Probabilités au
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Dénombrement
Q 1. Le code d’ouverture d’un coffre est composé de 4 chiffres (0 à 9) et d’une lettre A ou B. Quel est le nombre de codes possibles ?
A. 40 B. 102 C. 150 D. 104 E. 2 × 104
Q 2. Une combinaison à 4 chiffres (de 0 à 9) pour votre nouveau digicode d’entreprise a été installée. Vous n’avez pas encore eu la combinaison, mais vous savez qu’elle ne comporte pas le chiffre 4, que la moitié des chiffres sont inférieurs à 4 et que les deux chiffres en dernières positions sont supérieurs à 4. Combien cela vous laisse-t-il de combinaisons possibles ?
A. 128 B. 256 C. 400 D. 625 E. 1000
Q 3. On a un groupe de 7 hommes et 10 femmes, on veut constituer une équipe formée de 4 hommes et 3 femmes.
Combien existe-t-il de manières différentes de former cette équipe ?
A. 300 B. 420 C. 3000 D. 4200 E. 7000
Q 4. Combien d’anagrammes différentes peut-on former avec les lettres : « AASEEE » ?
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 E. 720
Q 5. Combien d’anagrammes différentes peut-on former avec les lettres « AZERTY » ?
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 E. 720
Q 6. Une réunion au ministère de l’Intérieur a réuni 16 préfets.
Chacun d’eux a serré la main de tous les autres, combien cela fait-il de poignées de main au total ?
A. 15 B. 120
C. 128 D. 240 E. 256
Q 7. Combien d’anagrammes différentes peut-on former avec les lettres : « ABABAB » ?
A. 20 B. 60 C. 90 D. 120 E. 720
Q 8. Une fille possède deux vernis à ongles, l'un est de couleur noire et l'autre est de couleur rouge. Elle souhaite mettre du vernis sur chacun des 10 ongles de ses mains (aucun des ongles ne sera de deux couleurs à la fois). De combien de façon peut-elle le faire ?
A.
A
102B.
C
102C. 210 D. 102 E. 4
Q 9. Un étudiant doit passer un examen oral. L'examinateur lui a demandé de choisir 3 questions parmi 10 questions qu'il lui a proposées (chacune de ces 3 questions sera notée sur autant de points que l'autre). Quel est le nombre de choix possibles ?
A. 103 B. 10 × 9 × 8 C. 10 × 4 × 3 D. 3 E. 10/3
Q 10. Jean connaît un groupe d'amis composé de 10 hommes et 6 femmes. Il souhaite inviter chez lui 2 hommes et 2 femmes de ce groupe. Quel est le nombre de choix possibles ?
A.
C
164B.
C
102× C
62C.
A
164D.
A
102× A
62E.
C
102+ C
62Q 11. Vous avez placé l’ensemble de vos économies dans un petit coffre-fort à combinaison numérique composée de 4 roulettes numérotées de 0 à 9. Sachant que les 4 chiffres du code sont tous différents et classés par ordre croissant, combien de combinaisons sont-elles possibles ?
A. 6561 B. 210 C. 36 D. 120 E. 3024
Q 12. Le personnel d'un magasin est constitué d'une équipe de 3 vendeurs ; chacun d'eux a droit à un jour de repos par
semaine en plus du dimanche. Le magasin doit ouvrir tous les jours de la semaine à l'exception du dimanche. De combien de façons peut-on choisir les journées de repos (le dimanche n'est pas compté comme une journée de repos) de ces 3 vendeurs, de sorte qu'au moins l'un d'entre eux soit présent à chaque jour d'ouverture du magasin durant la semaine ?
A. 210 B. 216 C. 17 D. 120 E. 18
Calculs de probabilités
Q 13. Un magasin accepte les cartes de crédit American Express ou VISA. 27 % de ses clients possèdent une carte American Express ; 65 % une carte VISA et 78 % au moins l'une des deux cartes. Quel est le pourcentage des clients possédant les deux cartes à la fois ?
A. 0%
B. 14%
C. 27%
D. 78%
E. 38%
Q 14. On dispose d'un dé non pipé à 6 faces. On lance successivement ce dé jusqu'à ce que l'on obtienne un 5 ; on admet que les lancers sont indépendants. Quelle est la probabilité que le nombre de lancers nécessaires soit égal à 3 ?
A. 25/216 B. 1/18 C.
5
26
D. 5/216 E. 1/30
Q 15. Un professeur choisit au hasard un élève de la classe pour corriger un exercice. Sachant que la classe compte 30 élèves dont 14 filles et 6 d'entre elles portent des lunettes et au total 10 élèves portent des lunettes, quelle est la probabilité que l'élève choisi soit un garçon sans lunettes ?
