I126. Chaîne brisée I. Trajets optimaux
Problème proposé par Jean-Louis Legrand
On choisit au hasard dans le plan 2016 segments de longueur 1. Montrer que l’on peut toujours les translater et les mettre bout à bout de sorte que la distance entre les deux extrémités de la chaîne brisée soit au plus égale à π/2 = 1.5707963...
Solution de Paul Voyer
L'addition de vecteurs étant associative et commutative, on peut classer les 2016 segments par angles polaires, en attribuant l'orientation [0, π[ aux segments de rang impair, et [π, 2π[ aux segments de rang pair.
On obtient ainsi 1008 couples de vecteurs dont les premiers de chacun ont un angle polaire croissant de 0 à π.
En supposant que leur somme n'est pas nulle, auquel cas le problème n'existe pas, on peut tourner la figure de façon à rendre le vecteur somme horizontal.
La somme des 2016 vecteurs a pour longueur la somme de 1008 expressions positives de la
forme (cosα2k+1 - cosα2k) = )
sin( 2 sin 2
2 2k 1 2k 2k 12k
.
Mais c'est aussi la somme de 1008 expressions de la forme (cosα2k+2-cosα2k+1), en décalant de 1 la séquence des vecteurs.
La somme est donc 1/2 fois
2sin i12 i sin(peuimporte)
i1 iL'expression somme est donc bien majorée par π/2.
