Calcul de probabilité

Royaume du Maroc

Ministère de l’Education Nationale,

de la Formation Professionnelle, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Secrétariat d’Etat Chargé de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

L

F

S

2

C OURS DE P ROBABILITE

Ensemble 5 et 6 (Séances 3 et 4)

PR SMOUNIRACHID

Calcul de probabilité

Une probabilité est la mesure de la possibilité qu'un évènement se produise sur le nombre de résultats possibles. Calculer des probabilités nous permet d'utiliser notre logique et notre raison dans un univers incertain. L’objet de ce chapitre nous permettra de découvrir comment faire pour calculer des probabilités à partir d’une expérience aléatoire dans le but de prendre une décision sur la base des résultats obtenus.

I- Définitions

1- Expérience aléatoire

On appelle « expérience aléatoire », une expérience dont les conditions de déroulement sont parfaitement définies et l’ensemble des résultats possibles Ω est connu, mais dont le résultat immédiat ne peut être prévu avec certitude à l'avance.

2- Probabilité

Une probabilité, issu de cette expérience aléatoire, est un rapport entre le nombre de cas favorable et le nombre de cas possible.

possible cas

de nombre

favorable cas

de Nombre obabilité =

Pr

On appelle Probabilité sur Ω toute application de P(Ω) sur l'intervalle [0 ; 1]

vérifiant les conditions suivantes :

✓ P(Ω) = 1

✓ Pour tout A et tout B appartenant à l’ensemble des parties (Ω, P(Ω)) tels que :

Si (A B) = ,

⇒P (AUB) = P (A) + P (B).

II- Les Axiomes du calcul des probabilités

1. La probabilité impossible est nulle : P ( ) = 0, La probabilité certaine est égale à 1 : P(Ω) = 1.

2. Pour tout événement A de l’ensemble Ω, on note en général : Est l'événement contraire de A.

⇒ On a alors : P( ) = 1 - P(A) ⇔ P( ) + P(A) = 1 . 3. P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A B).

4. Si A B alors P(A) < P(B).

III- Propriétés fondamentales

1- É

/

✓ Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si et seulement si leurs réalisations simultanées est impossible.

✓ L'indépendance deux événements A et B est par contre une notion probabiliste qualifiant de manière intuitive des événements aléatoires n'ayant aucune influence l'un sur l'autre. Il s'agit d'une notion très importante en statistique et en calcul de probabilités.

⇒

2- P

T

Evènements compatibles: Evènements incompatibles :

✓ Si A et B sont deux événements incompatibles, alors on a la probabilité totale de (A ou B), (notamment (A+B), ou peut être formulée comme suit :

(

)

P  = +

✓ Si par contre A et B sont deux événements compatibles (c’est-à-dire que ), la probabilité totale peut être formulée comme suit :

A

B

B

(

)

(

)

P  = + − 

Deux évènements sont indépendants lorsque le fait de connaître le résultat du premier évènement ne nous aide pas pour prévoir la réalisation du second évènement et inversement.

Application

Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte au hasard.

On définit ainsi les évènements suivants :

✓ A « la carte tirée est un roi de carreau »

✓ B « la carte tirée est trèfle »

✓ C « la carte tirée est un roi»

1- Quelle est la probabilité de l’évènement F définie comme « la carte tirée est ou le roi de carreau ou un trèfle » ?

2- Quelle est la probabilité de l’évènement G définie comme « la carte tirée est ou une carte de roi ou un trèfle » ?

Solution

1-

✓ L’évènement F = (A U B)

✓ Les deux évènements A et B sont incompatibles car il n’y a pas d’éléments communs qui lient les deux évènements A et B

✓ Il n’est pas possible de les réaliser simultanément.

⇒P (F) = P (A U B) = P (A) + P (B)

P(A) = 1/52

P(B) = 13/52.

P (F) = 1/52 + 13/52

P (F) = 14/52

⇒P (F) = 7/26

2-

✓ L’évènement G = (C U B)

✓ les deux évènements C et B sont dans ce cas compatibles car on trouve une carte « Roi de trèfle » qui peut être comptée à la fois par les cartes Rois et parmi les cartes trèfles.

⇒P (G) = P (C U B) = P (C) + P (B) – P (C∩B)

P(C) = 4/52 P(B) = 13/52.

P (G) = 4/52 + 13/52 – 1/52 P (G) = 16/52

⇒P(G) = 8/26

3- P

C

✓ Si (Ω, P) est un espace probabilisé.

✓ Si B un événement tel que P(B) est non-nul.

✓ Alors, on appelle Probabilité Conditionnelle de A sachant que B est

réalisée." ou Probabilité Induite par B, la probabilité PB définie sur Ω par :

) (

) ) (

/

( P B

B A B P

A

P = 

2- Cas des évènements indépendants

A et B sont deux événements indépendants alors :

) ( ) /

( A B P A

P =

) ( ) /

( B A P B

P =

✓ Si A et B sont deux événements indépendants alors la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre.

