D659– Des lignes brisées fermées [*** à la main]
Problème proposé par Bernard Vignes
Pour quelles valeurs de l’entier n ≥ 3, est-il possible de tracer dans le plan une ligne brisée fermée de 2n segments de droite de sorte que chaque segment croise une fois et une seule un autre segment en son intérieur ? Justifiez votre réponse.
Pour chacune des valeurs ainsi obtenues ≤ 10, donnez une illustration de la ligne brisée fermée de 2n segments.
Solution proposée par Daniel Collignon
C'est possible pour toute valeur n>=3.
Pour les valeurs n impaires, il suffit de s'appuyer sur le polygone régulier à 2n côtés.
On construit des pointes extérieures par prolongement des segments de rangs k et k+3 (pour le cas n=3 j'ai légèrement adapté car sinon nous aurions des parallèles).
Voir les fichiers Geogebra pour n=5 et 7 en pièce jointe pour une meilleure compréhension de la construction.
Pour les valeurs n paires, on adapte le cas n-1 en créant 2 segments supplémentaires s'intersectant (cf illustrations 4 et 6, aisément généralisable).
Ci-jointes les illustrations pour les valeurs 3, 4, 5, 6, 7 et 9.
2n = 6 2n = 8 2n = 10
2n = 12 2n = 14 2n = 18
