G253 – Pour trouver le sommeil
Enoncé (résumé) Soit A(k,n) le nombre d’apparitions du chiffre k dans la suite des n premiers nombres entiers non nuls. Pour quelles valeurs de k existe-t-il au moins un entier n tel que A(k,n) = n ? Pour ces valeurs trouver le plus petit (hormis 1) et le plus grand nombre n satisfaisant cette équation.
Solution proposée par Julien de Prabère
Si nous écrivions tous les chiffres, y compris les zéros, des nombres entiers d’au plus p chiffres (ceux de 0 à 10
p–1), alors les 10 chiffres apparaîtraient le même nombre de fois parmi les p.10
pchiffres utilisés, soit p.10
p-1fois chacun.
On en déduit aussitôt que lorsque k est non nul A(k,10
p–1) = p.10
p-1Alors, avec p=10, pour tout chiffre k supérieur à 1, l’équation proposée admet la solution A(k,10
10) = 10
10(en ajoutant 1 pour atteindre 10
10nous n’introduisons aucun nouveau chiffre supérieur à 1).
En remarquant que les 10
10nombres suivants (de 10
10à 2.10
10–1 puis de 2.10
10à 3.10
10–1 …etc.) contiendront également 10
10chiffres, sauf si le chiffre k considéré a été repris en tête, nous aurons, pour tout chiffre m positif, A( k, m.10
10- 1) = A( k, m.10
10) = m.10
10pourvu que k soit supérieur à m. Autrement dit, l’équation est vérifiée pour 10 milliards pour tout k supérieur à 1, pour 20 milliards pour tout k supérieur à 2, pour 30 milliards pour tout k supérieur à 3, … jusqu’à 80 milliards pour k égal à 9.
Remarquons également que A(m,(m+1).10
10-1)=A(m,(m+1).10
10)=(m+2).10
10avec l’ajout supplémentaire de 10
10chiffres m en tête. Autrement dit le chiffre 1 apparaîtra 30 milliards de fois pour n=20 milliards, le chiffre 2, 40 milliards de fois pour n=30 milliards … etc. jusqu’au chiffre 9, 110 milliards de fois pour n=100 milliards. Cette remarque permet d’exclure des solutions de l’équation au-delà des valeurs (k+1). 10
10pour tout chiffre k positif.
Nos constatations permettent également de mettre à jour une solution de l’équation pour k=1. En effet, les 50 000 chiffres 1, obtenus pour les entiers de 1 à 99 999, sont à nouveaux obtenus, précédés à chaque fois d’un chiffre 1, pour les 100 000 valeurs suivantes (de 100 000 à 199 999). D’où 200 000 chiffres 1 pour n=199 999 et par conséquent A(1,200 000) = 200 000 avec la même égalité pour la valeur suivante (on aurait pu également réduire n jusqu’à 199 990 - et même 199 981 - pour perdre 2 chiffres 1 avec 199 991 et rattraper ainsi le décalage d’une unité – voir ci-après les valeurs minimales de n vérifiant l’équation).
Lorsque k est nul, notre dénombrement peut être complété en décomptant les
zéros non significatifs (y compris ceux du premier zéro ne figurant pas dans la série
des entiers positifs) : 1 zéro pour l’unité du premier zéro, 10 zéros figurant devant les
unités (de 0 à 9), 100 zéros devant toutes les dizaines (de 0 à 99) … jusqu’à 10
p-1zéros
devant les puissances (p-1) ième de 10 (de 0 à 10
p-1-1). La somme des termes de cette
progression géométrique (10
p–1)/9, correspondant au nombre obtenu avec p chiffres
1 consécutifs, permet alors de préciser A(0,10
p– 1) = p . 10
p-1– (10
p–1)/9.
Remarquons que les tranches suivantes dites «pleines» (de 10
pà 2.10
p–1 puis de 2.10
pà 3.10
p–1 …etc.) contiendront exactement p.10
p-1zéros du fait de la présence d’un nouveau chiffre en tête...