A. 1/3 B. 2/3 C. 1/5 D. 2/5 E. 1/4
Q 16. Suite à un déménagement, Robert a rangé dans un carton les 57 livres qu'il possède, parmi lesquels 6 sont
dédicacés. Juste après avoir ouvert le carton, Robert y a choisi au hasard 4 livres pour les ranger dans sa bibliothèque. Quelle est la probabilité que parmi ces 4 ouvrages, il y en ait exactement 2 qui soient dédicacés ? A.
2 6 4 57
C C
B.
2 6 4 57
A A
C.
2 2
6 51
4 57
C C C
×
D.
2 2
6 51
4 57
A A A
×
E.
2 2
6 51
4 57
A A C
×
Q 17. Au loto, il faut cocher 5 numéros sur une grille qui en comporte 49. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un des 5 numéros cochés par un joueur coïncide avec l'un des 5 numéros désignés par le tirage au sort?
A. 1/5 B.
5 5
49 44
5 49
C C C
−
C.
1 5 5 49
C C
D.
1 5
5 44
5 49
C C C
×
E. 1/49
Q 18. François et Laurent font partie d’un groupe de 6
personnes qui doivent occuper 6 sièges numérotés autour d’une table ronde. Ces 6 personnes sont placées au hasard. La probabilité que François et Laurent soient placés l’un à côté de l’autre vaut :
A. 2/5 B. 1/6 C. 1/3 D. 1/2 E. 1/5
Q 19. Une urne contient 5 boules noires, 3 boules rouges et 7 boules blanches. On tire 5 fois de suite une boule dans l’urne ; à chaque tirage on note la couleur de la boule prélevée puis on la remet dans l’urne. La probabilité de l’événement « au troisième tirage on obtient pour la première fois une boule noire » vaut :
A. 1/3 B. 1 C.
1
33
D.
2
33
E.
2
21
3 3
×
Q 20. Au jeu de la roulette, la roue porte le numéro 0 en plus des numéros 1 à 36. La couleur correspondant au numéro 0
est le vert, la couleur correspondant à une moitié des numéros entre 1 et 36 est le rouge et la couleur
correspondant à l'autre moitié est le noir. Lorsqu'un joueur mise sur le rouge (c'est-à-dire qu'il gagne si un numéro correspondant à cette couleur sort), sa probabilité de gain vaut (on suppose que le jeu n'est pas truqué) :
A. 1/2 B. 18/37 C. 1/37 D. 18/35 E. 1/36
Q 21. Un joueur lance simultanément deux dés non pipés, l’un est rouge et l’autre est bleu et chacun d’eux comporte 6 faces. La probabilité qu’à l’issue de ce lancer la somme des points marqués par les deux dés soit égale à 5 vaut : A. 1/6
B. 5/6 C. 5/12 D. 4/36 E. 3/36
Q 22. Pour promouvoir la vente d'un four électrique une entreprise a décidé de faire de la publicité en envoyant des tracts. Cependant pour des raisons de restrictions budgétaires, des tracts n'ont pu être envoyés qu'à un 1/3 des clients potentiels. Des études ont montré que la probabilité qu'un client potentiel achète ce four est de 1/6 lorsqu'il a reçu le tract et qu'elle est de 1/12 lorsqu'il ne l'a pas reçu. On choisit au hasard un client potentiel, la probabilité qu'il achète le four est de :
A. 1/6
B.
1 1 1
2 12 6
+
C. 1/12 D.
1 1
12 + 6
E. 1/9
Q 23. Vous jouez avec un dé classique et un jeu de 52 cartes.
Vous lancez le dé et vous tirez une carte au hasard dans le paquet. Quelle est la probabilité que la valeur de votre dé soit la même que le chiffre sur votre carte ?
A. 1/13 B. 3/26 C. 6/13 D. 4/6 E. 1/18
Q 24. Une urne contient 2 boules blanches et 5 boules noires.
On prélève 2 boules, l’une après l’autre, sans remise.
Quelle est la probabilité que les 2 boules ne soient pas de la même couleur ?
A.
5 2 2 5
6 × + × 7 6 7
B. 1/2 C.
5 2
6 × 7
D.
2 7 6 × 5
E. 2/5
Q 25. Trois trains désignés par t1, t2 et t3 sont censés arriver à une certaine gare aux environs de 20 heures. Cependant à cause d’une grève, il est possible qu’ils aient du retard.
Plus précisément pour i = 1 ou i = 2 ou i = 3 désignons par Ri l’événement « le train ti a du retard », on admet que Proba(R1) = 1/4 ; Proba(R2) = 1/3 ; Proba(R3) = 1/2 ; Proba(R1 et R2) = 1/6 ; Proba(R1 et R3) = 1/5 ; Proba(R2 et R3) = 1/4 ; Proba(R1 et R2 et R3) = 1/10.
Quelle est la probabilité que ces 3 trains arrivent tous à l’heure ?
A.
3 2 1 4 × × 3 2
B. 17/30 C. 13/30 D. 1/8 E. 1/2
Q 26. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de tirer une figure (valet, dame ou roi) ?