Remarque

De la définition d'une probabilité conditionnelle, on voit alors que A et B sont indépendants si et seulement si :

).

( ) ( )

( A B P A P B

P  = 

Application

1- On lance un dé à 6 faces.

Soit les événements suivants :

✓ A, l'événement « obtenir un nombre pair »,

✓ B l'événement « est un multiple de 3 ».

Les probabilités P(A) et P(B) sont-elles indépendantes ? Réponse

On a :

✓ Les événements A et B sont indépendants.

2- On lance deux dés, un noir et l’autre blanc.

Soient les événements suivants :

✓ A : « la somme des numéros apportés par les dés fait 6 »

✓ B : « sur le dé noir, on obtient un nombre pair ».

Les probabilités des événements A et B sont-elles indépendantes ? Réponse

Le dénombrement de tous les cas possibles montre que :

✓ Les événements A et B ne sont pas indépendants.

4- P

Cette relation est déduite de la probabilité conditionnelle, en fait, P(A∩B) = P(A) × P (B/A)

La définition mathématique de l'indépendance de deux évènements est la suivante :

✓ A et B sont indépendants alors la probabilité composée est égale à :

( ^{A B} ) ^{P ( A ). P ( B )}

P  =

✓ OùP

(

)

Cette notion d'indépendance intervient dans de nombreux théorèmes par exemple dans la loi des grands nombres et le théorème central limite qui seront traités ultérieurement.

2 Application

1- Une urne contient 7 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement 3 boules.

✓ Si la boule est noire, on l'enlève,

✓ si la boule est blanche, on la retire, et on ajoute une boule noire à sa place.

Quelle est la probabilité de tirer 3 boules blanches de suite ?

Réponse

✓

On note B

l'événement « la nième boule tirée est blanche ».

✓

La probabilité recherchée est :

)) /(

( ) / ( ) ( )

( B

B

B

P B

P B

B

P B

B

B

P   =   

On sait que

10 ) 3 (B₁ =

P

✓

Si B

est réalisé, avant le 2ème tirage, l'urne est constituée de 8 boules

noires et 2 blanches.

On a donc :

10 , ) 2 /

( B

B

=

P

✓

Si B

et B

sont réalisés, avant le 3è tirage, l'urne est constituée de 9 boules noires et 1 boule blanche.

On en déduit que : 10 , )) 1 /(

( B

B

 B

=

P

Finalement On aura donc :

)) /(

( ) / ( ) ( )

( B

B

B

P B

P B

B

P B

B

B

P   =   

. 006 , 500 0

3 1000

6 10

1 10

2 10 ) 3

( B

 B

 B

=   = = = P

. 006 , 0 ) ( B

 B

 B

= P

2- On dispose de 3 urnes U1, U2, U3, chacune des urnes contient 10 boules. Parmi ces 10 boules :

✓ U1 contient 1 boule blanche

✓ U2 contient 2 boules blanches

✓ U3 contient 6 boules blanches On tire au hasard une boule.

Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche ? Réponse

On note :

✓ B l'événement « obtenir une boule blanche »

✓ Ai l'événement « tirer une boule dans l'urne Ui ».

Donc :

✓

✓

5- T

B

Le principe du théorème (ou formule) de Bayes est la recherche des probabilités des causes des événements donnés. On part d’une probabilité à priori pour déterminer une probabilité à postériori.

On suppose un événement B qui est réalisé (une probabilité à priori) et on veut calculer la probabilité de l’événement A_k(probabilité à postériori).

) (

) ) (

/

( P B

B A B P

A

P



=

En effet, La formule de Bayes permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant suivant un système complet d'événements, tels que :





)

(B P A₁ B A₂ B A₃ B A B

P =       _k 







=



=

 +

 +



=

 +

 +

 +



=

k

i

k k

k

i

k

k k

k

A P A B P A

B P B

P

A P A B P A

P A B P A P A B P B P

B A P B

A P B A P B A P B P

1 1

2 2

1 1

3 2

1

) ( ) / ( )

( )

(

) ( ) / ( )....

( ) / ( ) ( ) / ( ) (

) (

)...

( ) (

) (

) (

Cette relation est connue sous le nom de la Loi des Probabilités Totales :







=



=

i

k k

k

i

k

P B A P A

A B P B

P

1 1

) ( ) / ( )

( )

(

Donc la formule de Bayes peut être écrite comme suit :





= 

= 

i

k k

k k

k k

A B P A

P

A B P A

P B

P B A B P

A P

1

)) / ( ) ( (

) / ( ) ( )

( ) ) (

/ (

. )) / ( ) ( (

) / ( ) ) (

/ (

1





= 



i

k k

k k

k

A B P A

P

A B P A

B P A P

Applications

1- Considérons deux urnes U1 et U2.

✓ L'urne U1 contient 2 boules blanches et 3 boules noires.

✓ L'urne U2 contient 1 boule blanche et 4 boules noires.

