

L

'( ) lim . ( ) (0 ) lim ( ) . ^c

t p p p

s ^ s t p s t p pS p s ^ p S p K E

    

 

       

Question 3 :

En déduire sur le même graphe, l’allure de s(t) et e(t) en précisant les points caractéristiques.

Représentation pour K < 1 :

Question 4 :

Calculer l’erreur statique e_r(    ) e( ) s( ) et la placer sur le graphe. Que faudrait-il faire pour que ce système soit précis ?

( ) ( ) ( )

er     e s

( ) .

er  EcK Ec

( ) .(1 )

er  Ec K précis si K = 1

La tangente à l’origine coupe l’asymptote finale y = K.Ec en t =

d’où K.E^c .

y = t



e(t)=Ec.u(t)

t Sortie ou réponse s(t)



Tangente à l’origine

0

K.Ec e_r()

K caractérise le régime permanent.

(2)

Question 5 :

A titre indicatif, déterminer la réponse s(t).

( ) . .

(1 . ) 1 1

. .

c c

E K E

K A B

S p p p p

p p p

   

     

(factorisation et décomposition en éléments simples)

Pour déterminer A et B, il faut utiliser la méthode du cours qui est très rapide : A : multiplier S(p) par 1

p

 et faire tendre p vers 1

 1

lim ( 1). ( ) . _c

p

p S p K E A





   



B : multiplier S(p) par p et faire tendre p vers 0

0

lim . ( ) . _c

p p S p K E B

  

Si vous ne vous rappelez plus comment faire, vous pouvez toujours utiliser la méthode "lourde" plus longue (sauf ici pour ce cas très simple…) en mettant au même dénominateur.

. .( 1)

( ) .

1 1

( ).

. .

c A p B p

S p K E

p p

 

  

  

  

Puis, on identifie les termes (le coefficient constant et le coefficient en p) : . 0

K Ec B A B

 

  

  



donc .

.

c c

B K E A K E

 

  



Ainsi, . .

( ) 1

c c

K E K E

S p p

p

  

 

La réponse temporelle a donc pour expression : ( ) . . . . ( )

t

c c

s t K E e^^ K E u t

 

 

  

 

 

Question 6 :

Exprimer le temps de réponse à 5 % de ce système. Le placer sur le graphe.

Exprimer le temps mis pour atteindre 99% de la valeur finale.

On cherche tr_5% tel que s(tr_5%)95%.s( ) Soit

5%

. . . 0,95. .

tr

c c c

K E e^ ^ K E K E

  

soit

5%

1 0,95

tr

e^ ^

  

5% ln 0,05

tr 



donc tr_5%  3.

De même, le temps mis pour atteindre 99% de la valeur finale est : 1% ln 0,01

tr 



donc tr_1%  5.

 caractérise le régime transitoire.

(3)

Corrigé Exercice 2 : COMPORTEMENT D'UN MOTEUR DU REIN ARTIFICIEL.

Question 1 :

Déterminer les paramètres caractéristiques de la fonction de transfert de ce moteur.

( ) 0

( ) 1200 1200 1 12

. 1

( ) 100 100 1 0,01.

1 .

100

m

m Cr p

p

U p p p

 p

   

  

Le gain statique vaut 12 (rad/s)/V et la constante de temps vaut 0,01 s.

Question 2 :

Donner le temps de réponse à 5 % de ce moteur à une entrée en échelon.

5% 3.0,01 0,03

tr   s

Question 3 :

Ce système est-il précis ?

K est différent de 1, mais de toute façon, nous ne pouvons pas conclure car la sortie et l'entrée ne sont pas de même nature.

Question 4 :

Tracer l’allure des réponses _m( )t aux entrées suivantes, en précisant les points caractéristiques :

1( ) 5. ( ) 2( ) 7. ( ) 3( ) 11. . ( )

m m m

u t  t u t  u t u t  t u t

NB : il n’est pas demandé de calculer _m( )t .

um(t)= 5.(t)

t Sortie ou réponse

) t m(

 01 , 0 01

, 0

12 .

5 Tangente à l’origine

0

um(t)=7.u(t)

t Sortie ou réponse _m(t)

Tangente à l’origine

0

12.7 0,95.12.7

0,63.12.7

0,01 3.0,01

um(t)=11.t.u(t)

t Sortie ou

réponse _m(t)

0

Asymptote de pente 11.12 Droite de pente 11

0,01

Question 5 :

Tracer la fonction u_m₄( )t  2 u t( ). En déduire l’allure de la réponse _m( )t de ce système à un essai de lâché u_m₄( )t  2 u t( ) en précisant les points caractéristiques.

um(t)=2-u(t) t Sortie ou

réponse _m(t)

Tangente à l’origine 12.2

12.1

2

 caractérise le régime transitoire.

(4)

Corrigé Exercice 3 : FONCTION DE TRANSFERT ET CONSTANTE DE TEMPS D'UN CAPTEUR.

Question 1 :

A quel type de système, le capteur de vitesse peut-il être identifié ? Justifier.

La courbe de sa réponse à un échelon n’a pas de dépassement et la pente de sa tangente à l’origine n’est pas nulle : le capteur peut donc être modélisé par un système du 1^er ordre.

Question 2 :

En déduire ses paramètres caractéristiques ainsi que sa fonction de transfert.

