( ) APPLICATIONS LINEAIRES et MATRICES Exercices ( ) ( ) B base canonique de EXERCICE 1 : associe le reste de la division euclidienne de P par

1

APPLICATIONS LINEAIRES et MATRICES Exercices

EXERCICE 1 :

Soit l’applicationuqui à tout polynômeP 4

 

X associe le reste de la division euclidienne dePpar

2 1

X + +X

1) Calculer^{u X}

( )

⁴

2) Montrer que l’application uest linéaire 3) DéterminerKer u

( )

et en donner une base 4) Montrer que Im

( )

u = 1

 

X

EXERCICE 2 :

Soitnun entier naturel non nul et f l’application qui à tout polynômeP n

 

X associe ¹

( )

0P t dt



1) Montrer que l’application f est une forme linéaire non nulle. En déduire la dimension de

( )

Ker f

2) Déterminer une base de Ker f

( )

EXERCICE 3 : PT 2015

EXERCICE 4 : PT 2013

6. Etablir que :^

(

^{A P,}

)

^Mn

( )

^GLn

( )

^{,Tr P AP}

(

⁻¹

)

^{=Tr A}

^{( )}

EXERCICE 5 :

Déterminer dans les cas suivants la matrice de l’application linéaire f relativement aux basesB etB'

1)

( ) ( )

2 3

: , , ,

f x y x y x y

 →



 + B base canonique de ² ,B' base canonique de ³

2

2) : 2

 

2

 

'

X X

f P XP P

 →

 −

 B base canonique de 2

 

X

3)

 

( ) ( ) ( )

( )

3

: 2

0 , ' 0 , " 0 f X

P P P P

 →



 B base canonique de 2

 

X , B' base canonique de ³

4) ₂

( )

₂

( )

:

f M MA AM

 →

 −



M M

avec 1 1 A 1 1

=  

  , B base canonique de M2

( )

EXERCICE 6 :

On considère l’application linéaire f de ³dans ³définie par :

( ^{, ,} ) ( ^{3 2 , 2 4 , 3} )

f x y z = x − y x − z y − z

1) Ecrire la matrice

A

de f relativement à la base canonique de ³

2) Calculer

A

²et

A

³, en déduire que f n’est pas un automorphisme de ³ EXERCICE 7 :

On considère l’espace vectoriel ³ muni de sa base canonique

B = ( e e e

1

, ,

2 3

)

et l’endomorphisme u de ³dont la matrice dans la base B est :

2 1 0

3 1 1

1 0 1

M

 

 

= − − 

 − 

 

1) Déterminer le noyau de u, préciser sa dimension. En déduire la dimension de

Imu

dont on précisera une base.

2) CalculerM²,M³.

On note u²l’endomorphismeu u.

3) DéterminerImu², préciser sa dimension

4) En déduire la dimension du noyau de u²dont on précisera une base EXERCICE 8 :

Soit f l'endomorphisme de ³ dont la matrice dans la base canonique estM=

















1 1 0

0 1 1

1 0 1

1) DéterminerKer f . En déduire que f est un automorphisme de ³ 2) Trouver la matrice de f⁻¹dans la base canonique de ³.

EXERCICE 9 :

Soientnun entier naturel non nul et a₁,....,a_ndes éléments de Kdistincts deux à deux Soit l’application f :

 

( ) ( )

(

¹ 1 ,...,

)

n n

n

K X K

P P a P a

 − →





3) Montrer que l’application f est linéaire

4) Montrer que l’application f est injective. En déduire que l’application f est bijective 5) Soit

(

e1,...,e_n

)

la base canonique deKⁿ, déterminer, pour tout entier i 1,n , le polynôme

( )

1

i i

L = f⁻ e (la notation L_iest un hommage à Lagrange) 6) Montrer que

(

L1,...,L_n

)

est une base de Kn₋1

 

X

7) Déterminer la matrice de passage de

(

L1,...,Ln

)

à la base canonique de Kn₋1

 

X

3 EXERCICE 10 :

On considère l’espace vectoriel ³ muni de sa base canonique

B = ( e e e

1

, ,

2 3

)

et l’endomorphisme f de ³ , dont la matrice dans la base B est :

1 0 2

1 1 1

1 0 2

A

− −

 

 

=  

 

 

1) Donner une base du noyau de f ainsi qu’une base de l’image de f.

