E572. Un club de logiciens
Problème proposé par Raymond Bloch
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement.
Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont distincts, et inversement.
Prouver
a- qu’il existe un membre qui connaît au moins 62 autres membres du club.
b- que si le club recrute un 2017ième membre, il existera même un membre qui en connaîtra au moins 63 autres.
Solution de l'auteur
a- Nous allons supposer qu’aucun membre n’a plus de 61 connaissances, et aboutir à une contradiction.
Admettons que le membre M1 ait 61 connaissances : M2 à M62, et que personne n’en ait davantage. Dans ce groupe de 62, chacun connaît les 61 autres. En effet :
- Il est impossible que les 62 membres aient tous un nombre de connaissances distinct de 0 à 61, car alors M1 ne pourrait pas connaître celui qui a 0 connaissance,
contradiction.
- Il est impossible qu’il y ait, parmi ces 62 membres, des sous-groupes ayant le même nombre de connaissances : M1 est nécessairement dans l’un d’eux, mais alors il ne peut pas connaître les membres des autres sous-groupes, contradiction, puisqu’il connaît les 61 autres.
Nous avons donc un groupe de 62 personnes où chacun connaît les 61 autres, mais il ne peut pas y avoir un autre groupe de 62 personnes : un membre de ce second groupe ayant 61 connaissances – le même nombre que pour M1 à M62 – devrait connaître M1 à M62, or il ne les connaît pas puisqu’il appartient à un autre sous-groupe.
Donc les autres membres ne peuvent pas être mis dans des groupes de plus de 61, 60, 59,
…,3, 2, 1 membres. Mais alors le club aurait au plus 1+2+3+…+61+62 = 62 x 63 /2 =1953 membres, contradiction puisqu’il y en a 2016.
Donc il existe au moins un membre connaissant 62 membres.
b- Si personne n’a plus de 62 connaissances dans un club de 2017 membres, le raisonnement précédent prouve que le nombre maximum de membres du club est 63 x 64/2 = 2016,
contradiction qui prouve qu’au moins un membre connaît 63 autres membres.
