E572. Un club de logiciens
Problème proposé par Raymond Bloch
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement. Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont distincts, et inversement.
Prouver
a- qu’il existe un membre qui connaît au moins 62 autres membres du club.
b- que si le club recrute un 2017ième membre, il existera même un membre qui en connaîtra au moins 63 autres.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On fera usage de la notation comme écriture abrégée de « le membre connait le membre ».
On convient que pour tout l’expression est vraie. Cette convention permet de dire que la relation est une relation d’équivalence, à laquelle correspond une partition de la famille des membres du club : tout membre du club appartient à une et une seule classe d’équivalence, chaque classe étant formée par les membres qui ont le même nombre de connaissances. De plus on remarque que la deuxième propriété imposée (celle concernant les couples qui ne se connaissent pas) entraine que deux classes distinctes ne peuvent pas avoir le même nombre d’éléments ; à savoir pour tout il existe au plus une classe de cardinalité .
Par l’absurde, supposons que toute classe contient au plus 62 membres. On peut donc avoir au plus une classe de cardinalité 1, au plus une classe de cardinalité 2, …, au plus une classe de cardinalité 62 ; pour un total au plus égal à membres < 2016. Contradiction.
De façon analogue, si toute classe contient au plus 63 membres, dans le club on aurait au plus
membres ; la cooptation d’un nouveau membre crée donc automatiquement une classe de cardinalité 64.