Soient les vecteurs : u= −2e₁+ +e₂ e₃ ;v=e₂ ;w= − + +e₁ e₂ e₃

2) Montrer que

^{C =} ( ^{u v w , ,} )

est une base de ³. Donner la matrice de f dans la base C EXERCICE 11 :

Soit un réel met soitg id f, , _mles endomorphismes de ³ de matrices respectives A I M, , _m

= mA J +

dans la base canonique de ³ :

0 1 0 1 0 0 1 1 1

1 0 0 , 0 1 0 , 1 1 1

0 0 1 0 0 1 1 1 1

A I J

     

     

=  =  = 

     

     

Soit

^{C =} ( ^{u v w , ,} )

^avec

^{u = −} ( ^{1, 1,0 ,} ) ^{v =} ( ^{1,1, 2 , −} ) ^{w =} ( ^1,1,1 )

1) Donner une base de l’image et du noyau de l’endomorphisme f₀. f₀ est-il un automorphisme de ³ ?

2) Déterminer f₋₃

( e

1

+ + e

2

e

3

)

.En déduire que f₋₃ n’est pas un automorphisme de ³ . 3) Montrer que, pour

^{m − −}  ^3,0 

^, fm est un automorphisme de ³.

4) Montrer que

^{C =} ( ^{u v w , ,} )

est une base de ³ .Exprimer

f

m

( ) u ^; f

m

( ) ( ) v ^; f

m

w

en fonction des vecteurs u v w, , .En déduire la matrice de f_m dans la base C.

EXERCICE 12 :

On désigne par E l’espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 4. On considère l’application f qui à tout élément P de E associe le polynôme

^{f P} ( )

défini par :

^{f P} ( ) ( ^{= X − 1} ) ^{P ' − P}

1) Montrer que f est un endomorphisme de E.

2) Ecrire la matrice de f relativement à la base canonique B de E 3) Déterminer le noyau de f en déduire le rang de f ; préciser l’image de f.

On considère l’application f² = f f

4) Pour tout élément P de E, exprimer

^f

²

( ) ^P

à l’aide de P P P, ', '' 5) Ecrire la matrice de f²dans la base B

6) Déterminer le noyau de f² et en déduire le rang de f². EXERCICE 13 : PT 2009

4 EXERCICE 14 :

Soit s l’endomorphisme de IR³ dont la matrice dans la base canonique de IR ³ est 1 3

1 2 2

2 2 1

2 1 2

−

−

−















 Montrer que s est une symétrie dont on donnera les éléments caractéristiques

EXERCICE 15 :

On note f l’endomorphisme de ³dont la matrice dans la base canonique

B = ( e e e

1

, ,

2 3

)

est 3 1 0

3 0 1 1 0 0 A

 

 

= − 

 

 

.

D’autre part, on considère les trois éléments v v v₁, ₂, ₃ de ³définis par :

1 1 2 2 3; 2 2 3; 3 3

v = −e e +e v = − +e e v =e

1) Calculer e e e₁, ₂, ₃ en fonction dev v v₁, ₂, ₃.

2) Montrer que

B ' = ( v v v

1

, ,

2 3

)

est une base de ³.On note P la matrice de passage de la base B à la base B’ ; calculerP P, ⁻¹.

3) Déterminer la matrice

A '

de l’endomorphisme f relativement à la base B’.

4) Calculer

( ) ( ) ( )

^{A' ,2 A' ,3 A' npuis}

^A

ⁿ pour tout entier naturel non nul n.

EXERCICE 16 :

Dans l’espace vectoriel ⁴muni de sa base canonique

B = ( e e e e

1

, , ,

2 3 4

)

on considère les quatre vecteurs :

f

1

= ( 1,1,1,1 ; ) f

2

= ( 1,1, 1, 1 ; − − ) f

4

= − ( 1, 1,1, 1 ; − ) f

4

= − − ( 1, 1, 1,1 )

1) Montrer que

( f f

1

,

2

, f

3

, f

4

)

est une base de ⁴. On notera désormais cette base C.

2) On considère l’endomorphisme u de ⁴défini par les relations :

( )

1 1

; ( )

2 2

; ( )

3 3

; ( )

4 4

u e = f u e = f u e = f u e = f

a) Montrer que u est un automorphisme de ⁴. Expliciter sa matrice associée dans la base canonique B.

b) Déterminer la matrice associée à l’endomorphismeu²et la matrice associée à l’endomorphisme réciproque de u dans la base B.

c) Déterminer la matrice associée à l’endomorphisme u dans la base C.