A. 3/12 B. 3/13 C. 12/32 D. 13/52 E. 16/52
Q 27. Un dé pipé tombe dans un quart des cas sur sa face à 6 points. Les autres faces sont équiprobables. Quelle est la médiane des scores de ce dé ?
A. 3 B. 3,25 C. 3,5 D. 3,75 E. 4
Q 28. Dans un carton ont été rangés 20 livres de 20 auteurs différents ; 8 parmi eux sont scientifiques et les 12 autres sont littéraires. On choisit au hasard 3 livres dans ce carton, quelle est la probabilité qu’au moins un des livres choisis soit scientifique ?
A. 1/2 B.
1 8 3 20
C C
C.
1 8 3 20
A A
D.
2 1
12 8
3 20
C C C
×
E. 46/57
Q 29. Une urne contient 3 boules rouges, 3 boules blanches et 3 boules noires. On prélève successivement, l'une après l’autre, sans remise, les boules de cette urne. Quelle est la
probabilité qu’une boule noire apparaisse pour la première fois au quatrième tirage ?
A.
2
31
3 3
×
B. 1/3 C. 5/42 D.
1
43
E. 13/42
Q 30. Lors d’un lancer de dé, quelle est la probabilité de ne jamais tomber sur le 4 après 5 lancers successifs ? A. 0,08
B. 0,16 C. 0,2 D. 0,4 E. 0,8
Q 31. On lance 2 dés classiques. Quelle est la probabilité qu’on obtienne une somme de 10 points avec les 2 faces ? A. 1/18
B. 1/12 C. 1/9 D. 1/6 E. 1/4
Q 32. Les statistiques indiquent que 51% de la population est composée de femmes et que 45% de la population porte des lunettes. Une proportion de 200 étudiants vérifie ces statistiques. Sachant que 30% de la population est composée d’hommes qui portent des lunettes, combien y- a-t-il de femmes sans lunettes dans ce groupe ? A. 50
B. 60 C. 72 D. 102 E. 110
Q 33. Vous tirez une première carte dans un jeu de 32 cartes et une seconde dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient du même symbole (pique, cœur, carreau ou trèfle) ?
A. 1/4 B. 1/8 C. 4/21 D. 4/32 E. 32/52
Q 34. Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher, 7 rouges, 3 vertes et 5 jaunes. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ou jaune ?
A. 1/3 B. 2/3 C. 1/15 D. 7/15 E. 4/5
Q 35. Une bibliothèque propose à ses lecteurs 150 romans policiers et 50 biographies. 40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de biographies
sont français. Un lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages. Quelle est la probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier d’un écrivain français ? A. 0,25
B. 0,3 C. 0,4 D. 0.6 E. 0.75
Q 36. Thomas, Laurent, Pierre et Paul sont 4 employés d’une entreprise. On va leur attribuer 2 nouveaux bureaux ; chacun de ces bureaux sera occupé par 2 personnes choisies au hasard parmi eux. Quelle est la probabilité que Thomas et Paul soient dans le même bureau ?
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 2
4
1 C
E. 2 4
1 A
Q 37. La probabilité qu’un certain DVD soit disponible dans un magasin M1 est de 50% ; la probabilité qu’il soit disponible dans un magasin M2 est de 40% ; la probabilité qu’il soit en rupture de stock dans ces deux magasins à la fois est de 20%. Quelle est la probabilité qu’il soit disponible uniquement dans l’un des deux magasins ? A. 40%
B. 60%
C. 90%
D. 80%
E. 70%
Q 38. On dispose d’un dé classique dont les faces sont
numérotées de 1 à 6 et d’un second dé dont les faces sont numérotées de 3 à 8. Quelle est la probabilité qu’on obtienne deux faces identiques sur un lancer ? A. 1/18
B. 1/12 C. 1/9 D. 1/6 E. 1/4
Q 39. Un pilote de formule 1 au départ d’un grand prix sait qu’il a 10% de chance d’avoir un accident. Comme il part du côté gauche, la probabilité d’un accident venant de la gauche est de 5% et celle d’un accident venant de la droite est de 9%. Quelle est la probabilité d’être pris en accident simultanément par la gauche et par la droite ? A. 4%
B. 5%
C. 5,66%
D. 6%
E. 10%
Q 40. Quelle est la valeur médiane de l’ensemble des sommes possibles que l’on peut obtenir en lançant 2 dés ? A. 5
B. 6
C. 7 D. 8 E. 9
Q 41. On lance deux dés non pipés, l’un est rouge et l’autre est bleu et chacun d’eux comporte 6 faces. Quelle est la probabilité que le résultat affiché par le dé rouge soit différent de celui affiché par le dé bleu ?
A. 1/2 B. 5/36 C. 5/6 D. 1/6 E. 1/36
Q 42. Quatre personnes jouent ensemble au poker avec un jeu de 32 cartes. 3 cartes sont distribuées à chaque joueur, et l’un des joueurs remarque qu’il a alors 3 As dans son jeu.
