Chaîne brisée
Problème I126 de Diophante
On choisit au hasard dans le plan 2016 segments de longueur 1. Montrer que l’on peut toujours les translater et les mettre bout à bout de sorte que la distance entre les deux extrémités de la chaîne brisée soit au plus égale à π/2 = 1.5707963 ...
Solution
Démontrons sur un exemple le théorème suivant :
Étant donné un nombre pair de segments de longueur 1, on peut toujours les translater et les mettre bout à bout de sorte que la distance entre les deux extrémités de la chaîne brisée soit au plus égale à π/2 = 1.5707963 ...
Selon un choix d'axes adéquat, considérons 2*N segments OPk (0 ≤ k < 2*N) de longueur 1 tels que Pk ait pour coordonnées (cos(ak), sin(ak)) avec les contraintes a0 = π et π ≥ ak ≥ ak+1 ≥ 0. Notons a2*N = 0 et P2*N le point correspondant.
La chaîne PkO + Opk+1 équivaut aux déplacement de Pk à Pk+1. Ci-dessus, où N = 4, nous représentons PkPk+1 en rouge, sinon en vert.
La somme des longueurs de tous les segments PkPk+1 est inférieure à π. Donc une (au moins) des sommes limitée aux k de même parité est inférieure à π/2.
Si cette parité vaut 0, la mise bout à bout des segments (orientés à l'occasion) P0O + OP1 + P2O + OP3 + … + P2*kO + OP2*k+1 + … + P2*N-2O + OP2*N-1
constitue une chaîne brisée dont la distance entre les extrémités est moindre que la somme des longueurs de tous les maillons rouges ; elle même moindre que π/2.
Sinon il faut décaler tous les indices de 1 et considérer les maillons verts.
Je subodore le théorème suivant :
Étant donné un certain nombre de segments de longueur 1, on peut toujours les translater et les mettre bout à bout de sorte que la distance entre les deux extrémités de la chaîne brisée soit au plus égale à √2 = 1.414 …
À étudier !
Remarque complémentaire.
Pour N segments donnés, le schéma de N-cube ci-dessous permet de mettre en évidence toutes les lignes brisées constituées des N segments. Ici N = 4.
On peut voir que, partant d'un sommet S, les N! chaînes possibles (constituées des N segments) aboutissent toutes au sommet opposé de S. Autrement dit, l'ordre dans lequel on dispose les segments est sans effet sur le point d'arrivée. Par contre le choix de l'orientation des segments est déterminant ; en effet pour un tel choix il n'y a qu'un seul sommet de départ qui convient.
