E572. Un club de logiciens
Problème proposé par Raymond Bloch
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement.
Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont
distincts, et inversement.
Prouver
a- qu’il existe un membre qui connaît au moins 62 autres membres du club.
b- que si le club recrute un 2017ième membre, il existera un membre qui en connaîtra au moins 63 autres.
Solution proposée par Jean Nicot
Notons N le nombre de membres du club. Considérons le sous-ensemble Ep constitué par une
personne A et les p-1 qu’elle connait. Chacune d’elles devra connaître le même nombre de membres.
Si un membre A connaît B et C, alors B et C doivent se connaître car ils ne connaissent pas le même nombre N-p de membres et ne peuvent être inconnus l’un de l’autre. A et ses connaissances constituent donc un clan très fermé dont tous les éléments se connaissent entre eux et ne connaissent qu’eux.
Deux personnes, l’une d’un clan de taille p et l’autre d’un clan de taille p’ ne connaissent pas N-p et N-p’ membres, qui sont des valeurs différentes, donc p≠p’.
Le club est donc formé de clans très fermés, de tailles différentes.
a- Si personne ne connait au moins 62 membres, c’est qu’il n’y a pas de clan de plus de 62 membres. Avec toutes les tailles possibles, on arrive à 1+2+3+…+61+62=62*63/2
=1953membres. Il y a donc un clan de taille supérieure à 62, soit au moins 63 membres.
Chacun d’eux connaitra au moins 62 autres membres.
b- SI un 2017ème membre est recruté, toutes les tailles possibles de 1 à 63 ne dépassent pas 1953+63 = 2016membres. Il devra alors exister un clan de taille au moins 64 et il y aura au moins 64 membres qui en connaîtront au moins 63 autres.