Sachant que le quatrième As n’a pas encore été distribué à cet instant du jeu, quelle est la probabilité que ce joueur obtienne un carré d’As sachant que 2 cartes doivent encore être distribuées à chacun des 4 joueurs ? A. 1/10
B. 1/16 C. 1/20 D. 1/29 E. 1/32
Q 43. Lorsque vous vous déplacez en voiture en ville, on peut estimer que votre chance de causer un accident est égale à 4%. Lorsque vous vous déplacez en vélo, on estime cette même probabilité à 10%. Sachant que 6% des accidents concernent des voitures contre des vélos et que vous vous déplacez à moitié en voiture et à moitié en bicyclette, quelle est votre chance de causer un accident lors d’un déplacement ?
A. 4%
B. 6%
C. 7%
D. 8%
E. 10%
Q 44. Dans un club de jeu d’escrime, les trois quarts des joueurs sont des hommes et le reste sont des femmes. Parmi les hommes la proportion de gauchers est de 20% ; parmi les femmes la proportion de gauchères est de 40%. On choisit au hasard une personne parmi l’ensemble de tous les joueurs (homme ou femme). Quelle est la probabilité que la personne soit droitière ?
A. 30%
B. 50%
C. 25%
D. 75%
E. 70%
Q 45. Un certain concours comporte une première phase de sélection basée sur des épreuves écrites. Ensuite les candidats déclarés admissibles (c’est-à-dire ceux qui n’ont pas été éliminés aux écrits) sont convoqués à des épreuves orales à l’issue desquelles certains d’entre eux sont déclarés admis au concours. La probabilité qu’un candidat qui n’a pas encore passé les épreuves écrites soit déclaré admis au concours est de 10%. La probabilité
qu’un candidat admissible soit déclaré admis au concours est de 30%. Que vaut la probabilité qu’un candidat soit déclaré admissible au concours ?
A. 3%
B. 10%
C. 30%
D. 1/2 E. 1/3
Q 46. Paul souhaite téléphoner à un ancien camarade de promotion dont il a perdu le numéro et dont il a oublié le prénom. Cependant Paul se rappelle du nom de famille et il sait avec certitude que le numéro qu’il cherche est dans l’annuaire. Paul consulte donc l’annuaire et y trouve les numéros de 5 personnes qui portent le même nom de famille que son ancien camarade. Paul commence donc à essayer ces numéros l’un après l’autre et on admet qu’à chaque essai quelqu’un lui répond. Quelle est la
probabilité que Paul puisse joindre son camarade au bout du 3ème essai ?
A.
4
21
5 5
×
B. 1/15 C. 1/125 D. 1/5 E. 1/60
Q 47. On dispose d’un dé classique dont les faces sont
numérotées de 1 à 6 et d’un second dé dont les faces sont numérotées de 4 à 9. Quelle est la probabilité qu’on obtienne deux faces identiques sur un lancer ? A. 1/18
B. 1/12 C. 1/9 D. 1/6 E. 1/4
Q 48. Une maladie génétique est souvent causée par la présence simultanée de plusieurs gènes ayant muté. 3 gènes A, B et C (indépendants car sur plusieurs chromosomes différents) présentent un taux de mutation dans la population de 1%, 2% et 3%. Sachant que la présence minimum de deux de ces trois gènes suffit à déclencher la maladie, combien y a-t-il de victimes de cette maladie sur 1 000 000 de personnes ?
A. 6 B. 600 C. 1088 D. 1100 E. 6000
Q 49. Un fabricant d'ordinateurs achète les écrans chez trois fournisseurs différents désignés par A, B et C. 20 % des écrans proviennent de A, 30 % de B et 50 % de C. De plus un écran fourni par A a une probabilité de 8 % de
présenter un défaut, un écran fourni par B une probabilité de 6 % et un écran fourni par C une probabilité de 2,5%.
Un employé du service de contrôle qualité de ce fabricant a choisi au hasard un ordinateur dans un lot qui vient de
sortir de la chaîne de montage. La probabilité que cet ordinateur présente un défaut au niveau de l'écran est de : A. 4,65%
B. 5,5%
C. 7%
D. 4%
E. 3%
Q 50. Lors d’un voyage linguistique en Angleterre, vous avez découvert la course de lévriers. Pour gagner, vous devez trouver dans l’ordre les 2 premiers de chacune des 2 courses se déroulant à 16h30 et 16h50. Il y a 12 lévriers partant lors de la première course et 9 dans la seconde.
Quelle est la probabilité de gagner ? A. 1/108
B. 1/9504 C. 1/204 D. 2/9504 E. 72/132
Q 51. Un ordinateur est considéré comme défectueux lors d’un contrôle qualité s’il présente deux défauts désignés par Alpha et Béta.
