ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2012, Steve Ambler Automne 2012
Je vous demande d’´ecrirelisiblement. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Justifiez vos r´eponses et montrez vos calculs.Il va de soique la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.
La documentation n’est pas permise. Vous n’ˆetes pas oblig´es de simplifier les solutions des calculs num´eriques (donc vous n’avez pas besoin de calculatrice).
En fait, je vous sugg`erefortement `ane pas simplifierles r´eponses. Cela va me permettre de suivre beaucoup plus facilement votre raisonnement et je pourrai accorder des points partiels mˆeme si vous faites des erreurs mineures. Vous avez trois heures.
1 Variance ´echantillonnale d’une fonction de deux variables al´eatoires (15 points)
SoitXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes. Soit Var(Z)la variance
´echantillonnale pour une variable al´eatoireZ quelconque, et Cov(W, Z)la covariance ´echantillonnale pour des variables al´eatoires quelconquesW etZ.
Montrez en d´etail que
Var(aX+bY) =a2Var(X) +b2Var(Y) + 2abCov(X , Y).
2 Distributions de probabilit´e jointes (20 points)
Voici un tableau qui donne les probabilit´es jointes pour les r´ealisations de deux variables al´eatoiresX etY
X\Y Y=1 Y=2 Y=3 Pr(X)
X=1 0.10 0.05 0.05 -
X=2 0.05 0.10 0.05 -
X=3 0.05 0.05 0.10 -
X=4 0.10 0.05 0.05 -
X=5 - 0.05 0.10 -
Pr(Y) - - - -
R´epondez aux questions suivantes.
1. Compl´etez le tableau, en indiquant les probabilit´es jointes qui manquent ainsi que les probabilit´es marginales.
2. Calculez l’esp´erance conditionnelle suivante : E(X|Y = 1). 3. Calculez l’esp´erance conditionnelle suivante :
E(Y|X = 3). 4. Calculez l’esp´erance non conditionnelle deX.
5. Calculez l’´esp´erance non conditionnelle deY.
6. Est-ce que les variablesXetY sont ind´ependantes ? Justifiez votre r´eponse.
3 Diff´erences entre les esp´erances de deux populations (20 points)
Vous avez deux ´echantillons de donn´ees de deux populations potentiellement
r´ealisations de deux variables al´eatoiresX etY. Vous ne connaissez ni les esp´erances (µX etµY) ni les variances (σX2 etσ2Y) des deux variables. Vous avez les estim´es suivants :
X¯ = 97.6, Y¯ = 98.7, ˆ
σX2 = 5.8, ˆ
σY2 = 12.4, avec la notation habituelle.
R´epondez aux questions suivantes.
1. D´ecrivez comment tester l’hypoth`ese nulle de l’´egalit´e des deux esp´erances. ´Ecrivez la statistique que vous pourriez utiliser pour tester cette hypoth`ese.
2. Quelles sont les hypoth`eses qu’il faut faire concernant les deux
´echantillons de donn´ees ?
3. La statistique que vous utilisez pour tester l’hypoth`ese ob´eit `a quelle loi de probabilit´e ?
4. Si vous ˆetes prˆet(e) `a faire l’hypoth`ese que les deux variables ob´eissent `a des lois normales :
X ∼N µX , σX2 et
Y ∼N µY , σY2 ,
est-ce que vous pouvez ´ecrire une statistique qui suit une distribution connue en ´echantillon fini ? Expliquez. Si vous ˆetes prˆet(e) `a faire l’hypoth`ese queσ2X =σY2, est-ce que votre r´eponse `a cette question change ? Expliquez.
5. ´Ecrivez une expression alg´ebrique pour lap-value du test dans le cas d’une hypoth`ese alternative bilat´erale.
6. ´Ecrivez une expression alg´ebrique pour lap-value du test dans le cas de l’hypoth`ese alternative unilat´erale suivante.
H1 :µY > µX.
4 R´egression simple, tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (45 points)
Voici l’output d’un mod`ele de r´egression simple.
Coefficient Estim´e Ecart type´
β0 10.53 5.371
β1 1.342 0.379
On a aussi
n 425
SSR 114.31 T SS 436.21
o`unest le nombre d’observations,SSRest la somme des r´esidus au carr´e et T SS est la somme totale des carr´es. SoitΦ(z)≡P r(Z ≤z)pour une variable al´eatoireZqui suit une distribution normale centr´ee r´eduite.
1. Quelle est la somme expliqu´ee des carr´es (ESS) ?
2. Montrez comment calculer la mesure d’ajustement statistique de la r´egression (R2).
3. Montrez comment calculer l’´ecart type de la r´egression.
4. Montrez comment calculer la statistiquetpour tester la significativit´e de βˆ1. Quelle est l’hypoth`ese nulle (H0) qui est test´ee ? Quelle est l’hypoth`ese alternative (H1) dans ce cas ?
5. ´Ecrivez une expression pour lap-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus. Quelles hypoth`eses concernant la distribution (loi) de la statistique faites-vous ?
6. Sans chercher dans les tables, est-ce que vous pouvez dire si le coefficient βˆ1 est significatif `a un niveau de 5% ? Expliquez.
7. Montrez comment tester l’hypoth`ese nulle suivante H0 : β1 = 2.0 contre l’hypoth`ese alternative
8. ´Ecrivez une expression pour lap-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus.
9. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 95% pour le coefficientβ1. Montrez votre travail. Vous n’ˆetes pas oblig´es de calculer une valeur num´erique pour cet intervalle de confiance. Vous pouvez utiliser Φ(−1.96) ≈0.025.
10. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 99% pour le coefficientβ0. Montrez votre travail. Vous pouvez utiliser
Φ(−2.58) ≈0.005.
5 R´egression simple : propri´et´es d’estimateurs (15 points en bonus)
Soit le mod`ele lin´eaire suivant sans constante : Yi =βXi+ui.
Vous pouvez supposer que E(ui|Xi) = 0, et que les observations sur lesXiet les Yi sont i.i.d.
Soit l’estimateur suivant pour le coefficientβ:
βe= Pn
i=1Yi Pn
i=1Xi.
R´epondez aux questions suivantes. Justifiez vos r´eponses dans tous les cas.
1. Est-ce queβeest l’estimateur MCO deβ? 2. Est-ce queβeest non biais´e ?
3. Est-ce queβeest convergent ?
4. Est-ce queβeest un estimateur efficient ?
cr´e´e le : 07/11/2012