5 EXERCICE 17 :

On considère les matrices suivantes deM4

( )

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I

 

 

 

=  

 

 

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

J

 − 

 

 

=  

 − 

 

,

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

K

 − 

 − 

 

=  

 

 

et

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

L

 

 − 

 

=  

 − 

 

On note E le -espace vectoriel engendré par (I, J, K, L) et Id l’endomorphisme identité de E.

On pose A = J + K.

1) Montrer que (I, J, K, L) est une base de E et donner la dimension de E.

2) a) Exprimer J K, K L et L J en fonction respectivement de L, J et K.

b) Calculer J ², K ² et L ² puis en déduire que K J = – L, L K = – J et J L = – K.

c) En déduire que E est stable pour le produit matriciel.

3) Calculer A ². En déduire que A est inversible et exprimer A ^–1en fonction de A.

4) On considère l’application



_Aqui à toute matrice M de E associe A (M) = A M A^–1.

a)

Montrer que l’application



_Aest un endomorphisme de E.

b)

Déterminer Ker



_Apuis montrer que



_Aest un automorphisme de E

c)

Écrire la matrice de



_Aet



_A⁻¹dans la base (I, J, K, L),

EXERCICE 18 :

Pour toute matrice M élément de M2(IR), on noteM^Tla matrice transposée de M On pose: E1 = 1 0

0 0



 

^{, E2 =} 0 1 0 0



 

^{, E3 =} 0 0 1 0



 

^{, E4 =} 0 0 0 1



 

^.

On rappelle que la famille B=

(

E E E E1, 2, 3, 4

)

est la base canonique deM2

( )

. On note  l’application qui à toute matrice M de M2(IR) associe  (M) = M +M^T. 1) a) Montrer que  est un endomorphisme de M2(IR).

b) Écrire la matrice A de  dans la base B c) En déduire que  est non bijectif.

3) a) Montrer que Im  = vect (E1, E2 + E3, E4), puis établir que dim Im  = 3.

EXERCICE 19 :

Déterminer le noyau et l’image de la matrice A dans les cas suivants :

1 1 1 1 1 1 0 0

2 1 1

1 1 1 1 0 1 1 0

1 2 1 ; ;

1 1 1 1 0 0 1 1

1 1 2

1 1 1 1 1 0 0 1

A A A

   

− −

     

     

= −− − −  =  = 

   

EXERCICE 20 :

Soient deux réels et , et une matrice _,

1 3

2 1 2 1

1 1 2 0

M

 

 

= − 

− 

 

Déterminer les réels et pour lesquelles l’application linéaire associée à M _, est surjective EXERCICE 21 :

Soient AM3,2

( )

etBM2,3

( )

telles que

1 0 0

0 1 0

0 0 0

AB

 

 

=  

 

 

1) Déterminer les rangs de A etB

2) Calculer BA en observant que

( )

^{AB 2=AB}

6

Soit Eun espace vectoriel de dimension finien ^*et uun endomorphisme deEdifférent de 2Id_Eet de 2− Id_E , vérifiant :u² + −u 6Id_E =0

1) Montrer que uest un automorphisme d eEet exprimer u⁻¹en fonction de Id_Eet deu

2) Dans l’espace vectoriel des endomorphismes de E, on considère le sous espace Fengendré par uetId_E

a) Montrer que la famille

(

^{Id u}_E^,

)

est libre, en déduire la dimension deF b) Prouver que les endomorphismes de fFvérifiantf f = f , différents de

l’endomorphisme nul et de l’identité de E, sont les endomorphismes petqdéfinis par :

( )

1 2

5 ^E

p= Id −u et ¹

(

³

)

5 ^E

q= Id +u c) Calculer p qetq p

d) Etablir que la famille

(

^{p q,}

)

est une base d eF

e) Déterminer les coordonnées de uet deu⁻¹dans la base

(

^{p q,}

)

f) Exprimer, pour tout entier naturelknon nul, p^ken fonction dep

g) Etablir que, pour tout entier naturel n,uⁿpeut s’écrire comme combinaison linéaire depet q.Donner les coordonnées de uⁿdans la base

(

^{p q,}

)