Lorsque l’on prélève un lot de 1000 ordinateurs, on constate que 100 ordinateurs présentent le défaut Alpha (et peut-être aussi le défaut Béta), 80 ordinateurs présentent le défaut Béta (et peut-être aussi le défaut Alpha) et 40 ordinateurs présentent simultanément les défauts Alpha et Béta.
Quelle est la probabilité qu’un ordinateur prélevé ne présente aucun défaut ?
A. 60/100 B. 86/100 C. 14/100 D. 20/100 E. 40/100
Q 52. Un ordinateur est considéré comme défectueux lors d’un contrôle qualité s’il présente deux défauts désignés par Alpha et Béta.
Lorsque l’on prélève un lot de 1000 ordinateurs, on constate que 100 ordinateurs présentent le défaut Alpha (et peut-être aussi le défaut Béta), 80 ordinateurs présentent le défaut Béta (et peut-être aussi le défaut Alpha) et 40 ordinateurs présentent simultanément les défauts Alpha et Béta.
Quelle est la probabilité qu’un ordinateur prélevé présente le défaut Alpha et le défaut Béta ?
A. 60/1000 B. 86/1000 C. 14/1000 D. 20/1000 E. 40/1000
Q 53. Les études de gestion peuvent être réalisées par deux établissements E1 et E2. Ils fournissent respectivement 45
% et 55 % des gestionnaires recherchant un emploi. Et nous savons que 20 % des diplômés sont jugés médiocres par les employeurs.
Si vous embauchez un diplômé que vous jugez médiocre quelle est la probabilité qu'il soit diplômé de E2 ?
A. 45 % B. 50 % C. 55 % D. 60 % E. 75 %
Q 54. Jean-Guy joue avec un dé octogonal (huit faces), chaque face étant marquée d'un signe du zodiaque chinois différent. Il lance le dé deux fois de suite. Quelle est la probabilité qu'une face identique apparaisse lors des deux lancers ?
A. 1/12 B. 2/12 C. 3/4 D. 6/8 E. 1/8
Q 55. Jean-Guy joue avec un dé octogonal (huit faces) chaque face étant marquée d'un signe du zodiaque chinois différent. Il lance le dé deux fois de suite. Quelle est la probabilité que les deux faces soient différentes ? A. 1/12
B. 2/12 C. 3/4 D. 6/8 E. 7/8
Q 56. On dispose de deux urnes A et B, l’urne A contient 2 boules blanches et 4 boules noires, l’urne B contient 2 boules blanches et 2 boules noires. On lance un dé non pipé à 6 faces numérotées de 1 à 6, si le résultat obtenu est un nombre pair on tire une boule dans l’urne A et sinon on tire une boule dans l’urne B. La probabilité d’obtenir une boule blanche est de :
A. 4/10 B. 2/6 C. 5/12 D. 2/4 E. 4/4
Q 57. Joshua et Mohamed sont amis d’enfance et étudiants dans une classe de mathématiques supérieures
préparatoire aux grandes écoles d’ingénieurs. Après avoir organisé une journée portes ouvertes, les étudiants ont récolté de quoi financer l’inscription de deux d’entre-eux aux concours d’entrée de quatre écoles d’ingénieur. Pour cela ils vont procéder au tirage au sort du nom de deux élèves parmi les 28 que compte la classe. Quelle est la probabilité que Joshua et Mohamed soient tirés au sort ensemble ?
A. 1/378 B. 1/392 C. 1/729 D. 1/756 E. 1/784.
Q 58. On s’intéresse à 2 titres τ1 et τ2 cotés en bourse. D’après les statistiques, on sait que, dans les prochains jours, la probabilité que τ2 soit en hausse est de 30 %, la probabilité que τ1 soit en hausse est de 20 % et la probabilité que ces deux titres soient en hausse simultanément est de 5 %.
A supposer que τ2 soit en hausse dans les prochains jours, alors la probabilité que τ1 le soit aussi vaut : A. 50 %
B. 35 % C. 25 % D. 30 %
E. Produit impossible
Q 59. Un voleur souhaite voler le contenu d'un coffre-fort qui s'ouvre au moyen d'un code et ce voleur dispose des informations suivantes : le code est une suite de 5 chiffres, chacun d'eux peut être 0 ; 1 ; 2 ; ... ; 9 mais ces chiffres sont tous différents l'un de l'autre. Par ailleurs, pour des raisons de sécurité, le coffre-fort est bloqué
automatiquement si quelqu'un n'arrive pas à trouver le bon code au bout de 3 tentatives. La probabilité que le voleur ouvre le coffre-fort est de :
