Un club comporte n membres auxquels ont été attribués les numéros d’inscription 1,2,3,...n.
Comme le font traditionnellement les Japonais, ces membres se font souvent des cadeaux entre eux et il est admis que chacun peut envoyer (sans l’avoir déballé) un cadeau qu’il a déjà reçu à condition que ce cadeau ne soit déjà pas passé par les mains du destinataire.
Pour éviter ces situations embarrassantes, on définit la règle suivante : un membre A (n°
inscription a ) peut envoyer un cadeau à un membre B (n°inscription b) si et seulement si a(b-1) est un multiple de n. Prouver que cette règle appliquée par tous les membres évite bien le risque du retour à l’expéditeur.
Supposons qu’un cadeau puisse repasser dans les main d’un même membre A (n°
inscription a ) alors qu’il l’avait auparavant envoyé à un autre membre.
Alors il existe …, , tous différent de a, tel que :
Donc on a :
En combinant ces équations (en partant de a) on trouve :
En combinant ces équations (en partant de ) on trouve :
D’où
Donc , car et a sont compris entre 1 et n. Or .
Il y a contradiction, on en déduit qu’il ne peut pas y avoir de retour à l’expéditeur.
