Des lignes brisées fermées
Problème D659 de Diophante
Proposé par Bernard Vignes
Pour quelles valeurs de l’entier n ≥ 3, est-il possible de tracer dans le plan une ligne brisée fermée de 2n segments de droite de sorte que chaque segment croise une fois et une seule un autre segment en son intérieur ? Justifiez votre réponse.
Pour chacune des valeurs ainsi obtenues ≤ 10, donnez une illustration de la ligne brisée fermée de 2n segments.
Solution
Ci-dessous chaque figure comporte 2*n sommets reliés par une ligne brisée ou deux selon que n est impair ou pair, de telle sorte que chaque segment croise une fois et une seule un autre segment en son intérieur.
Les exemples ci-dessus servent de preuves pour n impair mais ils ne prouvent rien pour n pair.