Exercice 1 : d´erivations d’une

HX4 — Contrˆole 1993/05

Exercice 1 : d´ erivations d’une

-alg` ebre

◮Soient :K un corps ;A une K-alg`ebre ;L(A) laK-alg`ebre des endomorphismes du K-e.v. A. On note ele neutre deA. Nous identifions α∈Ket αe∈A. Pour f ∈ L(A), on notef⁰=IdA et fⁿ⁺¹=f◦fⁿ pour toutn∈N.

◮Une d´erivation deAest un endomorphisme D duK-e.v. A v´erifiantD(xy) =xD(y) +D(x)y pour tousx ety dansA. NotonsD(A) l’ensemble des d´erivations deA.

Q1 Donnez deux exemples de triplets (K, A, D), tels queKsoit un corps,AuneK-alg`ebre, etD une d´erivation deA.

Q2 V´erifiez que l’endomorphismeD duK-e.v. K[X] d´efini parD(1) = 0 etD(Xⁿ) =nXⁿ pour toutn>1 est une d´erivation de laK-alg`ebreK[X].

Q3 Soit Dune d´erivation de A; calculezD(e), puisD(α) pourα∈K. Q4 Soit a∈A; montrez queDa : x∈A7→ax−xaest une d´erivation deA.

Q5 Montrez que D(A) est un s.e.v. du K-e.v. L(A), mais que ce n’est pas, en g´en´eral, une sous-alg`ebre de la K-alg`ebreL(A).

Q6 SoientD1etD2 deux d´erivations deA. Montrez que [D1, D2] =D1◦D2−D2◦D1est encore une d´erivation deA.

Q7 Pour cette question uniquement, nous supposons l’alg`ebreA commutative. D d´esigne une d´erivation de A.

Pourx∈Aet n∈N, calculezD(xⁿ).

Q8 Soientxety dansA, etn∈N. ´Etablissez la formule deLeibniz: Dⁿ(xy) =

n

X

k=0

³n k

´D^k(x)D^n−k(y)

Exercice 2 : sur la continuit´ e uniforme

◮Soit I un intervalle de R. Notons F(I,R) l’ensemble des applications f de I de R. f ∈ F(I,R) est uniform´ement continue surIlorsque :

∀ε >0 : ∃α >0 : ∀(x, y)∈I²: |x−y|< α⇒ |f(x)−f(y)|< ε

Q1 Montrez quef ∈ F(I,R) est uniform´ement continue surI ssi, pour toutes suites (an) et (bn) d’´el´ements de I, lim

n→∞(an−bn) = 0 implique lim

n→∞

¡f(an)−f(bn)¢

= 0.

Q2 Soient f et g deux ´el´ements de F(I,R). Prouvez que, si f et g sont uniform´ement continues, f +g est elle-mˆeme uniform´ement continue. Montrez par un contre-exemple qu’il n’en est pas de mˆeme pourf g.

Q3 SoitI un intervalle born´e deR. Montrez que toute applicationf ∈ F(I,R) uniform´ement continue surI est born´ee. Remarque: nous ne supposons pas queI est ferm´e. . .

Q4 Soit I un intervalle born´e de R. Soient f et g deux ´el´ements de F(I,R). Prouvez que, si f et g sont uniform´ement continues,f g est elle-mˆeme uniform´ement continue.

Tournez S.V.P.

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Exercice 3 : sur les projecteurs

◮Soient Kun corps etE est un K-e.v. Unprojecteur deE est un endomorphisme de E v´erifiantp◦p=p; nous savons alorsE= kerp⊕imp. Nous savons ´egalement queIdE−pest lui aussi un projecteur deE, que kerp= im(IdE−p), et que imp= ker(IdE−p) ; une autre fa¸con d’exprimer cette derni`ere ´egalit´e consiste

`a dire que impest l’ensemble des vecteurs invariants parp.

◮Toute sommedirectede s.e.v. devra ˆetre justifi´ee.

◮Dans les deux questions suivantes,pd´esigne un projecteur deE.

Q1 Montrez que pour tout s.e.v. AdeE, on a :

p⁻¹(A) = (A∩imp)⊕kerp

Q2 Montrez qu’un s.e.v. de E est stable parpsi et seulement s’il est somme directe d’un s.e.v. du noyau dep et d’un s.e.v. de l’image dep.

◮Dans les cinq questions suivantes,petqd´esignent deux projecteurs deE.

Q3 Montrez que pet qont la mˆeme image si et seulement sip◦q=qetq◦p=p.

Q4 De mˆeme, donnez une condition n´ecessaire et suffisante pour quepet qaient le mˆeme noyau.

Q5 Montrez que sif est un endomorphisme deE, alors :

ker(f◦q) = kerq⊕(kerf∩imq) Q6 Montrez que sigest un endomorphisme de E, alors :

im(p◦g) = imp∩(img+ kerp) Q7 Montrez que p◦q est aussi un projecteur deE si et seulement si :

imp∩(imq+ kerp)⊂imq⊕(kerp∩kerq).

[Contr^ole 1993/05] Compos´e le 7 mars 2008

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