A. 1
10 9 8 7 2× × × × B. 35
10 C. 5
10
3 C
D. 5
10
3 A E.
10
53
Indépendance – probabilité conditionnelle
Q 60. Dans une certaine population de jeunes, 80 % des individus sont des étudiants, 20 % des individus sont des gauchers, 60 % des individus sont vaccinés contre l'hépatite B, 55 % des individus sont des étudiants vaccinés contre l'hépatite B et 12 % des individus sont des gauchers vaccinés contre l'hépatite B. On choisit au hasard un individu dans cette population et on désigne respectivement par E, G et V les événements « cet individu est un étudiant », « cet individu est gaucher » et
« cet individu est vacciné contre l'hépatite B ».Alors:
A. E et V sont indépendants, G et V le sont aussi B. E et V sont indépendants mais G et V ne le sont pas C. E et V ne sont pas indépendants mais G et V le sont D. E et V ne sont pas indépendants, G et V ne le sont pas
non plus
E. E et V sont indépendants
Q 61. Une entreprise s'est engagée dans deux projets
indépendants l'un de l'autre ; chacun de ces projets a une probabilité de 75 % d'être couronné de succès. La probabilité qu'un seul projet soit couronné de succès vaut : A. 93,75%
B. 75%
C. 37,5%
D. 50%
E. 56,25%
Q 62. Jean habite Paris et Marc habite Lille ; ils se sont donnés rendez-vous à Amiens. La probabilité que Jean arrive en retard à ce rendez-vous vaut 0,4 et celle que Marc arrive en retard vaut 0,2 ; par ailleurs on admet que les événements « Jean a du retard » et « Marc a du retard » sont indépendants. Calculer la probabilité qu'au moins l'une de ces deux personnes ne soit pas présente à l'heure exacte du rendez-vous :
A. 0,08 B. 0,52 C. 0,6 D. 0,68 E. 0,5
Q 63. On sait que la probabilité qu’une personne qui fume attrape une certaine maladie est 4 fois plus importante que celle d’une personne qui ne fume pas.
On dispose d’un échantillon d’individus dont la moitié sont des fumeurs ; on choisit au hasard un individu de cet échantillon. Sachant que cet individu est atteint de la maladie, quelle est la probabilité qu’il soit fumeur ? A. 80 %
B. 90 % C. 95 % D. 75 % E. 70 %
Q 64. Soit A et B 2 événements tels que P(A) = 1/2, P(B) = 3/4 et p(A∩B)=2/5. Quelle est la probabilité
P B
A( )
?A. 8/5 B. 3/20 C. 2/5 D. 3/10 E. 4/15
Q 65. Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50% des cahiers ont une reliure spirale et que 75% des cahiers sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, 40% ont une reliure spirale.
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. Quelle est la probabilité que le cahier choisi soit à grands carreaux ?
A. 0,25 B. 0,3 C. 0,5 D. 0,6 E. 0,75
Q 66. Dans l’objectif d’étudier l’efficacité d’un vaccin contre une certaine maladie, une étude a été menée sur un échantillon de 150 individus dont la moitié avaient été vaccinés. Sur les 150 individus, 25 ont attrapé la maladie ; parmi ces malades 5 avaient reçu le vaccin. On choisit au hasard un individu dans l’échantillon des 150 individus ; sachant que cet individu a échappé à la maladie, quelle est la probabilité qu’il ait été vacciné ?
A. 50%
B. 20%
C. 100%
D. 80%
E. 56%
Q 67. La police dispose d’un détecteur de mensonges dont le relevé est positif lorsqu’il estime avoir détecté un mensonge et négatif dans le cas contraire. Cependant ce détecteur n’est pas tout à fait fiable : lorsqu’une personne ment, le relevé a une probabilité de 95% d’être positif et lorsqu’une personne dit la vérité le relevé a une probabilité de 90% d’être négatif.
La police est en train d’interpeller un suspect qui prétend être innocent mais à priori il y a une chance sur deux pour que ce ne soit pas vrai. Pour en avoir le cœur net, la police décide d’utiliser son détecteur de mensonges. Sachant que le relevé du détecteur a été positif, que vaut la probabilité que le suspect soit réellement coupable ? A. 3/4
B. 1/2 C. 95%
D. 19/21 E. 90%
Variable aléatoire - espérance et variance
n 0 1 2 3 4 5
P(X = n) 1/12 2/12 a 3/12 b 1/12
Q 68. On dispose d'un échantillon de 100 ménages, on choisit l'un d'eux au hasard et on désigne par X le nombre aléatoire d'enfant(s) dans ce ménage. La loi de
probabilités de X est donnée par le tableau ci-dessus dans lequel a et b désignent des données manquantes.
