ECO 4272: Introduction l’´econom´etrie Exercice 1
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2010, Steve Ambler Hiver 2010
Veuillez ´ecrire lisiblement. Veuillez bien agraferles feuilles de votre tp en- semble avant de le remettre. Date de remise du tp : vendredi, le 12 f´evrier 2010 `a 12h30 (la fin du cours). Je vais afficher les solutions tout de suite apr`es le cours.
Pour cette raison, les copies remises en retard ne seront pas accept´ees. Vous ˆetes libres de travailler seul(e)s ou en groupe. J’encourage la collaboration – discuter avec les coll`egues est sans doute la meilleure fac¸on d’apprendre. Par contre, le nombre maximal de membres par groupe ne peut d´epasser 4 personnes. Veuillez remettre seulement une copie en notant les noms de tous les membres du groupe sur la premi`ere page.
1 Propri´et´es de la covariance (10 points)
Soit deux variables al´eatoires discr`etesXetY. Par d´efinition, la covariance entre les deux est donn´ee par :
Cov(X , Y) =
m
X
i=1 n
X
j=1
(Xi−E(X)) (Yj −E(Y))Pr(X =Xi , Y =Yj). Montrez en d´etail `a partir de cette d´efinition que
Cov(aX , bY) = a bE(X Y)−a bE(X)E(Y).
Soyez explicites concernant les propri´et´es que vous utilisez dans vos d´emonstrations.
2 Tests d’hypoth`ese, intervalles de confiance, etc.
(30 points)
Vous avez un ´echantillon de 400 observations concernant le poids des qu´eb´ecois adultes. La moyenne ´echantillonnale est 85kg et l’´ecart type est 15kg. Notez qu’ici je veux dire que c’ests2 donn´e par :
s2 = 1 400−1
400
X
i=1
(Yi−85)2.
Vous avez un ´echantillon de 350 observations concernant le poids des ontariens adultes. La moyenne ´echantillonnale est 90kg et l’´ecart type (mesur´e de la mˆeme fac¸on) est 20kg.
1. Calculez les intervalles de confiance de 95% pour le poids moyen des qu´eb´ecois et pour le poids moyen des ontariens.
2. Calculez les intervalles de confiance de 90% pour le poids moyen des ontariens et pour le poids moyen des qu´eb´ecois.
3. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que le poids moyen des qu´eb´ecois est ´egal `a 83kg, contre l’hypoth`ese alternative qu’il est diff´erent de 83kg.
4. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que le poids moyen des qu´eb´ecois est ´egal `a 83kg, contre l’hypoth`ese alternative qu’il est sup´erieur `a 83kg.
5. Calculez l’intervalle de confiance de 95% pour la diff´erence des poids moyens des qu´eb´ecois et des ontariens.
6. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que les deux poids moyens sont identiques, contre l’hypoth`ese alternative qu’ils sont diff´erents.
7. Supposez maintenant les mˆemes moyennes ´echantillonnales et les mˆemes
´ecarts types, mais supposez deux ´echantillons de taille ´egale mais
inconnue. Quel serait la taille d’´echantillon minimal afin de pouvoir rejeter l’hypoth`ese nulle que les deux poids moyens sont identiques avec une p-value de 0.05 ?
3 Convergence (20 points)
Soit la variable al´eatoireY qui est i.i.d. avec E(Y) = µY
et avec une variance finie donn´ee par
Var(Y) =σY2.
Soit l’estimateur de la moyenne bas´e surnr´ealisations de la variable al´eatoire donn´e par :
Ye = 1 2n
(n/2)
X
i=1
Y1+ 3 2n
n
X
i=(n/2)+1
Yi.
Vous pouvez supposer quenest un nombre pair.
1. Montrez que l’estimateurYe est non biais´e.
2. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de l’´echantillon donn´e parn.
3. Qu’est-ce qui arrive `a la variance de l’estimateur lorsquendevient tr`es grand ?
4. Est-ce que l’estimateurYe est un estimateur convergent (convergence en probabilit´e) deµY ? Ne donnez pas de preuve formelle mais expliquez intuitivement votre r´eponse.
5. Comparez la variance de l’estimateurYe avec celle de l’estimateur MCO.
Expliquez ce que vous trouvez.
4 Convergence et th´eor`eme de la limite centrale (40 points)
L’id´ee ici est d’illustrer le principe de convergence en distribution vers une loi normale. Il s’agit d’analyser le comportement ´echantillonnal des2, l’estimateur non biais´e de la variance d’une distribution. Sa d´efinition est :
s2 ≡ 1 (n−1)
n
X
i=1
Yi−Y¯2
,
o`uY est une variable al´eatoire avec esp´erance finie (E(Y) = µ) et variance finie (Var(Y) = σ2). Il y a une preuve dans les notes de cours que c’est un estimateur non bias´e, ce qui veut dire :
E s2
=σ2.
Nous avons tout de suite `a partir de la d´efinition des2que : n−1
σ2 s2 = 1 σ2
n
X
i=1
Yi−Y¯2
.
1. SiY est une variable al´eatoirenormaleet les observationsYisont
ind´ependantes, quelle est la loi que suit la variable al´eatoire d´efinie du cˆot´e droit de la derni`ere ´equation ? Avant de r´epondre `a cette question, lire la section«Distribution of the sample variance» dans le premier article cit´e ci-dessous ou«Distribution des estimateurs» dans la version franc¸aise de l’article. La r´eponse serait dans le manuel s’il s’agissait de
1 σ2
n
X
i=1
(Yi−µ)2,
mais si on suppose queµn’est pas connue il faut l’estimer.
2. Quelle est sa variance ?
3. ´Etant donn´ee la r´eponse `a la partie pr´ec´edente, quelle est la variance th´eorique de l’estimateurs2?
4. G´en´erez un ´echantillon d’observations de taillend’une variable normale avecµ= 10etσ2 = 2. `A partir de l’´echantillon g´en´er´e, estimez la variance de la variable al´eatoire utilisants2. Faites ceci 1000 fois (mille r´ep´etitions) pour des tailles d’´echantillonnde 10, de 100, et de 1000.
5. Pour chaque valeur den, faites un histogramme des 1000 valeurs des2 obtenues.
6. Pour chaque valeur denet pour chaque valeur des2, cr´eez une variable al´eatoire standardis´ee en soustrayant la moyenne th´eorique de la variable (σ2) et en divisant par la racine carr´ee de la variance calcul´ee dans la partie (3) de la question. Maintenant, faites un histogramme des 1000 valeurs que vous trouvez.
7. Expliquez les diff´erences entre les deux ensembles d’histogrammes.
Pour r´epondre `a cette question, soumettez le code que vous avez ´ecrit pour effectuer vos calculs et des versions imprim´ees des histogrammes.
R´ef´erences
http://en.wikipedia.org/wiki/Variance http://mathworld.wolfram.com/
SampleVarianceDistribution.html
cr´e´e le 30/01/2009