Appelons les événements suivants :

✓ « B » l'événement « tirer une boule blanche »

✓ « N » l'événement « tirer une boule noire »

Il y a équiprobabilité du choix des boules dans chaque urne.

a- On sait que qu'une boule blanche a été tirée. Quelle est la probabilité que la boule est tirée de l'urne U1 ?

b- On sait que qu'une boule blanche a été tirée. Quelle est la probabilité que la boule est tirée de l'urne U2 ?

Solution

a- Soient les événements suivants :

✓ L’événement « choisir l’Urne U1 »

✓ L’événement « choisir l'urne U2 »

La formulation de la 1^ère question peut s’écrire comme suit :

✓ La probabilité de l'événement « U1 sachant B » : P (U1/B) En revenant aux données présentées ci-dessus, on peut voir que :

✓ P (B/U1) =0,40 car il y a 2 boules blanches parmi les 5 boules de l’urne U1.

✓ P(U1) = P(U2) =

½

✓ P (B/U2) = 0,20 car il y a 1 boule blanche parmi les 5 boules de l’urne U2.

Pour calculer la probabilité de P(U1/B), il suffit de connaitre et calculer les probabilités suivantes d'après le principe des probabilités conditionnelles:

✓ P (U1∩B)

✓ P(B) Or, on sait que :

✓ P(B) = P(B/U1) × P(U1) + P(B/U2) × P(U2) d'après la loi des Probabilités Totales,

✓ P(U1∩B) = P(B/U1)×P(U1).

D'où :

) ( ) / ( ) ( ) / (

) ( ) / ( )

( ) ) (

/ (

2 2

1 1

1 1

1

P U B P U P U B P U

U P B U P B

P B U B P

U

P

 +



= 

= 

Un simple calcul alors permet de voir que :

3 2 3 , 0

2 , 0 ) ( ) / ( ) ( ) / (

) ( ) / ) (

/ (

2 2

1 1

1 1

1

= =

 +



= 

U P B U P U

P B U P

U P B U B P

U

P

Si on sait qu'une boule blanche a été tirée, il y a une probabilité de

3 ) 2 / (U₁ B = P

que cette boule vienne de l'urne U1, ou encore, que l'urne U1 soit la cause du fait d'avoir tiré une boule blanche.

b- La formulation de la 2^ème question peut s’écrire comme suit :

✓ La probabilité de l'événement « U2 sachant B » : P (U2/B).

De même on peut formuler la deuxième question comme suit :

) 50 , 0 20 , 0 ( ) 5 , 0 40 , 0 (

50 , 0 20 , 0 )

( ) / ( ) ( ) / (

) ( ) / ( )

( ) ) (

/ (

2 2

1 1

2 2

2  + 

= 

 +



= 

= 

U P B U P U P B U P

U P B U P B

P B U B P

U

P ⁱ

3 1 3 , 0

1 , 0 ) ( ) / ( ) ( ) / (

) ( ) / ) (

/ (

2 2

1 1

2 2

2 = =

 +



= 

U P B U P U P B U P

U P B U B P

U

P _.

✓ Si on sait qu'une boule blanche a été tirée, il y a une probabilité

de 3

) 1 / (U₂ B =

P que cette boule vienne de l'urne U2, ou encore, que l'urne U2 soit la cause du fait d'avoir tiré une boule blanche.

2- On estime qu'une personne ayant correctement révisé ses cours pour passer un concours a une probabilité de 20% d'échouer. Par contre, on estime qu'une personne n'ayant pas révisé ses cours a une probabilité de 60% d'échouer.

On sait aussi que 50% des étudiants ont correctement révisé leurs cours contre 50% autres qui ne l’on pas correctement révisé.

Question : Une personne passe deux fois de suite ce concours et échoue par deux fois mais affirme pourtant avoir parfaitement révisé ces cours. Est-ce plausible ? Réponse

Appelons :

✓ E l'événement "échouer 2 fois de suite au concours".

✓ R, l'événement "l’étudiant a révisé ses cours ".

✓ N l'événement contraire "l’étudiant n’a pas révisé ses cours ".

✓ La probabilité de "E sachant R" P(E/R) = (0,20)² = 0,04.

✓ La probabilité de "E sachant N" P(E/N) = (0,60)² = 0,36.

A priori, on suppose que l’étudiant qui a échoué 2 fois à l'examen, a correctement révisé ses cours avec une probabilité de ½ = 0,50.

✓ On a donc P(R) = P(N) = 0,50 La formule de Bayes donne alors :

10 , 5 0 , 0 36 , 0 5 , 0 04 , 0

5 , 0 04 , 0 )

( ) / ( ) ( ) / (

) ( ) / ) (

/

( =

 +



= 

 +



= 

N P N E P R P R E P

R P R E E P

R P

✓ Probabilité d'avoir révisé son cours sachant que l'on a échoué 2 fois = 0,10.

✓ Probabilité de ne pas avoir révisé sachant que l'on a échoué 2 fois = 0,90.

✓ Il y a donc une probabilité de 0,90 que la personne n'a pas révisé son cours.

Ce qui est peu plausible et peu logique.