Sachant que l'espérance mathématique de X vaut 2,5, calculer a et b :
A. a = b = 0 B. a = b = 1
C. a = 3/12 et b = 2/12 D. a = 2/12 et b = 3/12 E. a = 4/12 et b = 1/12
d 0 1 2 3 4 P(D = d) 0,1 p1 0,3 p3 0,15
Q 69. Dans une petite ville, le nombre de véhicule(s) que loue par jour une agence de location de voitures est une variable aléatoire D dont la loi est caractérisée par le tableau ci-dessus. Dans ce tableau, les probabilités p1 = P(D = 1) et p3 = P(D = 3) sont des données manquantes, cependant on sait que l'espérance de D vaut 2,4. Calculer p1 et p3 :
A. p1= p3 = 0,225 B. p1= 0,075 et p3 = 0,375 C. p1= p3 = 0,6
D. p1= 0,2 et p3 = 0,225 E. p1= 0,1 et p3 = 0,2
x 0 1 2 3 4 5 6 7
P(D = x) 0,1 0,15 0,25 0,2 0,1 0,07 0,06 0,07
Q 70. Dans un magasin, la demande hebdomadaire D d'un certain produit (exprimée en unité(s) de produit(s)) est une variable aléatoire dont la loi de probabilités est
caractérisée par le tableau ci-dessus.
De quel stock minimum doit-on disposer en début de semaine pour que la probabilité de rupture de stock au cours de la semaine soit inférieure à 25 % ?
A. 7 unités B. 3 unités C. 4 unités D. 5 unités
E. On ne peut pas répondre
n 0 1 2 3 4 5 6 7
P(X=n) 1/9 1/18 1/9 2/9 1/18 1/18 1/18 1/3 Q 71. Un certain petit hôtel dispose de 7 chambres à coucher.
La variable aléatoire X désigne le nombre de chambres de l’hôtel qui seront louées en une nuit choisie au hasard. Sa loi de probabilités est donnée par le tableau ci-dessus : Quelle est la probabilité qu’ en une nuit choisie au hasard au moins 3 chambres de l’hôtel soient louées ?
A. 5/18 B. 2/3 C. 9/18 D. 13/18 E. 15/18
Q 72. On désigne par X le gain (exprimé en euros) que rapporte un certain placement financier. On sait que X = a + bY, où a et b sont deux nombres positifs et où Y est une variable aléatoire telle que E(Y) = 0 et Var(Y) = 10. On sait également que E(X) = 100 et Var(X) = 250. Calculer a et b.
A. a = 100 et b = 5 B. a = 100 et b = 25 C. a = 350 et b = 5 D. a = 350 et b = 25 E. a = 150 et b = 5
xi –3 0 2 3
P(X = xi) 0,2 0,3 0,4 0,1
Q 73. La loi de probabilités d’une variable aléatoire X est donnée par le tableau ci-dessus. Quelle est la valeur de
l’espérance mathématique de X ? A. –0,2
B. –0,3 C. 0 D. 0,5 E. 0,8
Q 74. Lors d’un lancer de dé, la mise est de 1€, si le nombre obtenu est supérieur à 3, le gain net est de 5€, sinon la mise est perdue. Quelle est l’espérance de ce jeu ? A. 0
B. 1/2 C. 1 D. 3/2 E. 2
Q 75. Un démarcheur qui travaille pour une société qui
commercialise des logiciels informatiques doit rendre visite successivement à 10 clients pour leur proposer d’acheter un nouveau logiciel. On admet que la probabilité qu’un
client achète ce produit est de 1/20 et que les décisions des clients sont indépendantes. Le prix de ce produit est 1600 euros ; le démarcheur reçoit une commission de 20% lorsqu’il arrive à le vendre à un client, cependant les 10 visites qu’il a prévues de faire vont lui générer des frais non remboursés qui s’élèvent à 50 euros. On désigne par R le gain (ou la perte lorsque R < 0) aléatoire (exprimé en euros) du démarcheur à l’issue de ces visites. Calculer l’espérance mathématique de R.
A. 3150 B. 320 C. 270 D. 160 E. 110
Q 76. Un joueur lance un dé bien équilibré. Il gagne 5€ si le 1 sort. Il gagne 2€ si le 2 ou le 4 sort. Dans tous les autres cas il ne gagne rien. Soit X la variable aléatoire égale au gain, quelle est la valeur de la variance de X ?
A. 1,5 B. 2,5 C. 3 D. 3,25 E. 4,5
Q 77. Soient X et Y deux variables aléatoires dont les variances valent respectivement 1/4 et 1/9. On sait de plus que la variance de la variable aléatoire 2X + 3Y est égale à 3/4.
