Problème proposé par Raymond Bloch
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement. Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont distincts, et inversement.
Prouver
a- qu’il existe un membre qui connaît 62 autres membres du club.
b- que si le club recrute un 2017ième membre, il existera même un membre qui en connaîtra 63 autres.
2016 est un nombre triangulaire : 2016=32*63=1+2+...+63
Soit f(X) le nombre de personnes connues de X ; et g(n) nombre de personnes connaissant exactement n personnes.
Il y a au plus un membre qui ne connait personne : g(0)≤1 (s’il existait X≠Y tels que f(X)=f(Y)=0, X et Y se connaitraient).
Si f(X)=n, il existe Y1,... Yn, connaissant X, donc tels que f(Y1)=...f(Yn)=n et g(n)≤n+1 Le nombre total de membres connaissant exactement 0, 1, ..., 61 personnes est donc inférieur ou égal à 1+2+...+62=31*63=1953. Restent au moins 62 personnes qui connaissent strictement plus de 61 membres, donc au moins 62.
Si le club recrute un 2017ème membre, il ne peut au maximum y avoir que 1+...+63 soit 2016 membres connaissant 62 membres au plus : le 2017ième en connaitra donc au moins 63.