On relève :

 la valeur de l'entrée en régime permanent   _m( ) 1,25rad s/

 la valeur de la sortie en régime permanent u_mes( ) 10V

 l’instant 0,1 ms où la réponse atteint 0,63.u_mes() On en déduit :

 K le gain statique du système par la valeur finale u_mes(   ) K. _m( )

Donc 10

8 . / ( / ) 1, 25 /

K V V rad s

rad s

 

  la constante de temps du système par l’instant relevé précédemment.

Donc  0,1ms

Donc ( )

( ) ( ) 1 .

mes capteur

m

U p K

H p

p p

 

    8

( ) 1 0,0001.

capteur

H p

 p



Question 3 :

Peut-on avec une bonne approximation, considérer que le capteur de vitesse est un système proportionnel. Justifier. Simplifier alors sa fonction de transfert.

La constante de temps du capteur de vitesse (0,1 ms) étant négligeable devant celle du moteur (0,02 s), on peut donc considérer que celui-ci répond instantanément. Ainsi sa fonction de transfert peut être modélisé par :

( ) 8 / ( / )

capteur

H p  V rad s (fonction de transfert proportionnelle ou de gain pur)

Tout système a un temps de réponse, mais ce dernier peut être négligeable devant d'autres temps de réponse…

(5)

Corrigé Exercice 4 : ASSERVISSEMENT D’UN MOTEUR.

(Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes 1998 filière PCSI) (Donné en DS3 année 2003-2004)

Question 1 :

Pourquoi les fonctions de transfert de l’interface H/M et du capteur sont-elles identiques ?

Pour que ( )p soit l’image de l’erreur, il faut que ( )p soit proportionnelle à l'erreur : 

 

p  K E pr

 

  K  c

 

p  M

 

p Or ici, 

 

p CV

 

p MV

 

p Finterface H / M

 

p c

 

p Fcapteur

 

p M

 

p

Donc la seule possibilité de vérifier que ( )p soit l’image de l’erreur, est que F_int_{erface H M}_/ ( )p F_capteur( )p K C^te.

Question 2 :

Donner l’expression de la fonction de transfert du moteur : ₁

( ) 0

( ) ( )

( )

M C p

H p p

U p _

  . Préciser

littéralement et numériquement, le gain K₁ et la constante de temps ₁.

1

( ) 0

. 1

( ) . 1

( ) .

( ) 1 ( . ) . . . .

1 . . 1 .

. . .

M

M T T M M

M T T E M T E M T

C p E

T T T E M

K

p R f J p K K

H p U p K R f J p K K R f K K R J

K p

R f J p R f K K



 

   

  

 

1 . .

M

T E M

K K

R f K K

  ^{AN :}

1 1 1 1,64 . . K  rad s^ V^

1

.

. .

T

T E M

R J

R f K K

   AN : ₁ 29,5s

Question 3 :

En déduire l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte : ₂ ( )

( ) ( )

V V

M p G p  p

 ^en fonction de K₁, ₁, K,  et K_v. (NB : voir cours SLCI page 18 pour définition de la FTBO) 2 1

1

( ) ( ) . .

( ) 1 . 1 .

V V

V

M p K K

G p K

p p p

 

    

Question 4 :

Déterminer _V( )p en fonction de C_V( )p et G p₂( ).

( ) ( ) ( )

V p CV p MV p

  

( ) ( ) 2( ). ( ) V p CV p G p V p

   



2



( ). 1 ( ) ( )

V p G p CV p

  

2

( ) ( )

1 ( )

V V

C p

p G p

 



NB : On le savait car selon le cours page 18,

2 '( ) ( )

( ) 1 ( ) 1 ( )

CV p p E p

FTBO p G p

  

  et non pas

2 ( ) ( )

1 ( )

c p

p G p

  

 .

 

'

E p étant l’entrée de la boucle et non pas l’entrée du système…

(6)

Question 5 :

En déduire l’expression de l’image de l’erreur statique _V( ) lim _V( )

t t

    lorsque

( ) 0 10,5 /

c t rad s

    . Faire l'application numérique.

 

0

 

⁰

L

c t c p

p

       (entrée en échelon) donc CV^{( )}p KV c

 

p KV ⁰

p

    

0

0 0

0 0 2 0 2 0 2 1

( ) lim ( ) lim . ( ) lim . ( ) lim . lim

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 . .

V V V

V

V V V

t p p p p V

K K K

C p p

t p p p p

G p G p G p K K K

    



   

         

   

AN :  _V( ) 0,031 V

Question 6 :

On donne ci-dessous, la réponse du système, à l’entrée en échelon _c( )t 10, 47rad s/ . Placer sur la figure le temps de réponse à 5% et l’erreur statique. Donner les valeurs numériques correspondantes. Retrouver le résultat de la question précédente.

Sur le graphe, on peut lire : - le temps de réponse à 5% = 2,7 s

- l'erreur statique Er(       ) _C( ) _M( ) 0,33 rad s/ Attention : e_r(      ) _C( ) _M( ) est l'erreur statique en rad/s

Et   _V( ) c_V( ) m_V() est l'image de l’erreur statique en V

( ) ( ) ( ) ( )

V KV c KV KV er

             AN :  _V( ) 0,095.0,330,031V rad/s

) (

%.

95 _M 

e (r )

Réponse _M(t) Consigne _c(t)