SYSTÈME DU 1

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TD 05 - Comportement temporel des SLCI proportionnel, dérivateur, intégrateur et du 1er ordre Page 1/4

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 03/11/2011

Exercice 1 : SYSTÈME DU 1

^ER

ORDRE CAS GÉNÉRAL.

Un système est régi par l’équation différentielle suivante : ( )

( ) . ( ) ds t s t K e t

 dt   0<K<1

Question 1 :

Déterminer la fonction de transfert de ce système. Les conditions initiales des fonctions e(t) et s(t) sont nulles.

On soumet au système une entrée en échelon : e t( )Ec u t. ( ).

Question 2 :

Déterminer les caractéristiques de sa réponse : c'est-à-dire l’ordonnée en + s(+) et l’équation de la tangente à l’origine.

Question 3 :

En déduire sur le même graphe, l’allure de s(t) et e(t) en précisant les points caractéristiques.

Question 4 :

Calculer l’erreur statique e_r(    ) e( ) s( ) et la placer sur le graphe. Que faudrait-il faire pour que ce système soit précis ?

Question 5 :

A titre indicatif, déterminer la réponse s(t).

Question 6 :

Exprimer le temps de réponse à 5 % de ce système. Le placer sur le graphe.

Exprimer le temps mis pour atteindre 99% de la valeur finale.

Exercice 2 : COMPORTEMENT D'UN MOTEUR DU DIALYSEUR.

On s'intéresse au comportement du moteur entraînant la pompe péristaltique de la maquette dialyseur (rein artificiel) du laboratoire.

Sa fonction de transfert est :

( ) 0

( ) 1200

( ) 100

m

m Cr p p

U p _ p

 



Où u_m( )t est la tension de commande en V du moteur et _m( )t la vitesse angulaire de l'axe en rad/s.

Question 1 :

Déterminer les paramètres caractéristiques de la fonction de transfert de ce moteur.

Question 2 :

Donner le temps de réponse à 5 % de ce moteur à une entrée en échelon.

Question 3 :

Ce système est-il précis ?

Question 4 :

Tracer l’allure des réponses _m( )t aux entrées suivantes, en précisant les points caractéristiques :

1( ) 5. ( ) 2( ) 7. ( ) 3( ) 11. . ( )

m m m

u t  t u t  u t u t  t u t

NB : il n’est pas demandé de calculer _m( )t .

Question 5 :

Tracer la fonction u_m₄( )t  2 u t( ). En déduire l’allure de la réponse _m( )t de ce système à un essai de lâché u_m₄( )t  2 u t( ) en précisant les points caractéristiques.

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Exercice 3 : FONCTION DE TRANSFERT ET CONSTANTE DE TEMPS D'UN CAPTEUR.

On s'intéresse au système en boucle ouverte, constitué du moteur et du capteur de vitesse (génératrice tachymétrique), d'un axe de la plate- forme du laboratoire.

(voir vidéos sur le site du professeur).

Tension de pilotage

m( ) U p

en V

Moteur

Image mesurée de la Sortie

mes( )

U p

en V Tachymètre

Vitesse de rotation du moteur

m( )p

 en rad/s

Le moteur est modélisé par la fonction de transfert : ( ) 67, 6 ( ) 1 0,02.

m m

p

U p p

 



Lorsque le moteur tourne à vitesse constante (1,25 rad/s), on ferme un interrupteur situé à l’entrée du capteur de vitesse (on le soumet ainsi à un échelon de consigne). On visualise sa réponse en V ci-dessous.

Question 1 :

A quel type de système, le capteur de vitesse peut-il être identifié ? Justifier.

Question 2 :

En déduire ses paramètres caractéristiques ainsi que sa fonction de transfert.

Question 3 :

Peut-on avec une bonne approximation, considérer que le capteur de vitesse est un système proportionnel. Justifier. Simplifier alors sa fonction de transfert.

0 2 4 6 8 10 12

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

t (en ms)

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Exercice 4 : ASSERVISSEMENT D’UN MOTEUR.

(Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes 1998 filière PCSI) (Donné en DS3 année 2003-2004)

Le schéma fonctionnel de l’asservissement en vitesse d'un moteur est donné ci-dessous :

Caractéristiques du moteur électrique :

 Constante de la fcem : K_E 0,6 . .V s rad^¹

 Constante de couple : K_M 0,7N m A. . ^¹

 Résistance rotorique : R 4,5

 Inductance L négligée.

Données :

 Inertie ramenée sur l'arbre moteur J_T 2,8kg m. ²

 Coefficient de frottement visqueux f_T 1,5.10^³ N m s rad. . . ^¹

 _c( )t est la consigne de vitesse de rotation en rad/s et _M( )t la vitesse de rotation du moteur en rad/s

 Capteur de vitesse (génératrice tachymétrique) et interface H/M : K_V 0,095 V rad s( / )

 c_V( )t est l’image en V de la consigne de vitesse, m_V( )t l’image en V de la vitesse mesurée, _V( )t l’image en V de l’erreur de vitesse

 Correcteur : K200 et  15ms

 u t( ) est la tension de commande du moteur en V, m_U( )t la tension contre-électromotrice en V

 c_M( )t est le couple moteur en N.m, c_P( )t le couple dû aux perturbations en N.m

Question 1 :

Pourquoi les fonctions de transfert de l’interface H/M et du capteur sont-elles identiques ?

En supposant qu’il n’y ait pas de perturbation (c_P( )t est nul) :

Question 2 :

Donner l’expression de la fonction de transfert du moteur : ₁

( ) 0

( ) ( )

( )

M C p

H p p

U p _

  . Préciser

littéralement et numériquement, le gain K₁ et la constante de temps ₁.

Question 3 :

En déduire l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte : ₂ ( )

( ) ( )

V V

M p

G p  p

 ^en fonction de K₁, ₁, K,  et K_v. (NB : voir cours SLCI page 18 pour définition de la FTBO)

Question 4 :

Déterminer _V( )p en fonction de C_V( )p et G p₂( ).

p . J f

1

T T 

Kv

c

 

p



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Question 5 :

En déduire l’expression de l’image de l’erreur statique _V( ) lim _V( )

t t

    lorsque

( ) 0 10,5 /

c t rad s

    . Faire l'application numérique.

NB : la détermination de l’image de l’erreur (questions 3 et 4) est expliquée dans le cours page 18.

Question 6 :

On donne ci-dessous, la réponse du système, à l’entrée en échelon _c( )t 10,5rad s/ . Placer sur la figure le temps de réponse à 5% et l’erreur statique. Donner les valeurs numériques correspondantes. Retrouver le résultat de la question précédente.

rad/s

Réponse _M( )t

Consigne _c( )t