Enoncé D659 (Diophante) Des lignes brisées fermées
Pour quelles valeurs de l’entier n ≥ 3, est-il possible de tracer dans le plan une ligne brisée fermée de 2nsegments de droite de sorte que chaque segment croise une fois et une seule un autre segment en son intérieur ? Justifiez votre réponse. Pour chacune des valeurs ainsi obtenues ≤ 10, donnez une illustration de la ligne brisée fermée de 2nsegments.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour n impair ≥ 3, je forme la polygonale A1A2. . . A2n(= A0) avec les pointsAk de coordonnées polaires
rk= 1 +m(mod2),θk= 2kπ/n.
Vu ce caractère systématique, je n’ai représenté que les casn= 3 (chaîne hijklm) et n= 5 (chaîne klmnpqrstu) page suivante.
Le paramètrem est un réel>0, satisfaisant la condition
(1 +m) cos(2π/n) 6= 1 pour que la polygonale présente 2n angles et 2n côtés. Les figures pourn= 3 oun= 5 sont réalisées ici avecm= 3.
Justification : Les côtés AiAi+1 et Ai+nAi+n+1 (indices pris modulo 2n) sont vus de l’origine O sous le même angle 2π/n; ils sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la droiteθ = (2i+ 1)π/n sur laquelle ils se coupent. Les seuls croisements de côtés sont de ce type, car si j−i 6= 0 (modn), les angles sous lesquels sont vusAiAi+1 etAjAj+1 depuisO ne se recouvrent pas.
Pour n= 4, je n’ai pas vu comment une ligne brisée conforme à l’énoncé pouvait exister, mais ce n’est pas une preuve d’impossibilité.
Pourn≥6, soitn=a+bavecaetbimpairs≥3 ; je forme les polygonales de 2a et 2b côtés à partir d’un sommet commun, mais sans qu’elles se coupent autrement. Dédoublant le sommet commun, en évitant de créer de nouvelles intersections de côtés, on obtient une ligne brisée de 2nsegments.
La figure correspond à n= 8 = 3 + 5 (chaîne abcdef ghijklmpqr, où j’ai pris m = 1), et on réaliserait de même les cas n = 6 = 3 + 3, n = 10 = 5 + 5 = 3 + 7. . .
En conclusion, la question de l’énoncé appelle une réponse positive sauf pourn= 4.
