D659– Des lignes brisées fermées [*** à la main]
Problème proposé par Bernard Vignes
Pour quelles valeurs de l’entier n ≥ 3, est-il possible de tracer dans le plan une ligne brisée fermée de 2n segments de droite de sorte que chaque segment croise une fois et une seule un autre segment en son intérieur ? Justifiez votre réponse.
Pour chacune des valeurs ainsi obtenues ≤ 10, donnez une illustration de la ligne brisée fermée de 2n segments.
Solution proposée par l’auteur
La ligne brisée fermée de 2n segments de droite qui se croisent deux à deux une fois et une seule en leur intérieur peut être obtenue pour tout n ≥ 3, comme le montrent les graphiques ci-après.
Le motif du graphique 2n = 6 peut être étendu avec deux zigzags de longueur quelconque qui s’entrecroisent à l’intérieur du quadrilatère concave ABCD.
