E307 - Les deux menteurs Solution
Soit N le nombre à trouver.
* Si les affirmations de huit ou neuf personnes parmi les neuf premières qui parlent de multiples étaient exacte, il n’y aurait aucune configuration compatible avec les affirmations des six dernières.
En effet si :
- peronne ne ment, alors N est multiple du PPCM de (2,3,4,5,6,7,8,9,10) = 2520 entrainant quatre affirmations fausses parmi les six dernières.
- la 9ème personne ment, alors N est multiple du PPCM de (2,3,4,5,6,7,8,9) = 2520 entrainant quatre affirmations fausses parmi les six dernières.
- la 8ème personne ment, alors N est multiple du PPCM de (2,3,4,5,6,7,8,10) = 840 entrainant trois affirmations fausses parmi les six dernières.
- la 7ème personne ment, alors N est multiple du PPCM de (2,3,4,5,6,7,9,10) = 1260 entrainant quatre affirmations fausses parmi les six dernières.
- la 6ème personne ment, alors N est multiple du PPCM de (2,3,4,5,6,8,9,10) = 360 entrainant deux affirmations fausses parmi les six dernières soit au total trois affirmations fausses.
- avec respectivement les 5ème,4ème,3ème ,2ème et 1ère personnes qui mentent chacune à son tour, on aboutit aux mêmes conclusions avec des PPCM égaux à 2520.
Les deux personnes qui se sont trompées se trouvent donc nécessairement parmi les neuf premières.
* Parmi les C(9,2) = 36 paires de personnes qui seules ont menti, on ne peut avoir que les couples de multiples erronés:(4,8),(5,10),(7,8),(7,9),(8,9) auxquels correspondent avec les autres multiples qui sont corrects les nombres : 630,504,180,120,420 et leurs multiples.
Exemple :si (7,9) est faux, alors N est multiple du PPCM de (2,3,4,5,6,8,10) = 120.
On vérifie aisément que pour tout couple autre que les cinq couples mentionnés, il y a au moins une autre personne qui a menti.
Seul N=480 multiple de 120 est compatible avec les six dernières affirmations qui sont toutes vraies.En effet 480 est multiple de 2,3,4,5,6,8 et 10. Il est inférieur à 1000, 750,550,500 et supérieur à 400 et 450.
Ce sont les 6ème et 8ème personnes qui en annonçant des multiples de 7 et de 9 sont dans l’erreur.
