E636 − Ouroboros fait à nouveau parler de lui [**** à la main]
Ouroboros, le serpent géant qui se mord la queue, a adopté une position qui est l'image parfaite d'une ligne brisée constituée d'un nombre pair 2k de segments tels que deux segments adjacents sont perpendiculaires entre eux et deux segments quelconques ne sont jamais sur la même droite. Ouroboros peut adopter deux configurations: se mordre la queue (A) ou laisser sa queue libre (B).
Les segments en se croisant déterminent des points d'intersection, extrémités exclues. Ouroboros retient les positions où le nombre de points d'intersections N est le plus grand possible soit NA et NB pour chacune des deux configurations.
Q₁ Pour une valeur donnée de k, l'écart entre NA et NB est égal à 6. Déterminer k.
Q₂ Même question que précédemment si l'écart est égal à 7.
Q₃ Trouver les formules générales de NA et NB en fonction de k Solution proposée par Bernard Vignes
Ligne brisée ouverte
Pour 2k = 4,6,8,10,12,14..(marqués à l'encre rouge ci-après), on dénombre successivement
1,3,6,10,15,21...points d'intersection (marqués à l'encre verte) et l'on reconnaît la suite des nombres triangulaires.
A partir du point de départ D, le motif optimal d'Ouroboros qui maximise le nombre de points d'intersection s'obtient aisément avec un tracé en spirale. Avec 2k segments, il y a k segments horizontaux et k segments verticaux.
En faisant le décompte des points d'intersection ligne à ligne, on obtient successivement 1, (1+2), (1+3+2), (1+3+4+2), (1+3+5+4+2),...ce qui revient à ajouter 2,3,4,5,... points d'intersections et de manière générale au maximum k − 1 points d'intersection quand on passe d'un motif à 2k − 2 segments à un motif à 2k segments.
D'où la formule générale NB = k(k − 1)/2
Ligne brisée fermée
Pour 2k = 4, il n'y a pas de point d'intersection.
Pour 2k ≥ 6, il y a deux cas à considérer.
k est pair ≥ 4, soit 2k = 8,12,16,...et l'on retrouve avec un décalage d'un cran un terme sur deux de la suite des nombres triangulaires de la ligne brisée ouverte: 3,10,21... On voit qu'il suffit de "boucler" la ligne brisée ouverte de rang 4k + 2 avec un segment horizontal puis un segment vertical et l'on obtient une ligne brisée fermée de 4k + 4 segments contenant le même nombre de points d'intersection k(2k + 1) que la ligne brisée ouverte à 4k + 2 segments.
k est impair ≥ 3, soit 2k = 6,10,14,18,etc...et l'on obtient la suite de 1,7,17,31,....points d'intersection.
On démontre avec 2k = 14 segments que le nombre maximum de points d'intersection est égal à 17. Il y a 7 segments horizontaux et 7 segments verticaux désignés par v₁,v₂,..v₆,v₇. Soit pi le nombre de points
d'intersection sur le segment vi.
Le nombre total de points d'intersection est N = p₁ + p₂ + ... p₆ + p₇. Sur les segments v₁ et v₇ il est
impossible d'avoir des points d'intersection. Sur chacun des deux segments v₂ et v₆, il y a au plus deux points d'intersection (l'un à la gauche de v₂ e l'autre à la droite de v₆). Soit p₂ ≤ 2. De la même manière, on a p₃ ≤ 4, p₅ ≤4 et p₄ ≤ 6. On ne peut pas avoir p₅ = 6. En effet si c'étai le cas, chacun des points d'intersection des segments vi (i = 1,2,3) serait relié par un segment horizontal à un point d'intersection du segment vj (j = 5,6,7) et vice-versa et dès lors les points d'intersection du segment v₄ ne seraient pas reliés aux autres points par un quelconque segment horizontal. On a donc p₄ ≤ 5 et N ≤2(2 + 4) + 5 = 17.
Cette démonstration se généralise par récurrence pour 2k quelconque.
Les motifs obtenus par Ouroboros sont simples à visualiser et représentent des serpentins qui remplissent des rectangles de dimensions k + 1 et k ayant fait l'objet d'une rotation de 45° par rapport à l'axe des abscisses.
Les fléchages dans les exemples donnés pour 6,10,14 et 18 permettent de repérer les tracés correspondants des serpentins.
En combinant les suites obtenues pour k pair et k impair, on obtient la séquence A128223 de l'OEIS
A128223 a(n) = if n mod 2 = 0 then n*(n+1)/2 otherwise (n+1)^2/2-1. 4
0, 1, 3, 7, 10, 17, 21, 31, 36, 49, 55, 71, 78, 97, 105, 127, 136, 161, 171, 199, 210, 241, 253, 287, 300, 337, 351, 391, 406, 449, 465, 511, 528, 577, 595, 647, 666, 721, 741, 799, 820, 881, 903, 967, 990, 1057, 1081, 1151, 1176, 1249, 1275, 1351, 1378, 1457, 1485(list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
OFFSET 0,3
COMMENTS a(n-1) is the length of the shortest path along the edges of the complete graph with n vertices. - Martin Fuller, Dec 06 2007
L'OEIS donne la formule générale de NA = (2k² − 5k + 1 + (−1)k.(k − 3))/4
D'où le tableau permettant de mesurer les écarts NB − NA
On observe que NB est toujours > NA
2k 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 NA 0 1 3 7 10 17 21 31 36 49 55 71 78 97 105 127 136 161 171 199 NB 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190 210 NB − NA 1 2 3 3 5 4 7 5 9 6 11 7 13 8 15 9 17 10 19 11 La réponse à Q₁ est 2k = 22 et Q₂ comporte deux solutions 2k = 16 et 2k = 26.
