E553 - Les vilains menteurs

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Problème proposé par Raymond Bloch

Un club comporte n membres M₁, M₂,...Mn. Certains, les menteurs, mentent toujours. Les autres, les purs, disent toujours la vérité.

Un journaliste questionne chaque membre une fois et pour tout membre numéroté i = 1,2,..,n ‒ 1 il obtient la réponse suivante: "le club comporte au moins i menteurs" tandis que Mn déclare que le club se compose exclusivement de menteurs.

Q₁ Peut-il y avoir 2017 membres inscrits dans ce club? Si oui, combien y a -t-il de vilains menteurs?

Q₂ Peut-il y avoir 2018 membres inscrits dans ce club? Si oui, combien y a -t-il de vilains menteurs?

L’assertion du membre n est obligatoirement fausse (si elle était exacte, lui même serait menteur ...) : le membre 1, qui répond qu’il y a au moins 1 menteur dit donc la vérité. L’assertion du membre n-1 ne peut alors être vraie et le membre n°2 dit la vérité, etc...

Pour ne pas déboucher sur une contradiction finale, le nombre de membres doit être pair (n=2k), les membre de 1 à k disant la vérité et ceux de k+1 à 2k étant menteurs.

E553 - Les vilains menteurs

L’assertion du membre n est obligatoirement fausse (si elle était exacte, lui même serait menteur ...) : le membre 1, qui répond qu’il y a au moins 1 menteur dit donc la vérité. L’assertion du membre n-1 ne peut alors être vraie et le membre n°2 dit la vérité, etc...

Pour ne pas déboucher sur une contradiction finale, le nombre de membres doit être pair (n=2k), les membre de 1 à k disant la vérité et ceux de k+1 à 2k étant menteurs.

Seul le cas n=2018 est possible avec 1009 menteurs.

E553 - Les vilains menteurs