Alors la covariance de X et Y vaut : A. 5/48
B. 1/36 C. –1/36 D. –5/48 E. 1/72
Q 78. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et qui suivent la loi binomiale B(50 ; 0,1). On désigne par Z et T les variables aléatoires définies par Z = X + Y et T = 2X – 3Y. La covariance Z et T vaut :
A. 4,5 B. –4,5 C. 22,5 D. –22,5 E. 27
Loi binomiale
Q 79. On dispose d'une pièce de monnaie truquée et on désigne par p la probabilité qu'elle tombe sur « pile » à l'issue d'un lancer. On lance 5 fois cette pièce (on admet que les résultats des lancers sont indépendants) et on désigne par X le nombre aléatoire de fois où « pile » est apparu au cours de ces lancers. Sachant que l'espérance mathématique de X vaut 3,75, calculer p : A. 0,25
B. 0,75 C. 1/3,75 D. 1/3 E. 1/4
Q 80. La probabilité qu'un produit choisi au hasard, dans un magasin alimentaire, soit périmé est de 0,1 %. Un client distrait a acheté 3 produits dans ce magasin sans contrôler leurs dates de péremption. On admet qu'il les a choisis indépendamment l'un de l'autre. Quelle est la probabilité que ces 3 produits soient tous périmés ? A. 10– 9
B. 0,033%
C. 0,3%
D. 0,9993 E. 0,13
Q 81. On remarque que lorsque le CAC40 est à la hausse, la probabilité qu'une valeur qui le compose soit également à la hausse est de 2/3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de valeurs du CAC40 qui sont à la hausse. X suit une loi binomiale de paramètre n=40. Déterminer la valeur de P(X = 15) en fonction de P(X = 14).
A.
2 3 P X ( = 14 )
B.
1 ( 14 )
3 P X =
C.
80 3 P X ( = 14 )
D.
20 1 P X ( = 14 )
E.
15 52 P X ( = 14 )
Q 82. Les œufs de poule contiennent en général un seul jaune d'œuf, mais tous les 200 œufs on trouve un œuf qui contient deux jaunes. Je casse 50 œufs pour faire une énorme omelette, j'observe 52 jaunes dans le plat. Quelle était la probabilité de cet événement ? (attention exercice faux !!)
A. 1/200 B. 1/400 C. 1/2 D. 1/4 E. 1/8
Q 83. Au moment des fêtes, vous avez pu vous faire plaisir en vous offrant des huîtres. Malheureusement le lot que vous avez reçu n'était plus très frais, une huître sur quatre était susceptible de vous rendre malade, heureusement que dans cinq cas sur six, on écarte l'huître mauvaise à l'odeur. Quelle est la probabilité que vous soyez malade en mangeant une seule douzaine ? (attention exercice faux !!)
A. 1/6 B. 1/4 C. 5/12 D. 5/6 E. 1/2
Loi de Poisson
Q 84. Anne et Marie sont deux employées dans une agence de voyage. X désigne le nombre aléatoire de voyages qui seront vendus par Anne au cours d'un mois choisi au hasard, et Y désigne le nombre aléatoire de voyages qui seront vendus par Marie au cours de ce même mois. On admet que X suit une loi de Poisson de paramètre 120 et que Y suit une loi de Poisson de paramètre 110. On admet également que la covariance entre X et Y vaut à peu près 103. Calculer la variance de la variable aléatoire X + Y : A. 230
B. 10 C. (230)2 D. 100 E. 436
Q 85. Dans une grande usine, des études statistiques ont montré que le nombre aléatoire d'accident(s) du travail par jour suit une loi de Poisson de paramètre 1,4. On désigne par Y le nombre aléatoire d'accident(s) du travail par semaine (soit 5 jours) dans cette usine. L'espérance de Y vaut:
A. 7 B.
( )
25 1, 4
C.
5 1, 4
D.
5 × ( ) 1, 4
2E. 5
Q 86. Dans un village, le nombre aléatoire X de client(s) qui se présente(nt) en une matinée au guichet d'une certaine banque suit une loi de Poisson. On sait que la probabilité conditionnelle P(X = 1 / X < 2) = 0,75. Le paramètre de cette loi de Poisson vaut :
A. 0,75 B. e–0,75 C. 1,5 D. e–0,75 ×0,75 E. 3
Q 87. On désigne par X le nombre aléatoire de sinistres qui seront déclarés à une certaine compagnie d'assurance, à une date choisie au hasard. Des études ont montré que X suit une loi de Poisson de paramètre 5. Alors les
probabilités P(X = 4) et P(X = 5) vérifient : A. P(X = 4) < P(X = 5)
B. P(X = 4) = P(X = 5) C. P(X = 4) > P(X = 5) D. P(X = 4) = 0,5 × P(X = 5) E. P(X = 5) = 0,5 × P(X = 4)
Q 88. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson d’un certain paramètre l > 0. On sait de plus que les probabilités p(X = 2) et p(X = 4) vérifient
( 4)
( 2) 3 p X p X
= =
=
.Alors la variance de X vaut :
A. 6 B. 3 C. 1/3 D. 1/6 E. 1/9
Loi normale
Q 89. Rappelons que si une variable aléatoire Z suit une loi normale centrée et réduite alors la probabilité
( 2 2 )
P − Z
vaut à peu près 0,95. Dans une entreprise les salaires du personnel sont distribués suivant une loi normale de moyenne 2220 euros et d’écart type 512 euros. On choisit au hasard un salarié de cette société et on désigne par X son salaire exprimé en euros. Il y a 95% de chance que : A. 1708 X 2732 B. 1600 X 3600 C. 684 X 2732 D. 1196 X 3244 E. 1150 X 3360
