ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2013, Steve Ambler Automne 2013
Consignes
1. Ecrivez lisiblement.´
2. Justifiez vos r´eponses. La majorit´e des points seront attribu´ees pour le raisonnement
3. Je ne pourrai accorder aucun point pour une mauvaise r´eponse sans justification.
4. La documentation n’est pas permise.
5. Ne simplifiez pas vos r´eponses. Cela va me permettre de suivre plus faci- lement votre raisonnement. Voir le point 2.
6. Les calculatrices ne sont pas permises. Voir le point 5.
1 Moments centr´es de variables al´eatoires (20 points)
SoitY une variable al´eatoire discr`ete avecnr´ealisations distinctes possibles.
Soithila probabilit´e de la r´ealisationYi. R´epondez aux questions suivantes.
1. Quelle restriction doit-on imposer sur Pn
i=1hi pour que Y soit une va- riable al´eatoire bien d´efinie ?
2. Soit µn(Y), l’ni`eme moment centr´e de la variable al´eatoire Y. Donnez une d´efinition g´en´erale de l’ni`eme moment centr´e en termes de l’op´erateur d’´esp´erance E.
3. Donnez une d´efinition de l’ni`eme moment centr´e en termes des probabi- lit´eshiet des r´ealisations distinctesYi.
4. Qu’est-ce qu’on appelle habituellementµ2(Y), le 2e moment centr´e ? 5. Montrez que dans le cas du 3e moment centr´e
µ3(Y) =E Y3
−3E(Y)µ2(Y)−(E(Y))3.
Indice – vous pouvez utiliser le r´esultat suivant (qui ´etait `a montrer comme exercice durant le cours) :
µ2(Y) =E Y2
−(E(Y))2.
2 Distributions de probabilit´e jointes (20 points)
Soit deux variables al´eatoiresX et Y.X peut prendre les valeurs{1,3,5,7}
etY peut prendre les valeurs{1,2,3,4}. Les probabilit´es jointes sont comme suit.
Pr(X = 1, Y = 1): 0.05 Pr(X = 1, Y = 2): 0.10 Pr(X = 1, Y = 3): 0.05 Pr(X = 1, Y = 4): 0.05 Pr(X = 3, Y = 1): 0.04 Pr(X = 3, Y = 2): 0.13 Pr(X = 3, Y = 3): 0.04 Pr(X = 3, Y = 4): 0.04 Pr(X = 5, Y = 1): 0.03 Pr(X = 5, Y = 2): 0.03 Pr(X = 5, Y = 3): 0.03 Pr(X = 5, Y = 4): 0.16 Pr(X = 7, Y = 1): 0.04 Pr(X = 7, Y = 2): 0.03 Pr(X = 7, Y = 3): 0.03 Pr(X = 7, Y = 4): — R´epondez aux questions suivantes.
1. Trouvez la valeur qui manque du tableau et expliquez comment vous la trouvez.
2. Construisez un tableau (avec quatre colonnes pour les valeurs possibles de Y et quatre rang´ees pour les valeurs possibles deX) qui donne les proba- bilit´es jointes, et indiquez sur le mˆeme tableau les probabilit´esmarginales pour chaque variable al´eatoire individuelle.
3. Calculez la probabilit´e conditionnelle suivante : Pr(X = 5|Y = 4) 4. Calculez la probabilit´e contionnelle suivante : Pr(Y = 1|X = 7) 5. Calculez l’esp´erance conditionnelle suivante :
E(X|Y = 3). 6. Calculez l’esp´erance conditionnelle suivante :
E(Y|X = 3). 7. Calculez l’esp´erance non conditionnelle deX.
8. Calculez l’´esp´erance non conditionnelle deY.
9. Est-ce que les variablesXetY sont ind´ependantes ? Justifiez votre r´eponse.
3 Tests d’hypoth`ese (20 points)
Vous avez un estim´e non biais´eηˆY d’un moment (quelconque) ηY d’une va- riable al´eatoireY, bas´e surn observations. La variance de cet estim´e est donn´ee par
Var(ˆηY)≡ση2ˆY. Vous voulez tester l’hypoth`ese nulle suivante :
H0 :ηY =ηY0 contre l’hypoth`ese alternative
H1 :ηY 6=ηY0. R´epondez aux questions suivantes.
1. ´Ecrivez une statistique normalis´ee (moyenne z´ero et variance unitaire) qui permettrait de tester l’hypoth`ese nulle.
