ECO 4272: Introduction l’´econom´etrie Exercice 1
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2009, Steve Ambler Hiver 2009
Veuillez ´ecrire lisiblement. Veuillez bien agraferles feuilles de votre tp en- semble avant de le remettre. Date de remise du tp : jeudi, le 13 f´evrier 2009 `a 12h30 (la fin du cours). Je vais afficher les solutions tout de suite apr`es le cours.
Pour cette raison, les copies remises en retard ne seront pas accept´ees. Vous ˆetes libres de travailler seul(e)s ou en groupe. J’encourage la collaboration – discuter avec les coll`egues est sans doute la meilleure fac¸on d’apprendre. Par contre, le nombre maximal de membres par groupe ne peut d´epasser 4 personnes. Veuillez remettre seulement une copie en notant les noms de tous les membres du groupe sur la premi`ere page.
1 Propri´et´es de la variance (15 points)
A partir de la d´efinition de la variance d’une variable al´eatoire, montrez` explicitement que
Var(aX+bY) = a2Var(X) +b2Var(Y) + 2abCov(X, Y), o`uXetY sont des variables al´eatoires etaetbsont des constantes. Pour simplifier, vous pouvez supposer des variables al´eatoire discr`etes.
1
2 Tests d’hypoth`ese, intervalles de confiance, etc.
(25 points)
Vous avez un ´echantillon de 750 observations concernant le salaire moyen de diplˆom´es universitaires en Alberta. La moyenne ´echantillonnale est 33 000$ et l’´ecart type ´echantillonnal est 2 300$. Vous avez aussi un ´echantillon de 600 observations concernant le salaire moyen de diplˆom´es universitaires au Qu´ebec.
La moyenne ´echantillonnale est 27 400$ et l’´ecart type ´echantillonnal est 1 700$.
1. Calculez les intervalles de confiance de 95% pour le salaire moyen en Alberta et pour le salaire moyen au Qu´ebec.
2. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que le salaire moyen des diplˆom´es en Alberta est ´egal `a 30 000$, contre l’hypoth`ese alternative qu’il est sup´erieur `a 30 000$.
3. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que le salaire moyen des diplˆom´es au Qu´ebec est ´egal `a 25 000$, contre l’hypoth`ese alternative qu’il est sup´erieur `a 25 000$.
4. Calculez l’intervalle de confiance de 90% pour la diff´erence entre les salaires moyens dans les deux provinces.
5. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que les deux salaires on la mˆeme moyenne, contre l’hypoth`ese alternative qu’ils sont diff´erents.
6. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que les deux salaires on la mˆeme moyenne, contre l’hypoth`ese alternative que le salaire moyen en Alberta est plus ´elev´e.
3 Convergence (20 points)
Soit la variable al´eatoireY qui est i.i.d. avec E(Y) = µY et avec une variance finie donn´ee par
Var(Y) =σY2.
Soit l’estimateur de la moyenne bas´e surnr´ealisations de la variable al´eatoire donn´e par :
Ye = 1
mY1+m−1 m
1 (n−1)
n
X
i=2
Yi.
2
1. Montrez que l’estimateurYe est non biais´e. Ceci est relativement facile, voire tr`es facile.
2. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de l’´echantillon donn´e parn. Indice : votre r´esultat d´ependra dem.
3. Qu’est-ce qui arrive `a la variance de l’estimateur lorsquendevient tr`es grand ?
4. Est-ce que l’estimateurYe est un estimateur convergent (convergence en probabilit´e) deµY ? Ne donnez pas de preuve formelle mais expliquez intuitivement votre r´eponse.
5. Si vous pouviez choisir une valeur dempour obtenir un estimateur
convergent deµY, quelle valeur choisiriez-vous ? Indice : la valeur peut ne pas ˆetre une constante.
4 Th´eor`eme de la limite centrale (40 points)
L’id´ee ici est d’illustrer le principe de convergence en distribution vers un loi normale. Voici une description de ce que vous devez faire. `A l’aide du logiciel de votre choix (probablement GRETL ou STATA), engendrez un ´echantillon
d’observations en tirantnfois d’une distribution uniforme avec une borne inf´erieure de 5 et une borne sup´erieure de 10. Il s’agit d’utiliser l’algorithme g´en´erateur de nombres al´eatoires de votre logiciel. Calculez la moyenne
´echantillonnale que vous obtenez. De cette moyenne ´echantillonnale, soustrayez la moyenne th´eoriqueµY d’une variable al´eatoire uniforme avec une borne inf´erieure de 5 et une borne sup´erieure de 10, donn´e par :
µY = Z 10
5
i 1 10−5di
Ensuite, divisez par l’´ecart type de votre moyenne ´echantillonnale, qui doit ˆetre
´egal `a la racine carr´ee de la variance th´eoriqueσ2Y d’une variable al´eatoire
uniforme avec borne inf´erieure de 5 et borne sup´erieure de 10 divis´ee par la taille de l’´echantillonn, o`uσ2Y est donn´ee par :
σY2 =E Y2
−µY2 = Z 10
5
i2 1 10−5di
−µY2
R´ep´etez cette exp´erience 100 fois pour des valeurs dende 1, 5, 100 et 1000. La partie difficile de votre travail sera de trouver la fac¸on de g´en´erer vos r´esultats avec une boucle et de sauvegarder les r´esultats pour effectuer les calculs.
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1. Quelle est la moyenne th´eorique et quelle est la variance th´eorique ? 2. Pour chaque valeur den, g´en´erez un histogramme de vos 100 moyennes
´echantillonnales normalis´ees avec 10 classes diff´erentes.
Interpr´etez vos r´esultats.
Pour r´epondre `a cette question, soumettez le code que vous avez ´ecrit pour effectuer vos calculs et des versions imprim´ees des histogrammes.
Je publierai des indices pour l’utilisation de GRETL plus tard dans la journ´ee.
cr´e´e le 01/02/2009
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