Ces dénombrements ne nous ont cependant pas permis de mettre à jour une solution de l’équation, ni même d’infirmer l’existence de celle-ci…
Plutôt que de poursuivre des calculs alambiqués à l’aide de ces formules, nous avons préféré nous en remettre à un programme. Après une nuit de sommeil, celui-ci nous a donné les résultats suivants :
chiffre 1 : 82 solutions (hormis n=1)
199 981, 199 982, 199 983, 199 984, 199 985, 199 986, 199 987, 199 988, 199 989, 199 990, 200 000, 200 001, 1 599 981, 1 599 982, 1 599 983, 1 599 984, 1 599 985, 1 599 986, 1 599 987, 1 599 988, 1 599 989, 1 599 990, 2 600 000, 2 600 001, 13 199 998, 35 000 000, 35 000 001, 35 199 981, 35 199 982, 35 199 983, 35 199 984, 35 199 985, 35 199 986, 35 199 987, 35 199 988, 35 199 989, 35 199 990, 35 200 000, 35 200 001, 117 463 825, 500 000 000, 500 000 001, 500 199 981, 500 199 982, 500 199 983, 500 199 984, 500 199 985, 500 199 986, 500 199 987, 500 199 988, 500 199 989, 500 199 990, 500 200 000, 500 200 001, 501 599 981, 501 599 982, 501 599 983, 501 599 984, 501 599 985, 501 599 986, 501 599 987, 501 599 988, 501 599 989, 501 599 990, 502 600 000, 502 600 001, 513 199 998, 535 000 000, 535 000 001, 535 199 981, 535 199 982, 535 199 983, 535 199 984, 535 199 985, 535 199 986, 535 199 987, 535 199 988, 535 199 989, 535 199 990, 535 200 000, 535 200 001, 1 111 111 110
chiffre 2 : 13 solutions
28 263 827, 35 000 000, 242 463 827, 500 000 000, 528 263 827, 535 000 000, 10 000 000 000, 10 028 263 827, 10 035 000 000, 10 242 463 827, 10 500 000 000, 10 528 263 827, 10 535 000 000 chiffre 3 : 35 solutions
371 599 983, 371 599 984, 371 599 985, 371 599 986, 371 599 987, 371 599 988, 371 599 989, 371 599 990, 371 599 991, 371 599 992, 500 000 000, 10 000 000 000, 10 371 599 983,
10 371 599 984, 10 371 599 985, 10 371 599 986, 10 371 599 987, 10 371 599 988, 10 371 599 989, 10 371 599 990, 10 371 599 991, 10 371 599 992, 10 500 000 000, 20 000 000 000, 20 371 599 983, 20 371 599 984, 20 371 599 985, 20 371 599 986, 20 371 599 987, 20 371 599 988, 20 371 599 989, 20 371 599 990, 20 371 599 991, 20 371 599 992, 20 500 000 000
chiffre 4 : 47 solutions
499 999 984, 499 999 985, 499 999 986, 499 999 987, 499 999 988, 499 999 989, 499 999 990, 499 999 991, 499 999 992, 499 999 993, 500 000 000, 10 000 000 000, 10 499 999 984,
10 499 999 985, 10 499 999 986, 10 499 999 987, 10 499 999 988, 10 499 999 989, 10 499 999 990, 10 499 999 991, 10 499 999 992, 10 499 999 993, 10 500 000 000, 20 000 000 000, 20 499 999 984, 20 499 999 985, 20 499 999 986, 20 499 999 987, 20 499 999 988, 20 499 999 989, 20 499 999 990, 20 499 999 991, 20 499 999 992, 20 499 999 993, 20 500 000 000, 30 000 000 000,
30 499 999 984, 30 499 999 985, 30 499 999 986, 30 499 999 987, 30 499 999 988, 30 499 999 989, 30 499 999 990, 30 499 999 991, 30 499 999 992, 30 499 999 993, 30 500 000 000
chiffre 5 : 4 solutions
10 000 000 000, 20 000 000 000, 30 000 000 000, 40 000 000 000 chiffre 6 : 71 solutions
9 500 000 000, 9 628 399 986, 9 628 399 987, 9 628 399 988, 9 628 399 989, 9 628 399 990, 9 628 399 991, 9 628 399 992, 9 628 399 993, 9 628 399 994, 9 628 399 995, 10 000 000 000, 19 500 000 000, 19 628 399 986, 19 628 399 987, 19 628 399 988, 19 628 399 989, 19 628 399 990, 19 628 399 991, 19 628 399 992, 19 628 399 993, 19 628 399 994, 19 628 399 995, 20 000 000 000, 29 500 000 000, 29 628 399 986, 29 628 399 987, 29 628 399 988, 29 628 399 989, 29 628 399 990, 29 628 399 991, 29 628 399 992, 29 628 399 993, 29 628 399 994, 29 628 399 995, 30 000 000 000, 39 500 000 000, 39 628 399 986, 39 628 399 987, 39 628 399 988, 39 628 399 989, 39 628 399 990, 39 628 399 991, 39 628 399 992, 39 628 399 993, 39 628 399 994, 39 628 399 995, 40 000 000 000, 49 500 000 000, 49 628 399 986, 49 628 399 987, 49 628 399 988, 49 628 399 989, 49 628 399 990,
49 628 399 991, 49 628 399 992, 49 628 399 993, 49 628 399 994, 49 628 399 995, 50 000 000 000, 59 500 000 000, 59 628 399 986, 59 628 399 987, 59 628 399 988, 59 628 399 989, 59 628 399 990, 59 628 399 991, 59 628 399 992, 59 628 399 993, 59 628 399 994, 59 628 399 995
chiffre 7 : 48 solutions
9 465 000 000, 9 471 736 170, 9 500 000 000, 9 757 536 170, 9 965 000 000, 9 971 736 170,
10 000 000 000, 19 465 000 000, 19 471 736 170, 19 500 000 000, 19 757 536 170, 19 965 000 000, 19 971 736 170, 20 000 000 000, 29 465 000 000, 29 471 736 170, 29 500 000 000, 29 757 536 170, 29 965 000 000, 29 971 736 170, 30 000 000 000, 39 465 000 000, 39 471 736 170, 39 500 000 000, 39 757 536 170, 39 965 000 000, 39 971 736 170, 40 000 000 000, 49 465 000 000, 49 471 736 170, 49 500 000 000, 49 757 536 170, 49 965 000 000, 49 971 736 170, 50 000 000 000, 59 465 000 000, 59 471 736 170, 59 500 000 000, 59 757 536 170, 59 965 000 000, 59 971 736 170, 60 000 000 000, 69 465 000 000, 69 471 736 170, 69 500 000 000, 69 757 536 170, 69 965 000 000, 69 971 736 170 chiffre 8 : 343 solutions
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chiffre 9 : 8 solutions
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