2. Montrez en d´etail que l’esp´erance de votre statistique est z´ero.
3. Montrez en d´etail que la variance de votre statistique est unitaire.
4. Quelle est l’hypoth`ese que vous faites concernant la loi qui g´en`ere la sta- tistique normalis´ee que vous utilisez ?
5. Soit Φ(z) la fonction qui donne la la normale centr´ee r´eduite cumul´ee
´evalu´ee au pointz. ´Ecrivez une expression qui donne lap-value du test.
6. Maintenant, supposez que vous ne connaissez pas la valeur deση2ˆ
Y. Qu’est- ce que vous pouvez faire pour effectuer votre test d’hypoth`ese ?
7. En r´ef´erence `a votre r´eponse `a la sous-question pr´ec´edente, maintenant quelle est l’esp´erance et quelle est la variance de votre statistique calcul´ee ?
4 R´egression simple, tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (40 points)
Voici l’output d’un mod`ele de r´egression simple.
Coefficient Estim´e Ecart type´
β0 1.23 0.560
β1 0.11 0.038
On a aussi
n 950
SSR 112.3 T SS 233.1
o`u n est le nombre d’observations, SSR est la somme des r´esidus au carr´e et T SS est la somme totale des carr´es. Soit Φ(z) ≡ P r(Z ≤ z)pour une variable al´eatoireZqui suit une distribution normale centr´ee r´eduite.
1. Quelle est la somme expliqu´ee des carr´es (ESS) ?
2. Montrezdeuxfac¸ons de calculer la mesure d’ajustement statistique de la r´egression (R2).
3. Montrez comment calculer le coefficient de corr´elationentre la variable d´ependante du mod`ele de r´egression et la variable explicative. (Indice – il faut se souvenir d’un r´esultat g´en´eral qui est d´emontr´e dans les notes.) 4. Montrez comment calculer l’´ecart type de la r´egression.
5. Montrez comment calculer la statistique tpour tester la significativit´e de βˆ1. Quelle est l’hypoth`ese nulle (H0) qui est test´ee ? Quelle est l’hypoth`ese alternative (H1) dans ce cas ?
6. ´Ecrivez une expression pour lap-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus. Quelles hypoth`eses concernant la distribution (loi) de la statistique faites-vous ?
7. Sans chercher dans les tables, est-ce que vous pouvez dire si le coefficient βˆ1 est significatif `a un niveau de 5% ? Expliquez.
8. Montrez comment tester l’hypoth`ese nulle suivante H0 : β0 = 1.0 contre l’hypoth`ese alternative
H1 : β0 >1.0.
9. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus.
10. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 95% pour le co- efficientβ0. Montrez votre travail. Vous n’ˆetes pas oblig´es de calculer une valeur num´erique pour cet intervalle de confiance. Vous pouvez utiliser Φ(−1.96) ≈0.025.
11. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 99% pour le coef- ficientβ1. Montrez votre travail. Vous pouvez utiliserΦ(−2.58) ≈0.005.
12. Vous voulez pr´edire l’impact sur la variable d´ependante (Y) d’un chan- gement de la variable explicative donn´e par ∆X. Expliquez comment le faire et montrez comment calculer un intervalle de confiance de 95% pour le changement pr´edit.
5 Efficience (20 points en bonus)
Soit le mod`ele lin´eaire suivant sans constante : Yi =βXi+ui.
Vous pouvez supposer que
E(ui|X1. . . Xn) = 0, que
Var(ui|X1. . . Xn) =σu2,
(autrement dit, les erreurs sont homosc´edastiques), et que les erreurs ne sont pas corr´el´ees (autrement dit, E(ui, uj) = 0, i 6= j). R´epondez aux questions sui- vantes. Justifiez vos r´eponses dans tous les cas. Notez qu’il y a quelques sous- questions qui sont relativement faciles.
1. Consid´erez l’estimateur deβdonn´e par
βe=
n
X
i=1
Y¯ X¯. Montrez que l’estimateur est non biais´e.
2. D´erivez une expression pour la variance conditionnelle de l’estimateur, Var
β|Xe .
3. Qu’est-ce qui arrive `a cette variance lorsquen → ∞? 4. Est-ce queβeest un estimateur convergent ?
5. Trouvezβ, l’estimateur MCO.b
6. Soit un estimateur lin´eaire quelconque β≡
n
X
i=1
aiYi
o`u lesai sont des constantes. Trouvez une restriction sur lesai pour queβ soit non biais´e.
7. Selon vous, est-ce que Var
βe
<Var
βb
? Pourquoi ou pourquoi pas ?
cr´e´e le : 15/10/2013
