E553. Les vilains menteurs
Problème proposé par Raymond Bloch
Un club comporte n membres M1, M2,...Mn. Certains, les menteurs, mentent toujours. Les autres, les purs, disent toujours la vérité.
Un journaliste questionne chaque membre une fois et pour tout membre numéroté i = 1,2,..,n ‒ 1 il obtient la réponse suivante : "le club comporte au moins i menteurs" tandis que Mn déclare que le club se compose exclusivement de menteurs.
Q1 Peut-il y avoir 2017 membres inscrits dans ce club? Si oui, combien y a-t-il de vilains menteurs?
Q2 Peut-il y avoir 2018 membres inscrits dans ce club? Si oui, combien y a-t-il de vilains menteurs?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On remarque d’abord que, indépendamment de n, le membre Mn est un menteur, car un pur ne peut pas déclarer ce que Mn déclare; en particulier M1 dit la vérité.
Soit k le nombre de menteurs ; pour j=1, …, k le membre Mj dit la vérité, donc il est un pur ; tandis que, pour j>k, Mj est un menteur. Les purs sont donc eux aussi en nombre de k et, sommant le nombre de purs au nombre de menteurs, on trouve que n vaut 2k, donc les menteurs sont la moitié de n.
En particulier on ne peut pas avoir n=2017, tandis que n=2018 est permis et dans ce cas les menteurs sont 1009.
