Score IAE Message 2008 MATHEMATIQUES CORRIGE
Q1 : D
La valeur médiane est celle en-dessus et en-dessous de laquelle on trouve le même nombre de valeurs.
En les classant par ordre croissant : 178, 209, 229, 231, 232. Ici : 229.
Q2 : C
On sait que V(X) = E(X²) – E(X)², soit ici : 2 = E(X²) – 9. Donc E(X²) = 11
Q3 : B
Le premier quartile est la durée du 50ème appel (puisqu’il y en a 200 en tout), ces derniers étant classés par ordre croissant de durée. Il s’agit donc de la durée du 15ème appel de la seconde classe, qui en totalise 45. Il faut donc parcourir le tiers de la seconde classe, ]5 ; 10], soit en théorie 6,67 minutes. La réponse la plus proche est 6,63.
Q4 : C
Avec B(5, 1/2), le nombre possible de succès X est compris entre 0 et 5. Donc p(X ≤ 4) = 1 – p(X = 5)
= 1 – 1/25 = 1 – 1/32 = 31/32
Q5 : C
Il suffit de tester les valeurs. La troisième équation élimine d’entrée les propositions B et D.
Q6 : B
Question de cours
Q7 : D
p(rouge ∩ fonctionne) = p(rouge) × prouge(fonctionne) = 16/26 × 1/4 = 4/26 = 2/13
Q8 : D
Si on sait que la suite converge, alors à la limite un+1 se confond avec un dans la même valeur, L, limite de la suite. Ainsi, la relation un+1 = un / (1 + un²) devient L = L / (1 + L²), soit 1+L² = 1 et donc L = 0.
Q9 : A
Ce n’est pas très clair, mais il semble bien que la question posée soit relative à la fameuse question 39.
On sait que p(connait) = 1/2 et bien sûr pconnait(bonne) = 1 ; à côté de cela, p(neconnaitpas) = 1/2 et dans ce cas pneconnaitpas(bonne) = 1/5.
Donc pbonne(connait) = p(bonne ∩ connait) / p(bonne) = 1/2×1 / (1/2×1 + 1/2×1/5) = 5/6
Q10 : C
Lorsque x = -1, le numérateur s’annule, ainsi que le dénominateur. Ainsi, chacun se factorise par x + 1.
La fraction rationnelle est en fait (x+1)(2x-3) / (x+1)(x+2) = (2x-3) / (x+2), qui vaut -5 pour x = -1.
Q11 : A
La probabilité d’un double est 6/36 = 1/6. Le contraire (deux différents) a donc une probabilité de 5/6.
Q12 : C
(L’équation de la droite a un coefficient directeur (a = -4/3) négatif ; le coefficient de corrélation r cherché est donc négatif)
De plus, r = cov(X,Y)/(σXσY) et a = cov(X,Y)/(σXσX), donc r = aσX/σY = -4/3×3/2 / (5/2) = -4/5.
Q13 : A
( )
. /2 2 /
2 1 1 2 1 1 5
2 1 4 1 5 5 5
2 1 1 2
4
x x
f x f
x x
′ = = ′ = = = =
+ + +
Q14 : A
( )
.( )
.( )
...!
2 e
e 1 e 2 e
2 2
k
p X k p X p X
k
λλ λ λ λ λ λ −λ
− − −
= = = = = = =
Donc λ = λ², soit λ = 1. Et ainsi
( )
!
3
11 1
3 e
3 6e
p X = = − =
Q15 : B
cov(X,Y) = 1 7 18 20 16 61 19
5 4 20
4 4 4
n i i i
x y
x y n
= − × = + + + − × = − =−
∑
Q16 : A
Le logarithme doit exister, donc x > 1. Ce critère assure que la racine carrée soit définie aussi.
Q17 : D
On peut passer beaucoup de temps en considérant des formules générales et partir sur : E(X²-X) = E(X²) – E(X). Or V(X) = E(X²) – E(X)² ; donc E(X²-X) = V(X) + E(X)² - E(X), etc.
Il faut voir ici que le cas est simple, et que si X est la variable 0, 1, 2, alors X(X-1) est la variable 0, 0, 2.
Donc, E(X(X-1)) = 0,25×0 + 0,25×0 + 0,5×2 = 1
Q18 : B
La somme vaut 1 + (1+1/2) + (1+1/2+1/2) + (1+1/2+1/2+1/2) + …
Nombre de « 1 » : 11 ; nombre de « 1/2 » : 1 + 2 + 3 + … + 10 = 55. Total : 11 + 55/2 = 77/2
Q19 : C
La probabilité de ne pas obtenir 6 est 5/6 × 5/6 = 25/36. La probabilité du contraire est donc 11/36.
Q20 : D
voir le produit matriciel dans le chapitre correspondant.
Q21 : B
erreur d’affichage : le tableau présent dans la question 21 est en fait celui de la question 22.
Nommons « A » l’événement « avoir un accident ».
p(A) = p(A ∩ R1) + p(A ∩ R2) = pR1(A)×p(R1) + pR2(A)×p(R2) = 0,1×0,4 + 0,25×0,6 = 0,19
Q22 : D
Il y a en tout 100 étudiants. Le 50ème étudiant est le 10ème de la troisième classe, qui en compte 40.
Il faut donc parcourir 1/4 de la troisième classe, ce qui nous porte à 31,25.
Q23 : C
La dernière instruction affecte à y la valeur de z. On doit donc retenir les propositions C et D.
x :=t implique que x = 4, puis t :=-x que t = -4.
Q24 : E
La droite y = -1 est parallèle à l’axe des x. Elle représente donc une limite de f(x) en + ou -∞. Or les limites de cette fonction en l’infini sont 0, et non -1. Aucune réponse ne convient.
Q25 : B
ln ln ln ln ln ln
6
0 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2
0
eun e e e e e e e 1 2 4 8 16 32 64 127
n=
= + + + + + + = + + + + + + =
∑
Q26 : E
Le déterminant d’une matrice non carrée n’existe pas.
Q27 : C…
Il faut choisir 20 personnes parmi 60 pour un médecin, puis 20 personnes parmi 40 pour un autre (puis on n’a plus le choix pour le troisième), tout cela multiplié par le nombre d’ordres possibles des
médecins (3 ! = 6 ordres possibles) en face de chaque groupe.
( )
! ! !
! ! ! ! !
20 20
60 40 3
60 40 60
6 6 6
20 40 20 20 20
C ×C × = × × = ×
Il est raisonnable de supposé que les auteurs du test se soient trompés et aient oublié la multiplication par 6. Je penche donc pour la réponse C.
Q28 : D
L’espérance vaut np, donc 4p = 1 et p = 1/4 = 0,25. p(X = 1) = 4×(1/4)×(3/4)3 = (3/4)3
Q29 : E
La moyenne se calcule par (0 + 6 + 2x + 30 + 20 + 10)/(27 + x) et vaut 2,5.
Donc 66 + 2x = 67,5 + 2,5x, soit 0,5x = -1,5… aucune réponse ne convient.
Q30 : E
Si n (nombre d’essais) = 9, X (nombre de succès) ne peut valoir 10…
