E572. Un club de logiciens
Problème proposé par Raymond Bloch
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement.
Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont distincts, et inversement.
Prouver
a- qu’il existe un membre qui connaît au moins 62 autres membres du club.
b- que si le club recrute un 2017ième membre, il existera même un membre qui en connaîtra au moins 63 autres.
Solution proposée par Marie-Christine Picquet
Q1
D'entrée on constate que 2016 = 32 x 63 est un nombre triangulaire . Plaçons 63 tables circulaires toutes de tailles différentes .
Un premier logicien ne connaissant personne s'installe à la plus petite de ces tables . 2 logiciens se connaissant et ignorant les 2014 autres s'installent alors à la seconde table .
3 logiciens se connaissant et ignorant les 2013 autres s'installent alors à la troisième table . .... etc Il y a donc 63 tables de 1 , 2 , 3... 62 & 63 personnes qui répondent aux critères imposés . Et là , tout le monde est installé et à la table n°63, chaque membre connaîtles 62 autres membres.
Q2
Un 2017 ième logicien rentre dans le club . Il ne peut que s'installer à la plus grande des tables ( celle de 63) .
En effet , s'il s'installe à une autre table , alors 2 tables dans la salle seront occupée par un même nombre de membres.
Ces deux tables devront alors fusionner en une table unique. Mais à son tour cette table peut à son tour être obligée de fusionner avec une autre.
Réaction en chaine (pas nucléaire) avec 2 tables de 2 qui font 4 , cette dernière devant fusionner avec la table de 4 , donnant une table de 8 ;
Les 2 tables de 8 fusionnant alors en une table de 16 ----> 32 ---> 64 membres autour d'une plus grande table.
Un autre choix , la table de 5 --> 10 --> 20 --> 40 --> 80 membres autour d'une table.
En règle générale , s'il s'installe à la table k , il finira autour d'une table de k x 2^n > 63
