E553 ‒ Les vilains menteurs
Problème proposé par Raymond Bloch
Un club comporte n membres M₁, M₂,...Mn. Certains, les menteurs, mentent toujours. Les autres, les purs, disent toujours la vérité.
Un journaliste questionne chaque membre une fois et pour tout membre numéroté i = 1,2,..,n ‒ 1 il obtient la réponse suivante: "le club comporte au moins i menteurs" tandis que Mn déclare que le club se compose exclusivement de menteurs.
Q₁ Peut-il y avoir 2017 membres inscrits dans ce club? Si oui, combien y a -t-il de vilains menteurs?
Q₂ Peut-il y avoir 2018 membres inscrits dans ce club? Si oui, combien y a -t-il de vilains menteurs?
Solution par Patrick Gordon
cas de Mn
Si Mn dit vrai, il est menteur comme les autres. Contradiction. On est dans le paradoxe de Minos et des Crétois. Donc :
Mn ment
et les membres ne sont pas tous menteurs.
cas de M1
M1 dit : "il y au moins 1 menteur". Si M1 ment, il y a 0 menteur. Mais nous savons que Mn l'est.
Donc, contradiction :
M1 dit vrai.
cas de M2
M2 dit : "il y au moins 2 menteurs". Si M2 ment, il y a 0 ou 1 menteur. Mais nous savons que Mn
l'est et, en pareille hypothèse, Mn l'est aussi. Donc, contradiction :
M2 dit vrai.
Il semble que ce raisonnement puisse se poursuivre, mais jusqu’où?
Voyons cela sur deux exemples numériques.
Prenons temporairement : n = 4
cas de M3 (si n = 4)
M3 dit : "il y au moins 3 menteurs". Si M3 ment, il y a 0, 1 ou 2 menteurs. Mais nous savons que M4 l'est et, en pareille hypothèse, M3 l'est aussi. Il n'y a pas contradiction :
M3 ment.
Récapitulons ce cas de n = 4. Il y a 2 menteurs : M3 et M4.
M1 dit : "il y au moins 1 menteur" – ce qui est VRAI M2 dit : "il y au moins 2 menteurs" – ce qui est VRAI M3 dit : "il y au moins 3 menteurs" – ce qui est FAUX M4 dit : "il n'y a que des menteurs" – ce qui est FAUX Prenons temporairement : n = 5
Rappel : M1 et M2 disent vrai.
cas de M3 (si n = 5)
M3 dit : "il y au moins 3 menteurs".
Si M3 dit vrai, comme M1 et M2 disent vrai, il n'y a plus que 2 menteurs possibles : contradiction.
Si M3 ment, il y a 0, 1 ou 2 menteurs. Mais nous savons que M5 l'est et, en pareille hypothèse, M3 l'est aussi. Il n'y a pas contradiction :
M3 ment.
cas de M4 (si n = 5)
M4 dit : "il y au moins 4 menteurs". Si M4 ment, il y a 0, 1, 2 ou 3 menteurs. Mais nous savons que M3 et M5 le sont et, en pareille hypothèse, M4 l'est aussi. Il n'y a pas contradiction :
M4 ment.
Récapitulons ce cas de n = 5. Il y a 3 menteurs : M3 M4 et M5.
M1 dit : "il y au moins 1 menteur" – ce qui est VRAI M2 dit : "il y au moins 2 menteurs" – ce qui est VRAI M3 dit : "il y au moins 3 menteurs" – ce qui est VRAI M4 dit : "il y au moins 4 menteurs" – ce qui est FAUX M4 dit : "il n'y a que des menteurs" – ce qui est FAUX
M3 est en contradiction : il est menteur, mais dit vrai! On notera que 3 est le "milieu de 5".
À l'évidence, cette analyse se généralise au cas de n quelconque : Le club ne peut pas avoir un nombre impair de membres.
D'où la réponse aux questions.
Q₁ Le club ne peut pas avoir 2017 membres.
Q₂ Le club peut avoir 2018 membres avec 1009 vilains menteurs.
